人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第1课时教案设计

《5.4.2正弦、余弦函数的性质》

（第1课时）教学设计

一、教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第四节《三角函数的图象与性质》。以下是本节的课时安排：

二、学情分析

本节的主要内容是正弦、余弦函数的性质，过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数的性质，了解研究函数性质的一般套路，上一节学习了正弦、余弦函数的图象，为本节研究正弦函数的性质、余弦函数、正切函数的图象与性质，函数y=Asin(ωx+φ)的图象的研究打好基础，起到了承上启下的作用，因此，本节的学习有着极其重要的地位。

三、学习目标

1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义，培养数学抽象的核心素养；

2.会求常见三角函数的的周期，提升数学运算的核心素养；

3.通过图象直观理解奇偶性，并能正确确定相应的对称轴和对称中心，提升直观想象的核心素养。

四、教学重点

重点：正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性；

深化研究函数性质的思想方法．

难点：正弦函数和余弦函数的周期性，以及周期函数、(最小正)周期的意义．

五、教学过程

（一）新知导入

如果现在是早上9点钟,问你:24小时以后是几点钟?你会毫不犹豫地回答:还是早上9点钟.因为你很清楚,0点、1点、2点、3点……23点,每隔24小时就重复出现一次,如果今天是星期一,问你:7天以后是星期几?你也会回答:还是星期一.因为你很清楚,星期一、星期二……星期天,每隔7天就重复出现一次.相同的间隔重复出现的现象称为周期现象,如“24小时1天”“7天1星期”“365天1年”就是我们所熟悉的周期现象.自然界中有很多周期现象,如日出日落、月圆月缺、四季交替等.

【想一想】正弦函数、余弦函数是否有这样的周期性呢?

【设计意图】通过复习三角函数的定义，用联系的观点引入本节新课，建立知识间的联系，提高学生概括推理的能力。

（二）正弦、余弦函数的性质

【探究1】观察f(x)的部分图象,函数图象每相隔多少个单位重复出现?

【提示】每相隔1个单位重复出现.

【探究2】由诱导公式一:sin(x＋2kπ)＝sin x，cos(x＋2kπ)＝cos x. 结合正(余)弦曲线,可以看出正(余)弦函数怎样的特征?图象变化趋势是怎样的?

【提示】自变量x增加2π的整数倍时,函数值重复出现,图象发生“周而复始”的变化.

1．函数的周期性

(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．

(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．

2．正弦、余弦函数的周期性

正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π.

【注意】对周期函数的三点说明

(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．

(2)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．

(3)并非所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝C(C为常数，x∈R)，所有的非零实数T都是它的周期，不存在最小正周期．

【做一做1】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)由于sin＝sin，则是函数y＝sinx的一个周期．(　　)

(2)因为sin＝sin，所以函数y＝sin的周期为4π.(　　)

(3)对任意实数x，若有f(x＋1)＝f(x)，则f(x)是周期函数，T＝1是f(x)的一个周期．(　　)

3.正弦、余弦函数的奇偶性

【探究1】观察正弦曲线和余弦曲线具有怎样的对称性?

【提示】y=sin x,x∈R的图象关于原点对称,y=cosx,x∈R的图象关于y轴对称.

【探究2】上述特征反映出正、余弦函数的什么性质?

【提示】上述特征反映出正弦函数y=sin x是奇函数,余弦函数y=cos x是偶函数.

【探究3】对于x∈R，根据诱导公式sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x，这说明正、余弦函数具备怎样的性质？

【提示】函数的奇偶性。

正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．

【思考1】判断函数的奇偶性的步骤？

【提示】　1：看函数的定义域是否关于原点对称；2：看f(x)与f(－x)的关系．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．要特别注意化简前后式子的等价性．

【思考2】判断函数的奇偶性还有什么方法？

【提示】若函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数，若函数的图象关于y轴对称，则该函数是偶函数．

（三）典型例题

1.正、余弦函数的周期性

例1.  求下列三角函数的最小正周期:

(1)y=3cos x,x∈R;     (2)y=sin 2x,x∈R;  (3)y=2sin(),x∈R;        (4)y=|cos x|,x∈R.

