2019届二轮复习“107”满分限时练（七）作业（全国通用）
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(限时：45分钟)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁UA＝( )
A． B．{1，3}
C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}
解析 因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，所以∁UA＝{2，4，5}．故选C.
答案 C
2．已知复数z＝＋2i，则z的共轭复数是( )
A．－1－i B．1－I C．1＋i D．－1＋i
解析 由已知z＝＋2i＝1＋i，则z的共轭复数＝
1－i，选B.
答案 B
3．已知函数y＝f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝x，则在区间(－2，0)上，下列函数中与y＝f(x)的单调性相同的是( )
A．y＝－x2＋1 B．y＝|x＋1|
C．y＝e|x| D．y＝
解析 由已知得f(x)是在(－2，0)上的单调递减函数，所以答案为C.
答案 C
4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则f＝( )
A．1 B. C．－1 D．－
解析 由图知，A＝2，且T＝－＝，则周期T＝π，所以ω＝2.
因为f＝2，则2×＋φ＝，从而φ＝.所以f(x)＝2sin，故f＝2sin＝1，选A.
答案 A
5．过点A(3，1)的直线l与圆C：x2＋y2－4y－1＝0相切于点B，则·＝( )
A．0 B. C．5 D.
解析 由圆C：x2＋y2－4y－1＝0得C(0，2)，半径r＝.
∵过点A(3，1)的直线l与圆C：x2＋y2－4y－1＝0相切于点B，∴·＝0，∴·＝(＋)·＝2＝5，所以选C.
另：本题可以数形结合运用向量投影的方法求得结果．
答案 C
6．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于( )
A．2 B．1
C. D.
解析 由三视图知：几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥，其中三棱柱的高为2，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，∴几何体的体积V＝×1×1×2－××1×1×2＝.故选C.
答案 C
7．若实数x，y满足的约束条件将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a，b，则z＝2ax＋by在点(2，－1)处取得最大值的概率为( )
A. B. C. D.
解析 约束条件为一个三角形ABC及其内部，其中A(2，－1)，B(－2，－1)，C(0，1)，要使函数z＝2ax＋by在点(2，－1)处取得最大值，需满足－≤－1b≤2a，将一颗骰子投掷两次共有36个有序实数对(a，b)，其中满足b≤2a有6＋6＋5＋5＋4＋4＝30对，所以所求概率为＝.选A.
答案 A
8．如图所示，已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA＝EB＝3，AD＝2，∠AEB＝60°，则多面体EABCD的外接球的表面积为( )
A. B．8π C．16π D．64π
解析 将四棱锥补形成三棱柱，设球心为O，底面重心为G，则△OGD为直角三角形，OG＝1，DG＝，
∴R2＝4，∴多面体EABCD的外接球的表面积为4πR2＝16π.故选C.
答案 C
9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0，1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为( )
A. B. C. D.
解析 设投篮得分为随机变量X，则X的分布列为
X | 3 | 2 | 0 |
P | a | b | c |
依题意，E(X)＝3a＋2b＝2，
又a，b∈(0，1)，∴2＝3a＋2b≥2，则ab≤，
当且仅当3a＝2b，即a＝，b＝时上式取等号．
答案 D
10．已知函数f(x)＝a－x2(其中e为自然对数的底数)与函数g(x)＝2ln x的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C．[1，e2－2] D．[e2－2，＋∞)
解析 由已知得方程－(a－x2)＝2ln x，即－a＝2ln x－x2在上有解，设h(x)＝2ln x－x2，求导得h′(x)＝－2x＝，因为≤x≤e，所以h(x)在x＝1处有唯一的极大值点，且为最大值点，则h(x)max＝h(1)＝－1，h＝－2－，h(e)＝2－e2，且h(e)＜h，所以h(x)的最小值为h(e)＝2－e2.故方程－a＝2ln x－x2在上有解等价于2－e2≤－a≤－1，从而解得a的取值范围为[1，e2－2]，故选C.
