2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1) 练习

集合、简易逻辑与不等式

一、单选题

1．已知，为正实数，向量，，若，则的最小值为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由可得m+n=1．又m，n为正实数，则=，展开利用基本不等式的性质可得出答案

【详解】

由，得，即，

则=，

当且仅当，即时，取等号，

故的最小值为．故选C．

【解题必备】

在对基本不等式的考查中，更多地是将基本不等式作为工具来解题．本题将基本不等式与三角形的边角关系结合起来考查，体现了基本不等式的工具性作用．基本不等式还可与数列、向量等知识相结合，注意知识的灵活运用．

【点睛】

本题主要考察调和不等式，即如果对本题直接采用均值不等式，不符合均值不等式中的“一正”“二定”“三相等”中的“二定”，即采用1进行调和，然后使用均值不等式，在使用均值不等式时大家一定要注意验证“一正”“二定”“三相等”

2．已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

如图

的几何意义为可行域内点与直线的斜率

当时，

故选

3．已知向量，，，则“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

由题得，等价于.

先考虑充分性，成立不能推出m=2成立,所以“”是“”的非充分条件.再考虑必要性，m=2成立可以推出成立，所以“”是“”的必要条件.所以“”是“”的必要非充分条件.故选B.

4．设A＝{x||x|＜2}，B＝{x|x＞a}，全集U＝R，若A⊆，则有(　　)

A．a＝0 B．a≤2

C．a≥2 D．a＜2

【答案】C

【解析】

【详解】

A＝{x||x|＜2}= ，B＝{x|x＞a}则 若A⊆ ，则a≥2

故选C

5．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人400元，请瓦工共需付工资每人500元，现有工人工资预算不超过20 000元. 设请木工人，瓦工人，则工人人数满足的关系式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意有请木工人，则需付所有木工工资元，请瓦工人，则需付所有瓦工工资元，则需付所有工人元，再列不等式即可.

【详解】

解：由题意，可得，

化简得 ，，.

故选A.

【点睛】

本题考查了不等式的实际应用，重点考查了阅读能力及处理实际问题的能力，属基础题.

6．已知集合，，若，则的子集个数为（ ）

A．5    B．4

C．3    D．2

【答案】B

【解析】

试题分析:因,故的子集个数为.故应选B.

考点：集合的交集运算.

二、填空题

7．命题“若，则”是____________命题（填“真”或“假”）．

【答案】真

【解析】

试题分析: 因为函数是单调递增函数,故由可得,故应填答案真.

考点:命题真假的判定．

8．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为________________．

【答案】

【解析】

【分析】

不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，可得2，3是ax2+bx+c=0的两个实数根，且a＜0．利用一元二次方程的根与系数的关系即可解出．

【详解】

由ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}可知a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，

由根与系数的关系可知＝5，＝6，

由a＜0易知c＜0，，，

故不等式cx2＋bx＋a＜0，即x2＋x＋＞0，

即x2x＋＞0，解得x＜或x＞，

所以不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为(－∞，)∪(，＋∞)．

【点睛】

本题考查三个二次之间的关系，属基础题.

9．已知集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【解析】

试题分析：由，解得，所以．因为是的充分不必要条件，所以，即实数的取值范围为．

考点：充分条件与必要条件．

【方法点睛】(1)充分条件、必要条件或充要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，求解一般步骤为：①首先要将等价化简；②将充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含关系；③列出关于参数的等式或不等式组，求出参数的值或取值范围．

10．命题“，”的否定是___________.

【答案】

【解析】

试题分析：命题“”的否定为“”，因此命题“”的否定是“”.

考点：命题的否定

11．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是        ，当取到最大值时=              .

【答案】

【解析】

试题分析：，由恒成立得；当取到最大值时满足，，.

考点：基本不等式.

12．已知全集，集合，．若，则实数的取值范围是      ．

【答案】

【解析】

试题分析：由题意，，，由，得，即．

考点：集合的运算．

13．在中，，是线段上的点，，若的面积为，当取到最大值时，___________.

【答案】

【解析】

【分析】

由三角形的面积公式得出，设，由可得出，利用基本不等式可求出的值，利用等号成立可得出、的值，再利用余弦利用可得出的值.

