2020届二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1) 练习

集合、简易逻辑与不等式

一、单选题

1．设集合，，集合中所有元素之和为8，则实数的取值集合为（ ）

A．Ｂ． B． C．

【答案】C

【解析】

试题分析：B={1,4},两根是x=3，x=a，当a=0、1、3、4时，满足集合中所有元素之和为8，故选C.

考点：集合的运算；解一元二次方程.

2．命题 x∈R,x+1＜0的否定是 （      ）

A． x∈R,x+1≥0          B． x∈R,x+1≥0     

C． x∈R,x+1＞0．     D． x∈R,x+1＞0

【答案】B

【解析】试题解析：∵ x∈R,x+1＜0

        ∴ x∈R,x+1≥0 

考点：本题考查命题的否定

点评：解决本题的关键是命题的否定一是结论否定，二是量词否定

3．命题若，则；命题，下列命题为假命题的是（ ）

A．或 B．且 C． D．

【答案】B

【解析】

试题分析：由于是假命题,是真命题,因此且是假命题；命题,或和都是真命题.应选B.

考点：复合命题的真假和判定．

4．已知（且）恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（   ）

A． B．8 C． D．4

【答案】C

【解析】

当x=2时,loga(x−1)+1=1恒成立，

故f(x)=loga(x−1)+1(a>0且a≠1)恒过定点M(2,1)，

∵点M在直线 (m>0,n>0)上，

故，则：

，

当且仅当时等号成立.

即m+n的最小值为.

本题选择C选项.

点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

5．“”是“直线和直线平行”的（     ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

根据题意，若l1∥l2，则有1×3=a×（a-2），解可得a=-1或3，反之可得，当a=-1时，直线l1：x-y+6=0，其斜率为1，直线l2：-3x+3y-2=0，其斜率为1，且l1与l2不重合，则l1∥l2，
当a=3时，，直线l1：x+3y+6=0，直线l2：x+3y+6=0，l1与l2重合，此时l1与l2不平行，所以l1∥l2⇒a=-1，反之，a=-1⇒l1∥l2，故l1∥l2⇔a=-1，
故选C．

6．已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】

试题分析：因为，所以，又，，因此，即实数的取值范围是，故选B.

考点：1、集合的表示；2、集合的基本运算.

7．已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

取，则，A,B说法错误，

取，则，C的说法错误.

本题选择D选项.

8．下列说法正确的是（ ）

A．命题p：“”，则Øp是真命题

B．“”是“”的必要不充分条件

C．命题“使得”的否定是：“”

D．“”是“上为增函数”的充要条件

【答案】D

【解析】

试题分析：A中命题p是真命题，所以Øp是假命题；B中“”是“”的充分不必要条件；C中命题的否定为“”

考点：命题的判定

9．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A，B，C的关系是（    ）

A． B．

C．ABC D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由集合A，B，C，求出B与C的并集，A与C的交集，判断A与C的包含关系，以及A，B，C三者之间的关系即可．

【详解】

∵A={第一象限角}=；B={锐角}=；C={小于90°的角}=．

∴B∪C＝{小于90°的角}＝C，即B⊂C，且B⊂A，

则B不一定等于A∩C，A不一定是C的子集，三集合不一定相等，

由集合间的关系可得．

故选B．

【点睛】

此题考查了交、并集及其运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键．

10．若，，则的最小值为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用等式，表示出a，进而根据基本不等式及其性质解得最小值。

【详解】

当时，代入等式不成立，因而

所以

所以

（当a=3,b=2时取等号）

即最小值为7

所以选D

【点睛】

本题考查了基本不等式的简单应用，属于中档题。

11．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

分析：对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得到不等式的解集，然后利用充分条件与必要条件的定义判断即可..

详解：，

当时，化为，解得；

当时，化为，即，解得；

当时，化为，解得，

综上可得：的取值范围是，

“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D.

点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题，将含绝对值不等式解法、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系在起来，体现综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题

12．已知函数，则不等式的解集是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

把原不等式化为①，或②，分别求出①的解集和②的解集，再取并集即得所求．

解：函数f(x)=，则由不等式 f（1-x2）＞f（2x）可得

①，或②．

解①得 x＞，解②得≥x＞-1+或x＜-1-．

故原不等式的解集为{x|x＜-1-，或x＞-1}，

故选D．

二、填空题

13．已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，且AB，则a等于_________.

【答案】-2

【解析】

分析：由为的子集，得到中的所有元素都属于，从而可得，进而可求出的值.

详解：集合，且，，解得，故答案为.

点睛： 本题主要考查子集的基本定义，属于简单题.

