【数学】四川省仁寿第二中学2019-2020学年高二下学期质量检测（期中）（理）

四川省仁寿第二中学2019-2020学年
高二下学期质量检测（期中）（理）
一．选择题（共12小题）
1．设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知a为函数f（x）＝x3﹣12x的极小值点，则a＝（　　）
A．﹣4 B．2 C．4 D．-2
3．执行如图的程序框图，如果输入的a＝﹣1，则输出的S＝（　　）

A．6 B．3 C．7 D．5
4．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　）

A． B． C． D．
5．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（　　）
A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生
6．若f（x）＝x2+2f（x）dx，则f（x）dx＝（　　）
A．﹣1 B． C．﹣ D．1
7．已知a，b∈R，且2+ai，b+i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，那么p，q的值分别是（　　）
A．p＝4，q＝5 B．p＝﹣4，q＝3 C．p＝-4，q＝5 D．p＝4，q＝3
8．为了解本市的交通状况，某校高一年级的同学分成了甲、乙、丙三个组，从下午13点到18点，分别对三个路口的机动车通行情况进行了实际调查，并绘制了频率分布直方图（如图），记甲、乙、丙三个组所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为（　　）
A．s1＞s2＞s3 B．s1＞s3＞s2 C．s2＞s3＞s1 D．s3＞s2＞s1
9．定义在R上函数f（x），若（x﹣1）f′（x）＜0，则下列各式正确的是（　　）
A．f（0）+f（2）＞2f（1）
B．f（0）+f（2）＜2f（1）
C．f（0）+f（2）＝2f（1）
D．f（0）+f（2）与2f（1）大小不定
10．已知函数f（x）＝2ln（3x）+8x+1，则的值为（　　）
A．10 B．﹣10 C．20 D．-20
11．设函数，对∀x1，x2∈（0，+∞），不等式g（x1）≤kf（x2）恒成立，则正数k的取值范围为（　　）
A． B．[2，+∞） C．[1，+∞） D．
12．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）﹣f'（x）＜1，f（1）＝2，则不等式f（x）﹣1＞ex﹣1的解集为（　　）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，2） C．（2，+∞） D．（1，+∞）
二．填空题（共4小题）
13．曲线y＝cosx﹣在点（0，1）处的切线方程为　 　．
14．某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
（1）直方图中的a＝　 　．
（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为　 　．

15．若函数f（x）＝（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝﹣2对称，则f（x）的最大值为　 　．
16．已知偶函数f（x）（x∈R），其导函数为f'（x），当x＞0时，，，则不等式的解集为　 　．
三．解答题（共6小题）
17．求函数y＝x3﹣x2-x +1在 的最值．











18．孝感市旅游局为了了解双峰山景点在大众中的熟知度，从年龄在15～65岁的人群中随机抽取n人进行问卷调查，把这n人按年龄分成5组：第一组[15，25），第二组[25，35），第三组[35，45），第四组[45，55），第五组[55，65]，得到的样本的频率分布直方图如下：

调查问题是“双峰山国家森林公园是几A级旅游景点？”每组中回答正确的人数及回答正确的人数占本组的频率的统计结果如下表．
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组
[15，25）
5
0.5
第2组
[25，35）
18
x
第3组
[35，45）
y
0.9
第4组
[45，55）
9
a
第5组
[55，65]
7
b
（1）分别求出n，x，y的值；
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人；
（3）在（2）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的两人来自不同年龄组的概率．


19．已知函数f（x）＝xlnx+ax+b在（1，f（1））处的切线为2x﹣2y﹣1＝0．
（1）求实数a，b的值； （2）求f（x）的单调区间．


20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）x+16＝0．
（1）若a是掷一枚骰子所得到的点数，求方程有实根的概率．
（2）若a∈[﹣6，6]，求方程没有实根的概率．




21．已知函数f（x）＝lnx﹣2x，g（x）＝﹣ax2+ax﹣2．
（1）若曲线y＝f（x）与y＝g（x）在点（1，﹣2）处有相同的切线，求函数f（x）﹣g（x）的极值；
（2）若h（x）＝f（x）﹣g（x），讨论函数h（x）的单调性．