【详解】

由题意可得，解得，

设，则，可得，

由基本不等式可得，

当且仅当时，取得最大值，，，由余弦定理得，

解得．故答案为：．

【点睛】

本题考查余弦定理解三角形，同时也考查了三角形的面积公式以及利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，需要结合已知条件得出定值条件，同时要注意等号成立的条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

14．已知实数， 满足，则的最小值为1，则__________．

【答案】1

【解析】约束条件对应的三角形区域的三个端点为,

时， 的最小值为0，舍去;

 时, ,斜率为负，在处取得最小，得;

时， ,斜率为正，在处取得最小，得，舍去.

点晴：本题考查的是线性规划问题中的已知最值求参数的问题，线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最值会在可行域的端点或边界上取得.

15．已知集合，，则____．

【答案】

【解析】

【分析】

根据交集的定义即可求出．

【详解】

集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{﹣1，0，2}，则A∩B＝{0}，故答案为{0}.

【点睛】

本题考查了集合的运算，属于基础题．

三、解答题

16．已知全集U=R，A={x|﹣4≤x≤2}，B={x|﹣1＜x≤3}，P={x|x≤0，或x≥}，Q={x|a﹣2＜x＜a+2}．

（1）求A∩B；

（2）求（∁UB）∪P；

（3）若A∩B⊆Q，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）。

【解析】

试题分析：（1）利用数轴表示出集合A，集合B，注意区间端点的等号是否取到，然后观察图形，可以得到；（2）根据集合可得：，画数轴表示出集合和集合，于是可以得到：；（3）首先根据第（1）问求得，若，可以画出数轴，观察图形可知，应满足，解得：。本题重点考查集合的交、并、补运算，考查学生数形结合能力，同时考查含参数问题的处理，需要注意的是端点能否取等。

试题解析：（1）∵U=R，A={x|﹣4≤x≤2}，B={x|﹣1＜x≤3}，P={x|x≤0，或x≥}，Q={x|a﹣2＜x＜a+2}，

∴A∩B={x|﹣4≤x≤2}∩{x|﹣1＜x≤3}={x|﹣1＜x≤2}；

（2）∵∁UB={x|x≤﹣1或x＞3}，

∴（∁UB）∪P═{x|x≤﹣1或x＞3}∪{x|x≤0，或x≥}={x|x≤0或x≥}；

（3）∵A∩B⊆Q，

∴，解得0＜a≤1．

考点：1.集合的交、并、补运算；2、含参数的集合运算。

17．设集合，．

（1）求；

（2）若集合，满足，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据指数函数的运算性质和对数函数的运算性质，分别求得集合，再根据集合的交集的运算，即可求解.

（2）由集合，得到，即可求解.

【详解】

（1）由题意，根据指数函数的运算性质，可得，

由对数函数的运算性质，可得，

所以.

（2）由题意，可得集合，因为，

所以，解得，即实数实数的取值范围.

【点睛】

本题主要考查了集合的运算及应用，其中解答中根据指数函数与对数函数的额运算性质，正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

18．已知分别是的内角的对边，，

(1) 求角的大小；

(2) 若，求面积的最大值．

【答案】(1) ；(2)

【解析】

【分析】

（1）由正、余弦定理即可求解。

（2）由基本不等式与三角形的面积公式即可求解。

【详解】

（1）因为，

由正弦定理得，由余弦定理得，

因为，所以；

（2）因为，并由（1）得，

所以，所以，

当时取等号，所以

所以的最大值是.

【点睛】

本题考查正、余弦定理解三角形，三角形的面积公式及基本不等式，运用基本不等式时，注意验证等号成立的条件。

19．已知，，，比较与的大小.

【答案】

【解析】

【分析】

作差再进行因式分解，利用，结合的取值范围，即可大小比较．

【详解】

由题意，，

∵，

∴，，，

即.

【点睛】

本题主要考查大小比较，考查作差法的运用，考查分类讨论的数学思想，属于基础题．

20．已知命题：不等式对任意实数恒成立；命题：存在实数满足；命题：不等式有解.（1）若为真命题，求的取值范围．（2）若命题、 恰有两个是真命题，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）不等式对任意实数恒成立等价于，命题为真命题，则，可得，进而可得为真命题的取值范围；（2）不等式有解等价于，分三种情况讨论可得结果.

试题解析：（1）若命题为真命题，则对任意实数恒成立∴，即.若命题为真命题，则，∴.又∵为真命题，∴即的取值范围为.（2）若不等式有解，则当时，显然有解；当时，有解；当时，∵有解，∴，∴，∴不等式有解等价于，∴若命题、恰有两个是真命题，则必有或.即的取值范围为.

考点：真值表的应用及不等式有解和恒成立问题