甘肃省武威市凉州区武威第一中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题 Word版含解析

武威一中2019年秋学期期中考试

高三年级数学（理科）试卷

一．选择题

1.设集合，，则集合为

A. {，0，} B. {0，} C. {，0} D.

【答案】B

【解析】

,故.选.

2.设，则“”是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

由，化为，即可解出．由化为．即可判断出结论．

【详解】解：解得即；

又解得或即；

所以“”是“”的充分而不必要条件

故选：

【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3.下列说法正确的是（    ）

A. 命题“若，则”的逆命题是真命题

B. 命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题

C. 命题“，”的否定为“，”

D 若，则

【答案】C

【解析】

【分析】

举例说明错误；由复合命题的真假判断；写出特称命题的否定判断；由向量的数量积的定义判断．

【详解】解：对于，命题“若，则”的逆命题是“若，则”，是假命题，如时，，故错误；

对于，命题“或”为真命题，则命题和命题中至少一个为真命题，故错误；

对于，命题“存在”的否定为：“对，”，故正确；

对于，若，则，当时即可得在方向上的投影相等，无法得到，当时，（为任意向量），同样无法得到，故错误．

故选：

【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查命题的否定与逆否命题，考查充分必要条件的判定方法，是中档题．

4.已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用同角三角函数的基本关系，将弦化切，再代入求值。

详解】解：,分子、分母同除得

故选：

【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题。

5.设，则（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

试题分析：，．故C正确．

考点：复合函数求值．

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6.已知，，，则（  ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先将转换为同为2为底的指数，，可以转换为指数相同。所以。

【详解】因为，，所以，故选A．

【点睛】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．

2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.

3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.

规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．属于较易题目。

7.已知角的终边过点，且，则的值为(　 　)

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】因为角的终边过点，所以 ， ，解得，故选B.

8.函数的图像大致是（  ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

试题分析：由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C；当时，，，故，故排除A、D，

故选B.

考点：函数的图象.

9.要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）

A. 向左平移个单位

B. 向右平移个单位

C. 向左平移个单位

D. 向右平移个单位

【答案】B

【解析】

因为函数，要得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位。

本题选择B选项.

点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．

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10.函数（，）的部分图象如图所示，则ω和φ的值分别是（    ）

A. 和 B. 和 C. 2和 D. 2和

【答案】D

【解析】

【分析】

利用正弦函数的周期性可求得，可求得；再利用“五点作图法”可求得，从而可得答案．

【详解】解：由图知，，故．

由“五点作图法”知，，解得，，

故选：．

【点睛】本题考查由的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的周期性与“五点作图法”的应用，考查识图能力，属于中档题．

11.如图，在中，点为的中点，点在上，，点在上，，那么等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

本题选择D选项.

12.已知定义在上的函数对任意实数满足，，且当时，，则函数与的图象的交点个数为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

由可知函数的周期为2,由可知的图象关于直线对称,根据条件可以画出函数与的图象,如图所示,由图可知,交点共6个.

二．填空题

13.已知向量， ， 若，则_______．

【答案】

【解析】

【分析】

可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出的值．

【详解】由题意得，

∵)，

∴，∴，

故答案为．

【点睛】本题主要考查向量垂直的充要条件，以及向量加法和数量积的坐标运算，属于基础题.

14.已知与的夹角为45°，且，，则______；

【答案】

【解析】

【分析】

运用平面向量模长的运算可得结果．

【详解】解：根据题意得，

故答案为：．

【点睛】本题考查平面向量模长的计算，属于基础题。

15.已知，，则__________．

【答案】

【解析】

，，

故答案为.

16.已知函数是奇函数，且时，有，，则不等式的解集为____．

【答案】

【解析】

【分析】

根据条件构造函数g（x）＝f（x）﹣x，判断函数g（x）的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．