【解析】(1)因为3cos(x+2π)=3cos x,所以由周期函数的定义知,y=3cos x的最小正周期为2π.

(2)因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x,所以由周期函数的定义知,y=sin2x的最小正周期为π.

(3)因为,所以由周期函数的定义知,的最小正周期为4π.

(4)y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cos x|的最小正周期为π.

【思考】三角函数的周期与哪个量有关？

【提示】与的大小有关，由此得到周期公式：.

利用周期公式，例题中各函数周期为(1)=2 （2）= ,.

【类题通法】求函数最小正周期的常用方法

(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．

(2)公式法，对于形如y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，且ω≠0)函数的周期求法常直接利用T＝来求解；形如y＝|Asin ωx|或y＝|Acos ωx|的周期常结合函数的图象，观察求解．

(3)图象法，即通过画出函数图象，通过图象直接观察即可．

三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．　

【巩固练习1】（1）函数y=2sin (3x+),x∈R的最小正周期是(　　)

(A) (B) (C) (D)π

(2)函数y=|sin 2x|(x∈R)的最小正周期为　　　　. 

【解析】　（1）

(2)作出y=|sin 2x|(x∈R)的图象(如图所示).

由图象可知,函数y=|sin 2x|(x∈R)的最小正周期为.

【答案】 （1）B  （2）

2.奇偶性

例2. 判断下列函数的奇偶性:

(1)f(x)=sin 2x;(2)f(x)=sin(+);(3)f(x)=sin |x|;(4)f(x)=+.

【解析】(1)显然x∈R,f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以f(x)=sin 2x是奇函数.

(2)因为x∈R,f(x)=sin(+)=-cos,所以f(-x)=-cos(-)=-cos=f(x),

所以函数f(x)=sin(+)是偶函数.

(3)显然x∈R,f(-x)=sin |-x|=sin |x|=f(x),所以函数f(x)=sin |x|是偶函数.

(4)由得cos x=1,所以x=2kπ(k∈Z),关于原点对称,此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.

【类题通法】判断函数奇偶性的方法

(1)利用定义判断一个函数f(x)的奇偶性,要考虑两方面:①函数的定义域是否关于原点对称;②f(-x)与f(x)的关系;

(2)判断函数的奇偶性常用方法是:①定义法;②图象法.

【巩固练习2】1.下列函数中,最小正周期为π的奇函数是(　　)

(A)y=sin(2x+)    (B)y=cos(2x+)   (C)y=sin(2x+)    (D)y=sin(x+)

【答案】B

【解析】　A中,y=sin(2x+),即y=cos 2x,为偶函数;C,D中,函数为非奇非偶函数;B中,y=cos(2x+)=-sin 2x,是奇函数,T==π,故选B.

3. 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用

例3.　定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f 等于(　　)

A．－         B.      C．－     D.

答案　D

解析　f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝sin ＝.

变式探究

1．若本例中“偶”变“奇”，其他条件不变，求f 的值．

解　f ＝f ＝－f ＝－sin ＝－.

2．若本例中函数的最小正周期变为，其他条件不变，求f 的值．

解　因为f(x)的最小正周期是，

所以f ＝f ＝f ＝f ＝.

【类题通法】三角函数周期性与奇偶性的解题策略

(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．

(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(Aω≠0)或y＝Acos ωx(Aω≠0)其中的一个．

【巩固练习3】已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin x，求当x∈时f(x)的解析式．

解　x∈时，3π－x∈，

因为x∈时，f(x)＝1－sin x，

所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x.

又f(x)是以π为周期的偶函数，

所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，

所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈.

（四）操作演练  素养提升

1．下列函数中，周期为的是(　　)

A．y＝sin x   B．y＝sin 2x

C．y＝cos    D．y＝cos 4x

2．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是(　　)

A．奇函数                             B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数               D．非奇非偶函数

3．已知函数f(x)＝sin－1，则下列命题正确的是(　　)

A．f(x)是周期为1的奇函数              B．f(x)是周期为2的偶函数

C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数        D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数

4．函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为________．

答案：1.D     2.A     3.B       4.4

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

六、布置作业

完成教材：第203页  练习     第1，2，3,4题

         第213页  习题5.4     第2,3题