2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1) 练习
展开集合、简易逻辑与不等式
一、单选题
1．, 则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，则，
所以，故选B。
2．“函数在区间上是增函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
时，“函数在区间上不是增函数”，时，在上是增函数，时，令，得，“在区间上是增函数” 的充分必要条件“”，故选C.
3．设变量y满足约束条件则z＝|x－3y|的最大值为( )
A．8 B．4 C．2 D．
【答案】A
【解析】
由题意作出满足条件的可行域如图中阴影部分，
则对于目标函数z=|x﹣3y|，平移直线y=x可知，
当直线经过点A（﹣2，2）时，z=|x﹣3y|取得最大值，
代值计算可得zmax=|﹣2﹣3×2|=8．
故选：A．
4．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】试题分析：中不等式应为;中要为正数;中要为正数;正确．
考点：基本不等式的应用
5．不等式ax2+bx+1＞0的解集是，则a+b的值是（ ）
A．5 B． C． D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得，解得即可．
【详解】
∵一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集是，
∴和是一元二次方程ax2+bx+1=0的两根,
∴，解得，
∴a+b=-7．
故选:C
【点睛】
熟练掌握一元二次不等式的解法与相应的一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．属于中档题.
6．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】,故选A.
7．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1．则￢p是（ ）
A．∃x∈R，sinx≥1 B．∃x∈R，sinx＞1
C．∀x∈R，sinx≥1 D．∀x∈R，sinx＞1
【答案】B
【解析】
分析：根据全称命题的否定可得命题的否定为，使得.
详解：根据全称命题的否定是特称命题，可得命题的否定是，使得，故选B.
点睛：解决该题的关键是要明确全称命题的否定是特称命题，写出即可.
二、填空题
8．函数，x(0，+∞)的最小值是________．
【答案】6
【解析】
根据均值不等式知，当且仅当时等号成立，故填6.
9．已知函数，则的最小值为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】
将表达式变形2x=2x﹣1+1，然后利用基本不等式求解得出答案．
【详解】
∵，∴，故，
∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为3．
故答案为：3
【点睛】
在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
10．已知集合，则 ______________
【答案】
【解析】
，所以
11．设实数x，y满足，，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
分析：先寻求，，三者等量关系，再根据不等式性质求取值范围.
详解：因为， ,
所以.
点睛：利用不等式性质求范围或值域问题，关键是构造或寻找量之间等量关系，再结合不等式性质求范围.
12．已知集合A={x|2x＞1}，B={x|log2x＜0}，则∁AB=___．
【答案】[1，+∞）
【解析】
【分析】
由指数函数的性质化简集合；由对数函数的性质化简集合，利用补集的定义求解即可.
【详解】
,
所以，故答案为.
【点睛】
研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合.
13．下面结论中：①不等式成立的一个充分不必要条件是；
②对恒成立；
③若数列的通项公式，则数列中最小的项是第项；
④在锐角三角形中，；
其中正确的命题序号是__________．
【答案】①②③
【解析】
对于①不等式得 所以不等式成立的一个充分不必要条件是；故①对；
对于②，在处的切线为,所以对恒成立；故②对；
对于③= 令 ，在 所以对于=最小的项是第项；③对；
对于④锐角三角形中，又0<,所以故④错；
故答案为①②③
14．已知集合，，则_ _.
【答案】
【解析】
试题分析：，
考点：1．集合的交集；2．一元二次不等式解法
15．已知三棱锥的外接球半径为2，平面，，，则该三棱锥体积的最大值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
在长方体中作出三棱锥，先由题意可得两两垂直，因此，三棱锥的外接球，即是以为长宽高的长方体的外接球，设，，由题意得到的关系式，再根据三棱锥的体积公式即可求出结果.
【详解】
由题意，在长方体中作出满足题意的三棱锥如图所示：
则，该三棱锥的外接球即是其所在长方体的外接球，故，
又，所以，
设，，由可得，
所以该三棱锥的体积为.
当且仅当时，取最大值.
故答案为
【点睛】
本题主要考查几何体外接球的相关计算，以及基本不等式的应用，熟记公式即可，属于常考题型.