【详解】由x﹣3≤f（x）≤x等价为﹣3≤f（x）﹣x≤0

设g（x）＝f（x）﹣x，

又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），

则有g（﹣x）＝f（﹣x）﹣（﹣x）＝﹣f（x）+x＝﹣[f（x）﹣x]＝﹣g（x），

即函数g（x）为R上的奇函数，

则有g（0）＝0；

又由对任意0≤x1＜x2时，有1，

则1，

∵1，

∴1＜0，

即g（x）在[0，+∞）上为减函数，

∵g（x）是奇函数，

∴g（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，

∵f（﹣2）＝1，∴g（﹣2）＝f（﹣2）﹣（﹣2）＝1+2＝3；

g（2）＝﹣3，g（0）＝f（0）﹣0＝0，

则﹣3≤f（x）﹣x≤0等价为g（2）≤g（x）≤g（0），

∵g（x）减函数，

∴0≤x≤2，

即不等式x﹣3≤f（x）≤x的解集为[0，2]；

故答案为：[0，2]．

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数g（x），利用特殊值转化分析不等式，利用函数奇偶性和单调性进行转化是解决本题的关键．

三．解答题

17.已知，，，（其中O为坐标原点）

（1）求使取得最小值时的；

（2）对（1）中求出的点C，求．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）设，求出 和的坐标，代入 的式子进行运算，再利用二次函数的性质求出的最小值．

（2）把和的坐标代入两个向量的夹角公式，求出 的值．

【详解】（1）由题知

，

所以

当时取最小值，此时；

（2）由（1），

，，，

所以，

【点睛】本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算，两个向量共线的性质，两个向量夹角公式的应用，属于基础题．

18.在中，内角的对边分别是，已知。

（1）求的值；

（2）若，求的面积。

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由，利用余弦定理可得,结合可得结果；

（2）由正弦定理，,   利用三角形内角和定理可得，由三角形面积公式可得结果.

【详解】（1）由题意，得.

∵.   

∴,

∵ ，∴ .

（2）∵，

由正弦定理，可得.   

∵a>b，∴,           

∴.       

∴.

【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

19.已知为的三个内角的对边，向量，，若，且，求角的大小.

【答案】

【解析】

【分析】

根据，可先求出，进而得到；再由正弦定理，将化为，整理后求出，进而可求出结果.

【详解】因为，，，

所以，所以，因此；

又，

所以，

即，所以，故，

所以.

【点睛】本题主要考查解三角，熟记三角恒等变换，以及正弦定理即可，属于常考题型.

20.已知函数．

（1）求函数单调递减区间；

（2）若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，求．

【答案】（1）递减区间为，；（2）

【解析】

【分析】

（1）化为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出的单调递减区间；

（2）根据题意，利用余弦定理求得的值．

【详解】（1）

由，

得，

所以函数单调递减区间为，；

（2），，，，

又由余弦定理，，

得．

【点睛】本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．

21.已知函数f(x)= ln(a x)+bx在点（1，f(1)）处的切线是y=0；

(I)求函数f(x)的极值；

(II)当恒成立时,求实数m的取值范围(e为自然对数的底数)

【答案】(1) 的极大值为，无极小值；

(2) .

【解析】

分析：（1）先根据导数几何意义得解得b,再根据得a，根据导函数零点确定单调区间，根据单调区间确定极值，（2）先化简不等式为，再分别求左右两个函数最值得左边最小值与右边最大值同时取到，则不等式转化为，解得实数m的取值范围.

详解：

（1）因为，所以

因为点处的切线是，所以，且

所以，即

所以，所以在上递增，在上递减，

所以的极大值为，无极小值

（2）当恒成立时,由（1），

即恒成立，

设，则，，

又因为，所以当时，；当时，.

所以在上单调递减，在上单调递增，；

在上单调递增，在上单调递减，.

所以均在处取得最值，所以要使恒成立，

只需，即

解得，又，所以实数的取值范围是.

点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

22.已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若，求证：.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）根据题意可得，分和两种情形讨论的符号可得单调性．（Ⅱ）令 ，可得，构造函数，结合导数可得，于是可得在上单调递减，在上单调递增，故，然后再证明，即可得，从而可得成立．

试题解析：

（Ⅰ）由题意得，

①当时，则在上恒成立，

∴在上单调递减.

②当时，

则当时，单调递增，

当时，单调递减．

综上：当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（Ⅱ）令 ，

则 ，

设，

则，

∵,

∴当时， 单调递增；

当时， 单调递减．

∴（因为），

∴.

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，

设，

则，

，在上递减，

∴；

∴，故.

说明：判断的符号时，还可以用以下方法判断：

由得到，

设，则，

当时，；当时，.

从而在上递减，在上递增.

∴.

当时，，即.