2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1) 练习

集合、简易逻辑与不等式

一、单选题

1．（2015秋•吉林校级月考）若a＞b，x＞y，下列不等式不正确的是（  ）

A．a+x＞b+y                   B．y﹣a＜x﹣b

C．|a|x≥|a|y                 D．（a﹣b）x＞（a﹣b）y

【答案】C

【解析】

试题分析：这考查有关不等式的四则运算的知识，主要是不要忽略了a等于零的情况．

解：当a≠0时，|a|＞0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向不变．

当a=0时，|a|x=|a|y，故|a|x≥|a|y．

故选C．

考点：不等关系与不等式．

2．一元二次不等式的解集是，则的解集是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

试题分析：∵关于的一元二次不等式的解集是，∴，∴，，∴不等式可化为，即，解得。故选：A。

考点：一元二次不等式的解法。

【方法点睛】本题考查了一元二次不等式的知识，解题关键是利用根与系数的关系得出第二个不等式的各项的系数，在解答此类题目时要注意与一元二次方程的结合，难度中档；根据一元二次不等式的解集及一元二次不等式的解集所具有的特征即解集区间的端点值即为相对应方程的解，可求出、与的关系，化简不等式，求出解集即可。

3．x2－2x－3＜0的一个充分不必要条件是（　　）

A．－1＜x＜3 B．－＜x＜0 C．－3＜x＜1 D．－1＜x＜6

【答案】B

【解析】

【分析】

由一元二次不等式的解法可得等价于，根据充分条件与必要条件的定义可得结果.

【详解】

不等式，因式分解为：

，解得，

不等式

的一个充分不必要条件是，故选B.

【点睛】

本题通过一元二次不等式主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.

4．已知集合，，且全集，则（）

A．  B．  C．  D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由指数函数的单调性求出集合M，再根据补集的运算求出；由对数的定义求出N，最后利用交集的运算求出。

【详解】

由得，，所以，即有；由 得，，所以，，故选B。

【点睛】

本题主要考查集合的交、并、补集的混合运算，以及指数、对数函数的性质应用。

5．已知满足约束条件，则下列目标函数中，在点处取得最大值的是

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】试题分析：在直角坐标系内作出可行域如下图所示，由线性规划知识可知，目标函数与均是在点处取得最大值，目标函数在点处取得最大值，目标函数在点处取得最大值，故选D.

考点：线性规划.

6．若直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数的取值范围是（ ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

试题分析：画出可行域，求得可行域的三个顶点，而直线恒过定点，且斜率，因为，

所以由得∈，故选A.

考点：1.线性规划；2.直线系方程.

7．设实数满足，则的最大值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由约束条件，作出可行域如图，

化目标函数z=2x﹣3y为直线方程的斜截式。

由图可知，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最小，z最大， 可得，即A（1，0），z=2×1﹣2×0=2．

故选：C．

8．若关于x的不等式在区间内有解,则实数a的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意可得在区间内成立，由，求得顶点处的函数值和端点处的函数值，即可得到所求范围．

【详解】

解：关于的不等式在区间内有解，

即为在区间内成立，

由，

可得处函数取得最小值；时，；时，；

则函数的值域为，

可得，

解得．

故选：．

【点睛】

本题考查不等式成立的条件，注意运用转化思想和二次函数的值域求法，考查运算能力，属于中档题．

9．已知，函数的定义域为集合，则=（ ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】试题分析： ,． ,．

．故B正确．

考点：1集合的运算;2函数的定义域．

二、填空题

10．设，则与的大小关系是__．

【答案】A≥B.

【解析】

【分析】

利用放缩的解法，令每项分母均为，将A放大，即可证明出A、B关系.

【详解】

由题意：，

所以.

【点睛】

本题考查放缩法，根据常见的放缩方式，变换分母即可证得结果.

11．用列举法表示集合：A＝＝________。

【答案】{－3，－2，0，1}；

【解析】

因为，所以或，或或或，故答案为.

12．已知函数，，若任意，都成立，则实数的取值范围是_________

【答案】

【解析】

【分析】

化简不等式得到恒成立，再计算得到答案.

【详解】

函数，，即

 恒成立， 解得

故答案为：

【点睛】

本题考查了恒成立问题，转化为二次函数与轴的交点问题是解题的关键.

13．下表所示为三种食物的维生素含量及成本，某食品厂欲将三种食物混合，制成至少含44000单位维生素及48000单位维生素的混合物100千克，所用的食物的质量分别为（千克），混合物的成本最少为__________元．

【答案】960

【解析】

混合食物成本的多少受到维生素A，B的含量以及混合物总量等因素的制约，各个条件综合考虑，得消去不等式中的变量得，目标函数为混合物成本函数

．画出可行域如图所示，

当直线过可行域内的点时，即千克，千克，千克时，成本元为最少．

点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

14．方程没有实根，则的取值范围是          .

