2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1) 练习

集合、简易逻辑与不等式

一、单选题

1．设，是非零向量，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量模长与数量积的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】

由“||＝||+||”平方得||2﹣2•||2＝||2+2||•||+||2，

即•||•||，

则||•||cos，||•||，

即cos，1，即，180°，此时∥成立，充分性成立，

若，0°时，满足∥，但•||•||不成立，即必要性不成立，

即“||＝||+||”是“∥”的充分不必要条件，

故选：A．

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的关系进行转化是解决本题的关键．

2．命题“且”的否定形式是（    ）

A．且

B．或

C．且

D．或

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．

【详解】

因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃n0∈N*，f（n0）∈N*且f（n0）≤n0”的否定形式是：∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n．

故选：B．

【点睛】

本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．

3．设命题，；命题，则下列命题为真命题的是（ ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】

试题分析：因为在单调递增，所以假，又根据基本不等式, 知当时, “” 成立,真, 根据真值表知为真,故选B.

考点：1、函数的单调性；2、基本不等式的应用.

4．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（    ）

A．6 B．4 C．3 D．2

【答案】C

【解析】

分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．

详解：由变量x、y满足约束条件作出可行域如图，

化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，

由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（1，1）时直线在y轴上的截距最小，z最小，为2×1+1=3．

故选：C．

点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

5．已知命题P：若则，命题q: 若则。在命题：①，②

③，④中，真命题是（ ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【答案】D

【解析】

试题分析：命题P：若则，为假。命题q: 若则，为假。

①， ③，为含“且”“非”；一假则假。

②，④为“或”“非”。一真则真。

考点：含有逻辑联接词的复合命题真假判定.

6．命题“”的否定为（ ）

A．    B．

C．    D．

【答案】D

【解析】试题分析：根据特称命题的否定是全称命题可知命题“”的否定为“”，故选D.

考点：全称命题与特称命题.

7．设集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先化简集合，再由交集的概念，即可得出结果.

【详解】

因为，又，

所以．

故选：D

【点睛】

本题主要考查集合的交集，熟记交集的概念即可，属于基础题型.

8．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有位，阅读过《红楼梦》的学生共有位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有位，则阅读过《西游记》的学生人数为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意画出韦恩图即可得到答案。

【详解】

根据题意阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有位，阅读过《红楼梦》的学生共有位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有位，得到的韦恩图如图，所以阅读过《西游记》的学生人数为人

故选B.

【点睛】

本题考查利用韦恩图解决实际问题，属于简单题。

二、填空题

9．集合A＝｛x∈N｜∈N｝用列举法表示为      

【答案】{0,3,4,5}.

【解析】

试题分析：，列举法表示为{0,3,4,5}

考点：集合的描述法列举法

10．若满足约束条件，则目标函数的最大值等于_______,最小值等于_______．

【答案】6    -10   

【解析】

【分析】

先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数中的几何意义，求出直线的最大值即可．

【详解】

作出满足约束条件可行域如图，
由知， ，
所以动直线的纵截距取得最大值时，目标函数取得最大值．
由可行域得结合可行域可知当动直线经过点 时，
目标函数取得最小值 ．
目标函数经过可行域的 时，取得最大值：6．
故答案为：6；-10．

【点睛】

本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．

11．设是定义在R上的奇函数，且满足，，，则实数的取值范围是            .

【答案】

【解析】

【分析】

先由和奇偶性，得到，然后解出m即可.

【详解】

解：因为，所以

又因为函数为奇函数，所以

因为，所以

解得

故答案为：

【点睛】

本题考查了函数的周期性和奇偶性，属于基础题.

12．已知的最小值为则的值为      ．

【答案】4

【解析】

试题分析：因为，当且仅当时取等号，所以

考点：基本不等式求最值

13．在中,已知,,,为线段上的点,且,则的最大值为________.

【答案】3

【解析】

【详解】

由得

所以由得

又为线段上的点，且,

所以 ，

当且仅当时，等号成立

即的最大值为3.

三、解答题

14．设集合，且A∩B＝C，求实数x，y的值及A∪B．

【答案】见解析

【解析】

由已知，，且A∩B＝C，得7∈A,7∈B且－1∈B，

则在集合A中，.

解得x＝－2或3.

当x＝－2时，在集合B中，x＋4＝2.

又2∈A，故2∈(A∩B)，又A∩B＝C，故2∈C，

但2∉C，故x＝－2不合题意，舍去．

当x＝3时，在集合B中，x＋4＝7.

故有2y＝－1，解得.

经检验，满足A∩B＝C.

综上知，x＝3，.