答案 C
二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．把答案填在题中的横线上)
11．若二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是________(请用数字作答)．
解析 因为二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，所以展开式有9项，即n＝8，展开式通项为Tk＋1＝Cx8－k(－1)kx－k＝(－1)kCx8－2k，令8－2k＝2，得k＝3；则展开式中含x2项的系数是(－1)3C＝－56.
答案 －56
12．已知等差数列{an}的公差为－3，且a3是a1和a4的等比中项，则通项an＝________，数列{an}的前n项和Sn的最大值为________．
解析 由题意得a＝a1a4，即(a1－6)2＝a1(a1－9)，解得a1＝12，所以an＝12＋(n－1)×(－3)＝－3n＋15；由－3n＋15≥0得n≤5，所以当n＝4或5时Sn取得最大值，所以(Sn)max＝5×12＋×(－3)＝30.
答案 －3n＋15 30
13．将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有________种．
解析 先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2，2，1或者3，1，1，所以有＋＝25(种)分组方法．因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法，所以不同的保送方案共有25×4＝100(种)．
答案 100
14．已知双曲线x2－＝1(b>0)的离心率为，则b＝________，又以(2，1)为圆心，r为半径的圆与该双曲线的两条渐近线组成的图形只有一个公共点，则半径r＝________．
解析 因为e＝＝c＝，所以b＝＝＝2；因为以(2，1)为圆心的圆与双曲线的渐近线组成的图形只有一个公共点，所以该圆必与双曲线渐近线2x－y＝0相切，所以r＝＝.
答案 2
15．设奇函数f(x)＝则a＋c的值为________，不等式f(x)>f(－x)在x∈[－π，π]上的解集为________．
解析 因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，即acos 0－sin 0＋c＝0，所以a＋c＝0；由f ＋f ＝0得－＋c－b－c＝0，所以b＝－；由f(π)＋f(－π)＝0得－a＋c－1－c＝0，所以a＝－1，所以c＝1，所以当0≤x≤π时，由f(x)>f(－x)＝－f(x)得f(x)>0，即－cos x－sin x＋1>0，所以sin<，所以<x＋≤，即<x≤π.同理可求得－π≤x<0时，－<x<0，所以原不等式f(x)>f(－x)的解集为∪.
答案 0 ∪
16．已知实数x，y满足则y－x的最大值是________；的取值范围是________．
解析 作出不等式组满足的平面区域，如图所示，
由图知当目标函数z＝y－x经过原点时取得最大值0，即y－x的最大值为0；当x＝2时，＝0；当x>2时，＝
＝，又表示平面区域内的点与点A(2，0)连线的斜率，由图知，k∈[0，＋∞)，即∈[0，＋∞)，所以∈(0，1]，同理可求得当x<2时，∈[－1，0)，所以的取值范围是[－1，1]．
答案 0 [－1，1]
17．已知函数f(x)＝若命题“存在t∈R，且t≠0，使得f(t)≥kt”是假命题，则实数k的取值范围是________．
解析 当x＜1时，f(x)＝－|x3－2x2＋x|＝－|x(x－1)2|＝当x≤0时，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(x－1)(3x－1)＞0，f(x)是增函数；当0＜x＜1时，f′(x)＝－(x－1)(3x－1)，所以f(x)在上是减函数，在上是增函数，作出函数y＝f(x)在R上
的图象，如图所示．
命题“存在t∈R，且t≠0，使得f(t)≥kt”是假命题，即对任意的t∈R，且t≠0，f(t)＜kt恒成立，作出直线y＝kx，设直线y＝kx与函数y＝ln x(x≥1)的图象相切于点(m，ln m)，则由(ln x)′＝，得k＝，即ln m＝km，解得m＝e，k＝.设直线y＝kx与y＝x(x－1)2(x≤0)的图象相切于点(0，0)，所以y′＝(x－1)(3x－1)，则k＝1，由图象可知，若f(t)＜kt恒成立，则实数k的取值范围是.
答案
