2020届二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1) 练习

集合、简易逻辑与不等式

一、单选题

1．设集合，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

试题分析：依题意，故选D.

考点：集合的交运算，容易题.

2．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为（   ）

A．                    B．                   C．                  D．

【答案】D

【解析】

试题分析：将椭圆方程化为标准方程得,则椭圆的参数方程为,所以,故最大值为.

考点：1.椭圆的参数方程；2.三角函数求最值.

【思路点晴】题目给的椭圆的方程不是标准方程,这样我们第一步就要将椭圆方程转化为标准的形式.题目要求的最小值,我们根据椭圆的标准方程,写出椭圆的参数方程,然后代入,得到,当时取得最大值为.最后一步是利用辅助角公式求三角函数最值.

3．已知集合，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

解不等式可得集合，根据并集的概念即可得结果.

【详解】

由，，则

故选B.

【点睛】

本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及集合并集的运算，属于基础题.

4．有下列四个命题，其中真命题有：

①“若，则、互为相反数”的逆命题

②“全等三角形的面积相等”的否命题              

③“若，则有实根”的逆命题

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题

其中真命题的序号为：

A．①② B．②③ C．①③ D．③④

【答案】C

【解析】

“若x,y互为相反数,则x+y=0”是真命题；故①对；“若有实根,则，即q1”是真命题；③对.选C

5．设是等差数列，为等比数列，其公比, 且，若,，则与的大小关系为（    ）

A． B． C． D．不确定

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等差中项和等比中项的性质，结合基本不等式，判断出与的大小关系.

【详解】

由于是等差数列，为等比数列，所以，而,，所以，由于，根据基本不等式可知，即.

故选：B.

【点睛】

本小题主要考查等差中项、等比中项的性质，考查基本不等式求最值.

6．下列结论错误的是

A．命题“若，则”与命题“若，则”互为逆否命题

B．命题；命，则为真

C．“若，则”的逆命题为真命题

D．若为假命题，则p、q均为假命题

【答案】C

【解析】

试题分析：因为“命题“若，则”与命题“若，则”互为逆否命题”，所以选项A为真命题，不合题意；

因为命题是真命题；命题是假命题，则为真命题，所以选项B是正确；

因为当时，，所以“若，则”的逆命题为假命题，所以选项C是错误的；

故选C.

考点：四种命题及其关系，简单的逻辑用语及复合命题真假性的判断.

7．已知集合,则（   ）

A．      B．        C．       D．

【答案】D

【解析】

试题分析：,故选D.

考点：集合的运算．

二、填空题

8．已知AB={3}，(A)∩B={4，6，8}，A∩(B)={1，5}， (A)∪(B)={ }，则(A∪B)= ________

【答案】{2，7，9}；

【解析】

由题意，画韦恩图可知：

。

点睛：整数集合交并补的综合题型适合应用韦恩图帮助解题，建立韦恩图模型，根据题意，将相应的数填入对应的韦恩图区域，最终得到完整的数集韦恩图模型，再解决题目问题。

9．集合，，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】

先分别化简两集合，再求并集，即可得出结果.

【详解】

因为或；

，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查并集的运算，熟记并集的概念即可，属于基础题型.

10．设实数满足则的最大值是               ．

【答案】

【解析】

试题分析： 作出不等式组所表示的平面区域如下图：

由的几何意义为：区域内的点与坐标原点连线的斜率可得的最大值是点与点O连线的斜率．

故答案为：

考点：线性规划．

11．已知集合A＝{﹣3，0}，B＝{0，2}，则集合A∪B＝_____

【答案】{﹣3，0，2}

【解析】

【分析】

根据两集合并集的概念进行求解即可.

【详解】

∵集合，，

∴集合．

故答案为：.

【点睛】

本题考查的是集合间的并集的运算，是基础题.

12．若对满足条件的任意，恒成立，则实数的取值范围是_________

【答案】

【解析】

【分析】

先根据等式找到与的关系，方便计算出；将不等式进行分离参数，转而求解不含参数部分对应的最值，及可求解出的范围.

【详解】

因为，所以，则

，取等号时；又因为恒成立，所以恒成立，令，则在递增，所以在上，则，所以.

【点睛】

利用基本不等式求解参数范围，常用的方法：先分离参数，然后对不含参数部分的式子运用基本不等式，再根据不含参数部分的最值与参数的关系求解出参数范围.

13．已知，若，则 ________.

【答案】-1

【解析】

【分析】

由题意，a≠0，则b=0，代入化简求出a，可求a2017+b2017．

【详解】

由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，

又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，

因此a＝－1，故a2 017＋b2 017＝(－1)2 017＋02 017＝－1，

故答案为：－1.

【点睛】

本题考查了集合内元素的特征，互异性与无序性，属于中档题．

14．若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是              。

【答案】

【解析】

试题分析：，所以的最小值是5，原不等式恒成立，则，整理得：，解得或．

考点：1．含绝对值不等式的性质；2．不等式的解法．

15．已知集合，，则 __________．

【答案】

【解析】

试题分析：，

考点：集合运算

【方法点睛】

1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．

2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．

3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．

16．已知，满足则的最大值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=1时，z=x+2y取得最大值为5．

【详解】

作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（-2，-2），C（4，-2）
设z= x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最大值
∴z最大值= 3
故答案为：3

【点睛】

本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．

17．命题“，”的否定是____________．

【答案】，

【解析】

【分析】

根据存在量词的否定为全称量词且只否定结论即可得到结果.

【详解】

存在量词命题的否定是全称量词命题且只否定结论

原命题的否定为：“，”

故答案为： ，

【点睛】

本题考查含量词命题的否定，属于基础题.

