2020届二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1) 练习

集合、简易逻辑与不等式

一、单选题

1．已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m不成立；当l∥m时，又只有m在平面α内，根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件，故选B．

2．例题：“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】

【分析】

根据含量词命题的否定的形式可得结果.

【详解】

为命题的否定，则，

本题正确选项：

【点睛】

本题考查逻辑连接词中的“非”命题，即命题的否定，属于基础题.

3．已知命题直线过不同两点，命题直线的方程为，则命题是命题的（  ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

当时，过不同两点的直线方程为，即 ，

又当时，直线为，也满足上式，

当时，直线为，也满足上式，

所以，过不同两点的直线方程为 .

反过来，直线的方程为 ，则当时，，所以直线过点同理，当时，，所以直线过点即直线过不同两点.

所以命题是命题的充要条件.

本题选择C选项.

4．已知集合,,则（ ）

A．    B．

C．    D．

【答案】A

【解析】

试题分析：，，

故答案为A．

考点：集合的交集．

5．设,都是非零向量，下列四个条件，使成立的充要条件是

A． B．

C．且 D．且方向相同

【答案】D

【解析】

【分析】

根据向量平行的定义以及和向量同向的单位向量的定义，进行判断即可.

【详解】

表示与方向相同的单位向量，表示和同向的单位向量，因此成立则一定有：与平行且同向，反之，与同向则与两个向量各自同向的单位向量也是同向的.故和且方向相同，这两个条件是可以互相推导出来的.

故选D．

【点睛】

判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

6．在中，角、、所对应的变分别为、、，则是的（ ）

A．充分必要条件 B．充分非必要条件

C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

利用三角形中大角对大边、正弦定理边角互化，结合充分条件与不要条件的定义可得结果.

【详解】

由正弦定理得（其中为外接圆的半径），

则，，

，

因此是的充分必要必要条件，故选A.

【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用、充分必要条件的判定，属于中等题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.

7．已知集合，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

因为，所以，应选答案D。

8．已知集合，且，则满足条件的集合的个数是（   ）

A．                      B．                        

C．                      D．

【答案】B

【解析】

试题分析：因为，所以中有没有，故可能性有共四种.

考点：子集，交集．

【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.

9．下列命题中，正确的一个是  （  ）

A． 

B． 

C．若成立的必要不充分条件，则 成立的充分不必要条件

D．若，则

【答案】C

【解析】

试题分析：即解得：无解，所以不存在符合条件的，A错误；当时，，不符合题意，所以B错误；C正确；当时，不符合题意，所以D错误.综上答案为C.

考点：1.排除法；2.特殊值法；3.命题.

10．已知集合，则      （   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

分别解集合A、B中的不等式，再求两个集合的交集

【详解】

集合，

集合，所以，

选择C

【点睛】

进行集合的交、并、补运算前，要搞清楚每个集合里面的元素种类，以及具体的元素，再进行运算

11．“”的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

，充分不必要条件是其真子集，所以只有满足条件，故选B.

12．设为中的三边长，且，则的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由，则，再根据三角形边长可以证得，再利用不等式和已知可得，进而得到，再利用导数求得函数的单调性，求得函数的最小值，即可求解．

【详解】

由题意，记，又由，

则

，

又为△ABC的三边长，

所以，所以，

另一方面，

由于，所以，

又，

所以，

不妨设，且为的三边长，所以．

令，则，

当时，可得，从而，

当且仅当时取等号．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了解三角形，综合了函数和不等式的综合应用，以及基本不等式和导数的应用，属于综合性较强的题，难度较大，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题．

二、填空题

13．不等式组的解集是，那么的值等于          ．

【答案】1

【解析】

试题分析：

考点：一元二次不等式解法

14．有下列命题：①“四边相等的四边形是正方形”的否命题；②“梯形不是平行四边形”的逆否命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题．其中真命题是________.

【答案】 ①②

【解析】

【分析】

写出否命题然后判断真假，②写出逆否命题然后判断真假，③写出逆命题然后判断真假.

【详解】

①否命题为“四边不全相等的四边形不是正方形”，是真命题；

②逆否命题为“平行四边形不是梯形”，是真命题；

③逆命题为“相似三角形是全等三角形”，是假命题．

故答案为：①②

【点睛】

本题考查命题四种形式以及真假判断，注意命题的否定与否命题区别.