此时，，

故．

15．已知：集合，

其中., 称为的第个坐标分量. 若，且满足如下两条性质：

① 中元素个数不少于4个；

② ，存在，使得的第个坐标分量都是1；

则称为的一个好子集.

（Ⅰ）若为的一个好子集，且，写出；

（Ⅱ）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过；

（Ⅲ）若为的一个好子集且中恰好有个元素时，求证：一定存在唯一一个，使得中所有元素的第个坐标分量都是1.

【答案】（1） ； ；（2） 中元素个数不超过 ；（3）见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据好子集的定义直接写出即可；

（2）若为的一个好子集，考虑元素，进行判断证明即可；

（3）根据好子集的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论.

试题解析：

（1） ；

（2） 对于 ，考虑元素 ，

显然，，，， 对于任意的 ，，， 不可能都为 ，

可得 ， 不可能都在好子集 中，

又因为取定 ，则 一定存在且唯一，而且 ，

且由 的定义知道，，，，

这样，集合 中元素的个数一定小于或等于集合 中元素个数的一半，

而集合 中元素个数为 ，所以 中元素个数不超过 ．

（3） ，

定义元素 ， 的乘积为：，显然 .

我们证明：

“对任意的 ，，都有 .”

假设存在 ， 使得 ，

则由 知，

此时，对于任意的 ， 不可能同时为 ， 矛盾，

所以 ．

因为 中只有 个元素，我们记 为 中所有元素的乘积，

根据上面的结论，我们知道 ，

显然这个元素的坐标分量不能都为 ，不妨设 ，

 根据 的定义，可以知道 中所有元素的 坐标分量都为 ．

下面再证明 的唯一性：

若还有 ， 即 中所有元素的 坐标分量都为 ，

所以此时集合 中元素个数至多为 个，矛盾.

所以结论成立．

点睛：本题主要考查了有关集合的概念新定义的辨析等问题的求解，其中解答中涉及到与集合有关的新定义，读懂题意是解答此类问题的关键，此类试题综合性较强，难度较大，平时注意总结、积累.

16．已知函数.

(1)若不等式的解集为，求实数的值；

(2)在(1)的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1) ;(2) 的取值范围.

【解析】

试题分析：（1）由|x-a|≤3 得a-3≤x≤a+3,再根据f（x）≤3的解集为[-1,5] 可得,所以a=2．

（2）由|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5可得m≤5．

试题解析：（1）∵|x-a|≤3 ，∴a-3≤x≤a+3，

∵f（x）≤3的解集为[-1,5] ，∴，∴a=2． 5分

（2）∵f（x）+f（x+5）=|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5

又f（x）+f（x+5）≥m恒成立 ,∴m≤5．  10分

考点：绝对值不等式

17．已知关于的不等式的解集为.

（Ⅰ）求实数，的值；

（Ⅱ）若，求的最小值．

【答案】(1) .

(2) 当时，取得最小值.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）解绝对值不等式，根据不等式与方程的关系即可求得a、b的值。

（Ⅱ）代入a、b的值，并求得y的取值范围；配凑成基本不等式形式，即可求得y的最小值。

【详解】

（Ⅰ）显然，

∵，∴，

∴，

∴，

解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴.

，

∵，∴，

∴，

当且仅当，即时，等号成立，

∴当时，取得最小值.

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法，不等式与方程的关系及基本不等式的简单应用，属于基础题。

18．已知全集，集合,

(1)求；

(2)若集合，且，求实数的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】

【详解】

试题分析：(1)求出集合A,B进行运算即可

（2）分和两种情况，结合数轴列出不等式和不等式组求解

试题解析： (1)  

（2）①当时，即，所以，此时

满足题意 

②当时，，即时，

所以，解得：

综上，实数a的取值范围是

19．某单位欲用木料制作如下图所示的框架，框架的下部是边长分别为（单位为：）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为，问：分别是多少（精确到）时用料最省？

【答案】当为， 为时用料最省

【解析】

【分析】

由， 可得，框架用料的长度为，利用基本不等式可得结果.

【详解】

由题意知，

于是，框架用料的长度为

当，即时等号成立

此时，

答：当为， 为时用料最省

【点睛】

本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及基本不等式求最值，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.

20．（本小题满分12分）已知集合，.

（1）当时，求集合，；

（2）若，求实数m的取值范围．

【答案】（1），；（2）．

【解析】

试题分析：

(1)由题意求得集合B，然后进行集合集合运算可得：；

(2)分类讨论集合B为空集和集合B不是空集两种情况，当时，，当时，，则实数m的取值范围是.

试题解析：

（1）当时，，则

,

（2）当时，有，即

当时，有

综上，的取值范围：