三、解答题

18．已知不等式 的解集为{x|x<1或x>b)

(1)求a,b;

(2)解不等式 .

【答案】（1），； （2）当时，原不等式的；当时，原不等式的；

当时，原不等式的.

【解析】

【分析】

（1）根据不等式 的解集与的根关系，结合韦达定理可得，，从而可得结果；（2）等价于分三种情况论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】

（1）由题意可知1，为方程的两根，

据根与系数的关系有，，可得，.

（2）由（1）可知，不等式，

当时，原不等式的；

当时，原不等式的；

当时，原不等式的.

【点睛】

分类讨论思想的常见类型 

⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； 

⑵问题中的条件是分类给出的； 

⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； 

⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.

19．已知直角的三边长，满足

（1）在之间插入2011个数，使这2013个数构成以为首项的等差数列，且它们的和为，求的最小值；

（2）已知均为正整数，且成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列，且，求满足不等式的所有的值；

（3）已知成等比数列，若数列满足，证明：数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且是正整数.

【答案】（1）最小值为； （2） 2、3、4.

（3）证明：由成等比数列，.

由于为直角三角形的三边长，证明数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形. 证得，

故对于任意的都有是正整数.

【解析】

试题分析：（1）是等差数列，∴，即. 2分

所以，的最小值为； 4分

（2） 设的公差为，则5分

设三角形的三边长为，面积，，

. 7分

由得，

当时，，

经检验当时，，当时，9分

综上所述，满足不等式的所有的值为2、3、4. 10分

（3）证明：因为成等比数列，.

由于为直角三角形的三边长，知，， 11分

又，得，

于是

.… 12分

，则有.

故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形. 14分

因为，

， 15分

由，同理可得，

故对于任意的都有是正整数. 16分

考点：本题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，构成直角三角形的条件。

点评：难题，本题综合性较强，涉及等差数列、等比数列、不等式及构成直角三角形的条件。对法则是自点变形能力要求高，易出错。

20．（2018天津一中高三上学期第三次月考）某营养学家建议：高中生每天的蛋白质摄入量控制在（单位：克），脂肪的摄入量控制在（单位：克），某学校食堂提供的伙食以食物和食物为主，1千克食物含蛋白质60克，含脂肪9克，售价20元；1千克食物含蛋白质30克，含脂肪27克，售价15元．

（1）如果某学生只吃食物，判断他的伙食是否符合营养学家的建议，并说明理由；

（2）为了花费最低且符合营养学家的建议，学生需要每天同时食用食物和食物各多少千克？并求出最低需要花费的钱数．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）根据A满足蛋白质的摄入量时确定脂肪摄入量，A满足脂肪摄入量时确定蛋白质的摄入量，再对照专家标准进行比较判断（2）设学生每天吃千克食物，千克食物，则目标函数为，再根据条件列约束条件，画出可行域，求目标函数最小值

试题解析：（1）解：如果学生只吃食物，则蛋白质的摄入量在（单位：克）时，食物的重量在（单位：千克），其相应的脂肪摄入量在（单位：克），不符合营养学家的建议；当脂肪的摄入量在（单位：克）时，食物的重量在（单位：千克），其相应的蛋白质摄入量在（单位：克），不符合营养学家的建议.

（2）设学生每天吃千克食物，千克食物，每天的伙食费为，

由题意满足，即，

可行域如图所示，

把变形为，得到斜率为，在轴上截距为的一族平行直线.由图可以看出，当直线经过可行域上的点时，截距最大.

解方程组，得点的坐标为，

所以元，

答：学生每天吃0.8千克食物，0.4千克食物，既能符合营养学家的建议又花费最少.最低需要花费22元.

21．已知命题p：关于的方程有实根；命题q：关于的函数在是增函数，若为真，为假，求a的取值范围.

【答案】

【解析】

【分析】

命题p：，解得的范围；命题q：对称轴，解得的范围；若为真，为假，则命题p与命题q一真一假，分类讨论求出的范围.

【详解】

解：命题p：关于x的方程有实根，则，

解得；

命题q：关于的函数在是增函数，

所以对称轴，解得.

若为真，为假，则p与q必然一真一假，

所以.，或，

解得，

所以实数a的取值范围是.

【点睛】

本题考查二次函数的单调性，一元二次方程根与判别式的关系，简单逻辑的判断方法，考查了推理能力与计算能力.

22．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边、、，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写出公式，即若，则．

（1）已知的三边，，，且，求证：的面积．

（2）若，，求的面积的最大值．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）由三角形的面积公式和同角的平方关系、余弦定理可得证明；

（2）运用两角和的正切公式，求得，再由余弦定理和基本不等式，结合三角形的面积公式可得所求最大值．

【详解】

（1），，

；

（2）由，可得，

即有，

由，可得，，

即有，即，

由于，故，由余弦定理可得，

可得，当且仅当时取得等号，则的面积，即的最大值为．

【点睛】

本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查两角和的正切公式和基本不等式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．

23．已知集合

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）将代入集合，然后再利用交集的定义求出集合；

（2）由，得出，然后分和两种情况讨论，结合得出关于实数的不等式组，解出即可.

【详解】

（1）当时，，，因此，；

（2），.

当时，，解得，此时成立；

当时，则有，解得.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查交集的运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，解题的关键就是对含参集合分空集和非空集合进行分类讨论，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中等题.

24．在中，分别为角的对边，且满足

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求的最小值．

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ），

，

．，

，．

（Ⅱ）由余弦定理，得

．，

．所以的最小值为，

当且仅当时取等号．