【数学】甘肃省武威第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）
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高二下学期期中考试（理）
总分：150分，考试时间：120分钟
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．复数的虚部为（ ）
A．2 B．-2 C．-3 D．
2．由①是一次函数；②的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是（ ）
A．③②① B．①③② C．①②③ D．③①②
3．给出一个命题 ：若 ，，，且 ，则 ，，， 中至少有一个小于零．在用反证法证明 时，应该假设 ( )
A．，，， 中至少有一个正数 B．，，， 全为正数
C．，，， 全都大于或等于 D．，，， 中至多有一个负数
4．，，，，按照以上规律，若，则（ ）
A．25 B．63 C．53 D．80
5．把4个不同小球放入3个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
6．用数学归纳法证明时，由“”等式两边需同乘一个代数式，它是（ ）
A． B． C． D．
7．已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A．96 B．84 C．60 D．48
9．若且；则的展开式的系数是（ ）
A． B． C． D．
10．若复数的虚部小于0，，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一到五音阶音序，要求宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧，可排成的不同音序有（ ）
A．20种 B．24种 C．32种 D．48种
12．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前56项和为（ ）
A．2060 B．2038 C．4084 D．4108
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．计算：的值为______.
14．已知边长分别为a，b，c的三角形ABC面积为S，内切圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，则三角形OAB，OBC，OAC的面积分别为，由得，类比得四面体的体积为V，四个面的面积分别为，，，，则内切球的半径______．
15．记，则___
16．复数z满足条件∣z+i∣+∣z-i∣=2， 则∣z + i -1∣的最大值为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、已知复数满足且的虚部为2.
（1）求复数；
（2）设复数、、在复平面上对应点分别为A、B、C，求的
值.
18．已知函数在点处的切线方程为.
（1）求实数、的值；
（2）求函数在区间上的最值.
19．在的展开式中，前3项的系数成等差数列，
（1）求的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求展开式中含的项的系数.
20、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
21、已知函数
（1）若在处取得极值，求实数的值.
（2）求函数的单调区间.
（3）若在上没有零点，求实数的取值范围.
22．已知函数.
（1）若函数在上是增函数，求正数的取值范围；
（2）当时，设函数的图象与x轴的交点为，，曲线在，两点处的切线斜率分别为k1、k2，求证：k1 +k2 <0
参考答案
一、 选择题
1． C 2．D 3．C 4．D 5．D 6．D 7．B 8．B 9．C 10．C
11．C 12．C
二、填空题
13． 15 14． . 15． 365 16.
三、解答题
17、解：（1）设,由题,可得,,
的虚部为2
则或
故或
（2）由（1）可知,即为,
当时,即为,,此时,即为,
当时,即为,,此时,即为,
综上,
18．解：（1）直线的斜率为，
将点的坐标代入直线的方程得，
，，
由，得，解得；
（2）由（1）得，，令，得.
所以，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，
所以，函数在区间上的最小值为，
，，
因此，函数在区间上的最大值为.
19、解：（1）因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为，
所以，即，
所以（舍去）或.
（2）因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第五项，
即.
（3）通项公式：
由，，
可得含的项的系数为.
20、（1）∵
∴当时，取得最大值
（2）根据题意有
∴。
由得，(舍)或。
∴当时；当时
∴当时取得极大值，也是最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为
即包装盒的高与底面边长的比值为
21、（1）的定义域为，且.
∵在处取得极值，
∴，解得或（舍），
当时，，；
，，
∴函数在处取得极小值，
故.
（2）.
令，解得；
令，解得，
∴函数的单调增区间为，单调减区间为
（3）要使在上没有零点，只需在上或，
又，只需在区间上，.
①当时，在区间上单调递减，则，
解得与矛盾.
②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，
解得，
∴
③当时，在区间上单调递增，
，满足题意，
综上所述，实数的取值范围是：.
22、解：（1） ，∴，
设，
函数在上是增函数，∴ 在上恒成立，即在上恒成立，
设，则，
，∴，∴在上是增函数，
∴，由在上恒成立，得， ，
∴，即的取值范围是.
（2） ，由，得，，不妨设.
，，， + ，
设，则，时，，时，，所以为的极大值点，所以的极大值即最大值为，即，
∵且，∴且，
∴，∴+ .
