2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1) 练习

集合、简易逻辑与不等式

一、单选题

1．已知点（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+m=0的两侧，则m的取值范围是（  ）

A．m＜﹣7或 m＞24          B．﹣7＜m＜24  

C．﹣24＜m＜7               D．m=7 或 m=24

【答案】B

【解析】

试题分析：两点在直线的两侧，所以将点代入得到，即：，解得．

考点：不等式所表示的平面区域

2．若对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是(    ）

A.m＞1    B.m＜－1    C.     D.m＞1或

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意可知需满足，解不等式得

考点：三个二次关系

3．已知函数，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

分类讨论，分段解不等式，然后求并集.

【详解】

解：当时，，解得；

当时，，解得，

综上所述不等式的解集为，

故选：B.

【点睛】

本题考查分段函数不等式，注意每段中的范围，是基础题.

4．已知集合 集合，则（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

先由补集的定义求得集合的补集，再利用交集的定义求解即可.

【详解】

或，

又因为,

，故选C.

【点睛】

研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足不属于集合且属于集合的元素的集合.

5．设p:,q: ,若q是p的必要不充分条件,则实数的取值范围是(     )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

先解一元二次不等式得p，q,再根据逆否命题与原命题等价得p是q的必要不充分条件，最后根据集合之间包含关系求实数a的取值范围.

【详解】

由2x2-x-1≤0,得≤x≤1.由x2-(2a-1)x+a(a-1)≤0,得a-1≤x≤a.因为q是p的必要不充分条件,所以q是p的充分不必要条件（或p是q的必要不充分条件）,所以a-1≥且a≤1(等号不能同时取得),得≤a≤1.

【点睛】

对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，即利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系解题.

6．设集合， ，则（ ）

A．    B．

C．    D．

【答案】A

【解析】试题分析：因为， ，所以 ，故选A.

考点：1、集合的表示方法；2、集合的交集.

二、填空题

7．下表所示为三种食物的维生素含量及成本，某食品厂欲将三种食物混合，制成至少含44000单位维生素及48000单位维生素的混合物100千克，所用的食物的质量分别为（千克），则混合物的成本最少为________元．

【答案】

【解析】

【分析】

由已知可以列出不等式组，消去，化简不等式组，混合物的成本为，求出的表达式，根据不等式组画出可行解域，根据线性规划的知识，求出混合物的成本最少值.

【详解】

由题意得，消去得．设混合物的成本为，

则，作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，

当直线过可行域内的点，即千克，千克，千克时，

成本最少，为元．

【点睛】

本题考查了应用线性规划的知识解决现实生活中的问题，解题的关键是列出不等式组，画出可行解域.

8．已知实数，满足约束条件，则的最小值为________.

【答案】2.

【解析】

作可行域，如图，则直线z=x+2y过点A（2，0）时z取最小值2.

点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

9．命题“，”是假命题，则实数的取值范围是_________．

【答案】

【解析】

【分析】

由题意，命题，是假命题，可得出二次函数与轴有交点，借助二次函数的性质，即可求解.

【详解】

由题意，命题，是假命题，可得出二次函数与轴有交点，

又由二次函数的性质，可得即，解得或.

【点睛】

本题主要考查了根据命题的真假求解参数问题，其中解答中根据命题为假命题，转化为二次函数的图象与轴没有公共点，再借助二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.

10．集合的子集只有两个，则值为____________.

【答案】0或

【解析】

【分析】

首先根据子集个数判断集合元素个数，转化为有1个实根求的值.

【详解】

若集合有个元素，子集个数是，

，

即集合有1个元素，

有1个实根，

当时，，满足条件，

当时，，

解得.

综上，或.

故答案为：或

【点睛】

本题考查根据子集个数求集合元素个数，以及根据元素个数求参数取值范围的问题，属于基础题型，意在考查转化与化归，思考问题的全面性.

11．定义，若关于的方程恰有二个不同的实根，则的值为   ．

【答案】或

【解析】

试题分析：根据题意可知，该题相当于曲线 与直线有两个交点，当时满足条件，当时，，所以结合着函数图像得到的值为或．

考点：分段函数，数形结合．

12．已知，且函数的最小值为m，若函数，则不等式g(x)≤1的解集为________________．

【答案】

【解析】

∵x∈，∴tanx＞0，

∴f(x)＝＝

≥

＝，当且仅当tanx＝，即x＝时取等号，因此m＝.不等式g(x)≤1⇔①＜x＜或②

解②得≤x≤.因此，不等式g(x)≤1的解集为∪＝.