【答案】k>12

【解析】

试题分析：无实根，所以判别式小于0，

考点：本题考查二次方程根与判别式关系

点评：一元二次方程无实根，判别式小于0

15．已知偶函数满足，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是         

【答案】

【解析】

试题分析：因为函数满足，所以有，故函数是周期为2的周期函数．再由函数为偶函数，当时，，可得当时，，故当时，；当时，．由于函数有4个零点，所以函数的图像与的图像有4个交点，所以可得，解之得，所以实数的取值范围是，故应填．

考点：1、抽象函数及其应用；2、函数与方程．

【思路点晴】本题主要考查函数的周期性的应用和函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于中高档题．其解题的思路为：首先根据已知等式可得出函数是周期为2的周期函数，再运用偶函数的性质求出函数在区间上的函数解析式，进而得出函数在区间上的函数解析式，结合已知条件可得函数的图像与的图像有4个交点，即可得出实数的取值范围．

16．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为______________.

【答案】1

【解析】

∵ 函数的图象恒过定点

∴

∵点在直线上

∴

∵，

∴，当且仅当即时，取等号

∴的最小值为1

故答案为1

点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

三、解答题

17．已知集合A={x|x2-（a-1）x-a＜0，a∈R}，集合B={x|＜0}．

（1）当a=3时，求A∩B；

（2）若A∪B=R，求实数a的取值范围．

【答案】（1）A∩B={x|-1＜x或2＜x＜3}；（2）.

【解析】

【分析】

（1）结合不等式的解法，求出集合的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可．（2）结合A∪B=R，建立不等式关系进行求解即可．

【详解】

解：（1）当a=3时，A={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}，

B={x|＜0}={x|x＞2或x＜-}．

则A∩B={x|-1＜x或2＜x＜3}．

（2）A={x|x2-（a-1）x-a＜0}={x|（x+1）（x-a）＜0}，B={x|x＞2或x＜-}．

若A∪B=R，则，即实数a的取值范围是．

【点睛】

本题考查集合的基本运算，结合不等式的解法求出集合的等价条件是解决本题的关键．

18．解不等式：x＋|2x－1|＜3.

【答案】{x|－2＜x＜}

【解析】原不等式等价于:x-3<2x-1<3-x,

∴-2<x<,解集为(-2,).

视频

19．（本小题满分14分）在中，角所对的边分别为，角为锐角，且

（1）求的值；

（2）若，求的最大值。

【答案】（1）,（2）3

【解析】

试题分析：（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;（2）在三角兴中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式.

试题解析：（1）

（7分）

（2）由余弦定理得

代入得

又

即（当且仅当时取等号成立）

∴的最大值为3。 （7分）

考点：正、余弦定理、三角变换，同时考查运算求解能力。

20．某森林出现火灾，火势正以每分钟100m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场．已知消防队员在现场平均每人每分钟可灭火50m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1m2森林损失费为60元．则应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？并求最少损失费．

【答案】应派名，最少损失费元.

【解析】

【分析】

设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y元，先求出t=，再求出y=＝31450＋100(x－2)＋,再利用基本不等式求函数的最小值.

【详解】

设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y元，

则t＝.

y＝125tx＋100x＋60(500＋100t)

＝125x·＋100x＋30000＋

＝1250·＋100(x－2＋2)＋30000＋

＝31450＋100(x－2)＋

≥31450＋2＝36450(元)，

当且仅当100(x－2)＝，

即x＝27时，y有最小值36450.

∴应该派27名消防队员去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元．

【点睛】

本题主要考查函数和基本不等的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

21．某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量（万件）与广告费（万元）之间的函数关系为，已知生产此产品的年固定投入为万元，每生产万件此产品仍需要投入万元，若年销售额为“年生产成本的”与“年广告费的”之和，而当年产销量相等：

（1）试将年利润（万元）表示为年广告费（万元）的函数；

（2）求当年广告费投入多少万元时，企业利润最大?

【答案】（1）；（2）当年广告费投入8万元时，企业年利润最大

【解析】

【分析】

（1）用年销售额减去广告费用和投入成本得出利润；
（2）利用基本不等式求出利润最大值及其对应的的值．

【详解】

解：（1）

，

即
（2），
当且仅当时，即时取等号，
答：当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为万元．

【点睛】

本题考查了基本不等式在求函数最值中的应用，属于中档题．

22．已知集合，

（1）求集合；

（2）若：，：，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

(1)在函数有意义的条件下，解一元二次不等式、绝对值不等式即可。

（2）从集合的角度理解充分不必要条件，再由集合的包含关系求解即可。

【详解】

解：（1）∵

∴，则

∴，∴.

（2）∵

∴由可得：或

∴或

∴或

∵：，：，

且是的充分不必要条件

∴或

∴或

∴实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查不等式的解法以及充分条件与必要条件，属于基础题。