【数学】甘肃省张掖市山丹一中2019-2020学年高二下学期期中考试（理）
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高二下学期期中考试（理）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
测试范围： 选修2-2、选修2-3第一章．
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知为虚数单位，若复数（）的实部为，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列关于求导叙述正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．甲、乙、丙、丁四人商量是否参加志愿者服务活动.甲说：“乙去我就肯定去.”乙说：“丙去我就不去.”丙说：“无论丁去不去，我都去.”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去.”则以下推论可能正确的是( )
A．乙、丙两个人去了 B．甲一个人去了
C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了
4．函数的导函数，满足关系式，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．
5．用数学归纳法证明：“”时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是 ( )
A． B． C． D．
6．若的展开式中的系数为-45，则实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．正切函数是奇函数，是正切函数，因此是奇函数，以上推理（ ）
A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．以上均不正确
8．已知，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
9．从A，B，C，D，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( )
A．24 B．48
C．72 D．120
10．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为
A． B．
C． D．
11．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当 时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式有解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知定义在上的奇函数满足当时，，则曲线在点处的切线斜率为______.
14．设复数满足，则的最大值是_______.
15．在学校国庆文艺晚会上，有三对教师夫妇参加表演节目，要求每人只能参加一个单项表演节目.按节目组节目编排要求，男教师的节目不能相邻，且夫妻教师的节目也不能相邻，则该6名教师表演的节目的不同编排顺序共有______种.（用数字填写答案）
16．已知P是曲线上的点，Q是曲线上的点，曲线与曲线关于直线对称，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则的最小值为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）关于复数的方程.
（1）若此方程有实数解，求的值；
（2）证明：对任意的实数，原方程不可能有纯虚数根.
18．（12分）观察下列等式:
；
；
；
；
；
(1)猜想第n(n∈N*)个等式;
(2)用数学归纳法证明你的猜想.
19. （12分）设函数的图象上一点处的切线与的图象的另一交点为．
（1）确定点的坐标；
（2）求函数与切线围成的封闭图形面积．
20．（12分）已知正项数列满足，且，设
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）设为数列的前项和，求证：.
21．（12分）某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量（万只）与时间（年）（其中）的关系为．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值（其中为常数，且）来进行生态环境分析．
（1）当时，求比值取最小值时的值；
（2）经过调查，环保部门发现：当比值不超过时不需要进行环境防护．为确保恰好3年不需要进行保护，求实数的取值范围．（为自然对数的底，）
22．（12分）已知函数，设的导函数为．
（1）求证：；
（2）设的极大值点为，求证：．（其中）
参考答案
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
C | B | C | D | D | D | C | C | C | A | A | C |
13． 14．6 15．24 16．
17．（本小题满分10分）
【解析】（1）设，带入原方程得，
即，则，故.
（2）证明:假设原方程有纯虚数根，设（，且），
则有，整理可得，
则，对于，判别式，
则方程无实数解，故方程组无实数解，即假设不成立，从而原方程不可能有纯虚数根.
18．（本小题满分12分）
【解析】（1）猜想第个等式为.
（2）证明：①当时，左边，右边，故原等式成立；
②设时，有，则当时，
故当时，命题也成立，由数学归纳法可以原等式成立.
19．（本小题满分12分）
【解析】（1）点，，故，所以切线的方程为，即.联立，得，解得或（舍去），所以点．
（2）由图，设函数与切线围成的封闭图形面积为，
则，所以所求面积为．
20．（本小题满分12分）
【解析】（1）∵，，
∴ ，
∴
（2）猜想
要证，只需证，
∵，只需证，
只需证，
又∵，且，
∴，
∴
累乘法可得，
∴
∴
（3）∵，
∴
，而
∴ .
21．（本小题满分12分）
【解析】（1）当时，，∴
列表得：
2 | |||
0 | |||
单调减 | 极小值 | 单调增 |
∴在上单调递减，在上单调递增 ∴在时取最小值；
（2）∵ 根据（1）知：在上单调减，在上单调增
∵确保恰好3年不需要进行保护 ∴，解得：
答：实数的取值范围为．
22．（本小题满分12分）
【解析】（1）由已知的导函数为．
要证，只需要证明．
设，则．
故在递减，在递增，
故．
（2）证明：因为，
所以．
令，则
可知，当时，单调递减，当，时，单调递增．
又，， ，所以在有唯一零点，
在，有唯一零点1．
且当，，当，，，所以是的唯一的极大值
点，故，，
所以
因为，显然
故．