13．已知集合，，且，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

试题分析：

考点：

三、解答题

14．已知函数．

（）当时，解不等式．

（）解不等式．

【答案】(1)；(2)答案见解析.

【解析】

试题分析：

（）当时，，据此可得不等式的解集为．

（）分解因式有，分类讨论可得：

当时，不等式的解集是；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为或．

试题解析：

，

（）当时，，

∴等价于，

∴，

∴不等式的解集是．

（）∵，

∴当时，解得，

当时，解得或；

当时，解得或，

综上所述，当时，不等式的解集是；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为或．

15．（本小题满分10分）设,，（为实数）

（Ⅰ）分别求，；

（Ⅱ）若，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）{x|2<x≤3}，{x|x≤3或x≥4}（Ⅱ）2<a<3

【解析】

试题分析：（Ⅰ）两集合A,B的交集为两集合的相同的元素构成的集合，B的补集为全集中不在B中的元素构成的集合；（Ⅱ）由得到，进而得到关于的不等式，求解的取值范围

试题解析：(1) A∩B={x|2<x≤3}，

UB={x|x≤2或x≥4}

A∪(UB)= {x|x≤3或x≥4}

(2)∵B∩C=C

∴CB

∴2<a<a+1<4

∴2<a<3

考点：集合的交并补运算及子集关系

16．设函数的定义域为集合A，已知集合B={x|1＜x＜3}，C={x|x≥m}，全集为R．

（1）求（∁RA）∩B；

（2）若（A∪B）∩C≠∅，求实数m的取值范围．

【答案】（1）{x|x≤2或x＞3}（2）m≤3

【解析】

【详解】

试题分析：（1）首先求定义域得到集合A，A的补集为全集中除去A中元素剩余的元素构成的集合，两集合的交集为两集合相同的元素构成的集合；（2）首先求得A∪B，由（A∪B）∩C≠ϕ可知A∪B与C有相同的元素，由此可得到m的不等式，求得其取值范围

试题解析：（1）因0＜a＜1，由loga（x﹣2）≥0得0＜x﹣2≤1，

所以A={x|2＜x≤3}，

CRA={x|x≤2或x＞3}，

（CRA）∩B={x|x≤2或x＞3}∩{x|1＜x＜3}={x|1＜x≤2}，

（2）由（1）知A={x|2＜x≤3}，因B={x|1＜x＜3}，

所以A∪B={x|1＜x≤3}，

又C={x|x≥m}，（A∪B）∩C≠ϕ，

所以m≤3，

考点：集合运算及函数定义域

17． 已知，，若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】

【解析】主要考查充要条件的概念及其判定方法、一元二次不等式及绝对值不等式的解法。

解：由得．

 所以“”：．

由得，所以

“”：．

由是的必要而不充分条件知

故的取值范围为．

18．已知函数，是常数．

（1）若，方程 有两解，求的值．

（2）是否存在常数，使对任意恒成立？若存在，求常数的取值范围；若不存在，简要说明理由．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）代入，利用零点分段讨论得到分段函数，再由函数的图象进行求解；（2）利用绝对值的代数意义将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数求其最值．

试题解析：（1）时，，其图象如下图，当=时，直线与函数的图象有两个交点，即方程 有两解；

（2）即（＊）

时，（＊）等价于，对任意恒成立．

时，（＊）等价于，即，，等号当且仅当时成立，，在单调递增，，所以．

时，（＊）等价于，即或，

，等号当且仅当即时成立，所以，在时的取值范围为，所以恒成立的的解集为空集．

所以，常数的取值范围为

考点：1．分段函数；2．不等式恒成立．

19．求函数的值域．

【答案】

【解析】

【分析】

讨论，两种情况，分别利用基本不等式的性质求解即可.

【详解】

当时，，

即时，；

当时，，

即时，；

函数的值域为.

【点睛】

本题考查了函数值域的求法以及基本不等式的应用，属于中档题高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法要根据题意选择.