15．记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]＝2，[1.5]＝1，[－0.3]＝－1.设a为正整数，数列{xn}满足x1＝a，xn＋1＝ (n∈N*)．现有下列命题：

①当a＝5时，数列{xn}的前3项依次为5,3,2；

②对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时总有xn＝xk；

③当n≥1时，xn＞－1；

④对某个正整数k，若xk＋1≥xk，则xk＝[]．

其中的真命题有________．

【答案】①③④

【解析】

①当 时， ，

该说法正确；

②当 时，

该数列是从第三项开始为 的摆动数列，该说法错误；

③当 时， ，

则： 成立；

假设 时， ，

当 时， ，而：

，当且仅当 时等号成立.

故： ，

对于任意的正整数n，当 时， ，该说法正确；

④ ，由①②的规律可得 一定成立.

综上可得，真命题有①③④.

16．中的满足约束条件，则的最小值是__________．

【答案】

【解析】

将化为，故的几何意义即为直线在轴上的截距，划出点满足的可行域，通过平移直线可知，直线过点时，直线轴上的截距最小，此时也就有最小值，故答案为.

【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

三、解答题

17．命题p：的定义域为R；命题q：方程表示焦点在y轴上的双曲线．

若命题p为真，求实数m的取值范围；

若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2），．

【解析】

【分析】

命题p为真命题等价不等式恒成立，进行求解即可．根据复合命题真假关系，判断p，q的真假即可．

【详解】

解：若命题p为真，则，为真，

．

若命题q为真，则 ，

又“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，

是真命题且q是假命题，或p是假命题且q是真命题

或，

，或，

的取值范围是，．

【点睛】

本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．

18．已知p：方程2x2-2mx＋1=0有两个不相等的负实根；q：存在x∈R，

x2＋mx＋1<0．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．

【答案】－2≤m<－或m>2．

【解析】

试题分析：先化简p、q两个命题，再根据p或q为真，p且q为假知，p真q假或p假q真，联立不等式求解．

试题解析：若p为真，则m<－，若q为真，则m>2或m<－2，

由p或q为真p且q为假，得p真q假或p假q真，

故或∴－2≤m<－或m>2．

考点：1、复合命题真假判定；2、二次函数、二次不等式相关知识．

19．已知命题：复数，复数，是虚数；命题：关于的方程的两根之差的绝对值小于；若为真命题，求实数的取值范围.

【答案】的取值范围为.

【解析】

试题分析：对于，为虚数的条件是且，然后将的范围求出来；对于，利用二次方程根与系数的关系并结合不等式求解出的取值范围；由为真命题可知，都为真命题，故求出为真时的的取值范围的集合的交集即可.

试题解析：由题意知，

2分

若命题为真，是虚数，则有且

所以的取值范围为且且4分

若命题为真，则有7分

而

所以有或10分

由题意知，都是真命题，实数的取值范围为12分.

考点：1.复数的概念；2.二次方程根与系数的关系；3.逻辑联结词.

20．已知二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点，且，当时，恒有.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，且,求a的值；

(3)若，且对所有恒成立，求正实数m的最小值.

【答案】(1) ；(2) ；(3)2.

【解析】

【分析】

(1)把代入二次函数,根据,解不等式即可;(2)函数的图象与x轴有两个交点,得,可以求出其三个交点,从而求出其面积;(3)已知,且对所有恒成立,只要的最大值小于,然后再解不等式;

【详解】

(1)当，c＝2时，，f(x)的图像与x轴有两个不同交点，

因为，设另一个根为x1，则2x1＝6，x1＝3.

则的解集为.

(2) 函数f(x)的图像与x轴有两个交点，因，

设另一个根为，则于是.

又当时，恒有，则，则三交点为，8分

这三交点为顶点的三角形的面积为，且，

解得.

(3)当时，恒有，则，

所以f(x)在上是单调递减的，且在处取到最大值1，

要使，对所有恒成立，

必须成立，

,

解得或, 而,

所以m的最小值为2.

【点睛】

本题主要考查二次函数的性质,及不等式的恒成立问题,第一问比较简单,第二问有一定的难度,是一道中档题; 不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立.

21．设命题.

(1)

（2）若命题是命题的一个必要不充分条件，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）先求出时，因且为真，故的范围为 .

（2）因是的必要不充分条件，所以是的真子集，故可得的取值范围.

【详解】

，． 

（1）当时，．

若“且”为真命题，则，   

（2）当时，，

由命题是命题的必要但不充分条件，可知是的真子集，此时符合题意，

当时，，

要使是的真子集，须，即．

当时，，满足命题是命题的必要但不充分条件． 

因此，的取值范围是．

【点睛】

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

22．设，，.

（1）若，求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）由集合可求得,再由可得到集合,然后将集合与取并集即可;

（2）由可知,进而可得,求解即可.

【详解】

（1）由,则或,

,则,

所以.

（2）由,则,

可得,解得.

所以实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查了集合间的运算,考查了子集的性质,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.