14．设集合，则集合_______________

【答案】｛-1,0,1｝

【解析】

得或则A= ；得或则B

则｛-1,0,1｝

故答案为｛-1,0,1｝

15．若，，且满足，，则 y 的最大值是    

【答案】

【解析】

【分析】

利用 ，即，利用指数函数的单调性，即可求得y的最大值．

【详解】

∵，，且满足，，
∴  
∴
∵

∴  
∴y的最大值是  
故答案为 

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，考查指数函数的单调性，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题．

16．命题“x∈R，x2≥0”的否定是         ．

【答案】∃x∈R，使得x2＜0

【解析】

试题分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到命题的否定．

∵全称命题的否定是特称命题，

∴命题“任意x∈R，都有x2≥0”的否定为：“∃x∈R，x2＜0”．

故答案为：∃x∈R，x2＜0．

考点：全称命题与特称命题

三、解答题

17．记函数的定义域为集合，函数的定义域为集合．

（1）求；

（2）若，且，求实数的取值范围．

【答案】（1），或；（2）

【解析】试题分析：（1）确定集合,再求；(2)解一元二次不等式，得，再根据,列出关于的不等式（组），得的取值范围.

试题解析：（1）由，所以，或，由，所以，∴，或；（2）因为，所以，因为,所以且，∴

∴实数的取值范围是.

考点：1、集合的运算；2、集合的关系.

18．已知二次函数满足，对任意有恒成立.

（1）求的解析式；

（2）若，对于实数，记函数在区间上的最小值为，且恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由题意得出，即，可得出，由此可得出不等式恒成立，且当时等号成立，可得出，可解出实数的值，可得出的值，由此可得出函数的解析式；

（2）作出函数在上的图象，然后分、、三种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，得出的表达式，然后利用参变量分离法求出满足不等式恒成立的实数的取值范围.

【详解】

（1）对任意的有恒成立，当时，则，

所以，，可得，，

所以不等式在上恒成立，即二次不等式在上恒成立，即二次不等式在上恒成立，当时等号成立，

，解得，，因此，；

（2）由题意可得.

作出函数在区间上的图象如下图所示：

当时，.

当时，，令，可得，得，

此时.

由图象可知，当时，函数在区间上的最小值为，

由，得，可得，

，则，

由于双勾函数在区间上单调递增，当时，，

则，此时，；

当时，函数在区间上的最小值为，

由，得，即对任意的恒成立，

则，解得；

当时，函数在区间上单调递增，

函数在区间上的最小值为，

由，可得，即.

函数在区间上单调递增，，，

此时，.

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查了函数最小值的求解以及不等式恒成立问题，解题时要注意对参数的取值进行分类讨论，在解不等式恒成立问题时，可结合参变量分离法转化为函数的最值来处理，考查分类讨论思想、化归与转化思想的应用，属于中等题.

19．设集合，，且.

（1）求的值及集合A，B；

（2）设全集，求；

（3）写出的所有真子集

【答案】（1），.（2）（3），，.

【解析】

试题分析: （1）由题意得2是方程的根,也是方程的根,代入方程可得.再解一元二次方程得A，B；验证满足.（2）先求全集,再求对应补集,最后求补集的并集,（3）所有真子集等于所有子集去掉本身,共3个,依次列举即可.

试题解析:（1）由，得2是方程和的公共解，则，解得.

此时，.

（2）由并集的概念，得.

由补集的概念，得，，

故.

（3）的所有真子集即集合的所有真子集，为：，，.

20．（10分）已知集合，

（1）求；（2）求；

【答案】（1）;（2）.

【解析】

试题分析：（1）可在数轴上表示出集合的取值范围，求其并集;（2）可在数轴上先求出A的补集，再求.

试题解析：（1）                  4分

（2）           7分

                 10分

考点：集合的运算.

21．已知集合，.

（1）若，求；

（2）如果，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

【分析】

（1）时，，，可求，

（2）首先求得集合A，然后结合题意分类讨论即可求得最终结果

【详解】

（1）时，，，.

（2）得，，.

当，即，符合；

当，即，，符合；

当，即，中有两个元素，，

∴，

综上，或.

【点睛】

本题考查交并补混合运算以及子集问题，分类讨论的数学思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．

22．解不等式.

（1）解关于的不等式；

（2）.

【答案】（1）当时，不等式解集为或；

当时，不等式解集为且；

当时，不等式解集为或；

（2）.

【解析】

【分析】

(1)对因式分解，对根的大小进行讨论，即可求解；

(2)由于分母大于0恒成立，所以将原不等式转化为，求解即可得出答案.

【详解】

（1）∵，∴.

①当时，或，不等式解集为或；

②当时，不等式为，不等式解集为且；

③当时，或，不等式解集为或.

（2）对任意实数都成立

所以等价于

即，解得

则不等式的解集为

【点睛】

本题主要考查了一元二次不等式以及分式不等式的解法，属于基础题.