16．已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的____________。(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)
【答案】充要条件
【解析】
分析：根据条件求出“”的充要条件，然后将此结果与“”比较可得结论．
详解：∵，
∴，
整理得．
∴“”是“”的充要条件．
点睛：充分、必要条件的判断方法
（1）利用定义判断：直接判断“若p，则q”和“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么．
（2）从集合的角度判断：利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．
（3）利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假．
三、解答题
17．已知命题：函数在上是增函数；命题：，不等式恒成立．
（1）如果命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）.
【解析】
试题分析：（1）根据题意求满足函数是增函数的a的范围即可；（2）由命题“”为真命题，“”为假命题知，一真一假，分情况讨论求解a的范围即可。
解析：
（1）对恒成立，
∴，解得．
（2）命题为真命题，即．
由命题“”为真命题，“”为假命题知，一真一假.
若真假，则解得；
若假真，则解得.
综上所述，.
18．已知集合，．
(1)分别求，；
(2)已知集合，若，求实数a的取值集合．
【答案】(1) ， (2)
【解析】
【分析】
(1)根据题干解不等式得到，，再由集合的交并补运算得到结果；（2）由(1)知，若，分C为空集和非空两种情况得到结果即可.
【详解】
(1)因为，即，
所以，所以，
因为，即，所以，
所以，所以．
，所以．
(2)由(1)知，若，
当C为空集时，.
当C为非空集合时，可得.
综上所述.
【点睛】
这个题目考查了集合的交集以及补集运算，涉及到指数不等式的运算，也涉及已知两个集合的包含关系，求参的问题；其中已知两个集合的包含关系求参问题，首先要考虑其中一个集合为空集的情况.
19．全集U＝R，若集合A＝{x|3≤x<8}，B＝{x|2<x≤6}
(1)求A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)；
(2)若集合，且A⊆C，求a的取值范围．
【答案】（1）A∩B＝[3,6]，A∪B＝(2,8)，(∁UA)∩(∁UB)＝(－∞，2]∪[8，＋∞)．（2）
【解析】
【分析】
（1）根据集合的基本运算即可求A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)；
（2）根据A⊆C，建立条件关系即可求实数a的取值范围．
【详解】
(1)∵A＝{x|3≤x<8}，B＝{x|2<x≤6}，
∴A∩B＝[3,6]，A∪B＝(2,8)，
(∁UA)∩(∁UB)＝(－∞，2]∪[8，＋∞)．
(2) ，
所以，解得。
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算以及含参的集合之间的包含关系问题，注意所列不等式要取到等号．
20．已知}，,若,求实数的取值集合。
【答案】
【解析】
试题分析：已知，又即；
当时，则由 ；
当时，则由；
当时，则由无解；
当时，则由；
综上可知，实数的取值集合为。
考点：本题考查集合间的基本关系。
点评：若，则；若若,则.不管哪种情况别忘记讨论，尤其的对空集的讨论。
21．已知命题“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题
（1）若“且”是真命题，求的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）若p为真：△≥0；若q为真：则，若“p且q”是真命题，求其交集即可得出；（2）由q是r的必要不充分条件，则可得（t，t+1）⊊（-1，2），解出即可得出
试题解析：（1）若为真：
解得
若为真：则
解得
若“且”是真命题，则
解得
（2）由是的必要不充分条件，则可得
即 （等号不同时成立）
解得
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假
22．已知a>0,设p：函数在R上是增函数；q：不等式对∀x∈R恒成立.若“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数a的取值范围.
【答案】(0,1]∪[4,＋∞)
【解析】
【分析】
根据“p∨q”为真,“p∧q”为假得到命题两个命题一真一假，然后利用分类讨论解出结果。
【详解】
解：因为“p∨q”为真,“p∧q”为假,
所以p真q假,或p假q真.
函数y＝ax在R上是增函数⇔a>1.
不等式(a>0)对∀x∈R恒成立⇔⇔0<a<4.
若则即a≥4；
若则即0<a≤1.
综上所述,实数a的取值范围为(0,1]∪[4,＋∞).
【点睛】
本题考查逻辑命题与或非之间的关系：若为真，则为真或为真，或者同时为真，若为真，则只能是同时为真。