22．已知函数f（x）＝2lnx+x2+ax（a∈R）．
（1）若函数f（x）在定义域上是单调增函数，求实数a的取值范围；
（2）讨论f（x）的极值点的个数；
（3）若f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），且a≤﹣3，求f（x₁）﹣f（x₂）的最小值．
参考答案
一． 选择题（共12小题）
1-5：BBBDC 6-10： CCABD 11-12：AD
二．填空题（共4小题）
13【解答】解：由题意，可知：
y′＝﹣sinx﹣，
∵y′|x＝0＝﹣sin0﹣＝﹣．
曲线y＝cosx﹣在点（0，1）处的切线方程：y﹣1＝﹣x，
整理，得：x+2y﹣2＝0．
故答案为：x+2y﹣2＝0．
14【解答】解：（1）由题意，根据直方图的性质得（1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2）×0.1＝1，解得a＝3
（2）由直方图得（3+2.0+0.8+0.2）×0.1×10000＝6000
故答案为：（1）3 （2）6000
15【解答】解：∵函数f（x）＝（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝﹣2对称，
∴f（﹣1）＝f（﹣3）＝0且f（1）＝f（﹣5）＝0，
即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]＝0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]＝0，
解之得，
因此，f（x）＝（1﹣x2）（x2+8x+15）＝﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，
求导数，得f′（x）＝﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，
令f′（x）＝0，得x1＝﹣2﹣，x2＝﹣2，x3＝﹣2+，
当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；
当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0； 当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0
∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．
又∵f（﹣2﹣）＝f（﹣2+）＝16，
∴f（x）的最大值为16．
故答案为：16．
16.【解答】解：令g（x）＝xf（x）﹣，
当x＞0时，g'（x）＝f（x）+xf'（x）+＞0，
g（x）在（0，+∞）上单调递增．
因为f（x）是偶函数，
所以g（x）是奇函数．
因为f（5）＝，
所以g（5）＝5f（5）﹣＝0．
∴g（x）＞0⇔x＞5；g（x）＜0⇔x＜﹣5
不等式f（x）＞等价于＞0，所以或，
解得x＞5或x＜﹣5．
故答案为：（﹣∞，﹣5）∪（5，+∞）．
三．解答题（共7小题）
17,最大值27分之44，无最小值
18【解答】解：（1）由频率表中第1组数据可知，第1组总人数为，
再结合频率分布直方图可知n＝，
所以x＝＝0.9，
y＝100×0.03×10×0.9＝27，
（2）因为第2，3，4组回答正确的共有54人，
所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：
第2组：×6＝2；第3组：×6＝3；第4组：×6＝1．
（3）设第2组的2人为A1，A2；第3组的3人为B1，B2，B3；第4组的1人为C1．
则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：
（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1），共15种，
其中所抽取的两人来自不同组的结果为：
（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，C1），（B2，C1），（B3，C1），共11种，
所以所抽取的两人来自不同年龄组概率P＝．
19【解答】（1）依题意可得：2﹣2f（1）﹣1＝0，即f（1）＝，
∵f（x）＝xlnx+ax+b，
∴f′（x）＝lnx+a+1，
又∵函数f（x）在（1，f（1））处的切线为2x﹣2y﹣1＝0，f（1）＝，
∴，
解得：．
（2）由（1）可得：f'（x）＝1+lnx，
当x时，f'（x）≤0，f（x）单调递减；
当x时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）的单调减区间为（0，），f（x）的单调增区间为（，+∞）．
20【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
依题意知，基本事件的总数有6个，
二次方程x2﹣2（a﹣2）x+16＝0有实根，等价于△＝4（a﹣2）2﹣4×16≥0．
设“方程有实根”的事件为A，
则事件A包含的基本事件为a＝6共1个，
因此，方程有实根的概率为．
（2）由题意知本题是一个几何概型，
试验的全部结果构成区域Ω＝{a|﹣6≤a≤6}，其长度为12，
满足条件的事件为B，且△＝4（a﹣2）2﹣4×16＜0，
解得﹣2＜a＜12．
因此，方程没有实根的概率为．
21【解答】解：（1），f'（1）＝1﹣2＝﹣1，g'（x）＝﹣2ax+a，g'（1）＝﹣2a+a＝﹣a，
由题意知﹣a＝﹣1，∴a＝1，
∴g（x）＝﹣x2+x﹣2，∴f（x）﹣g（x）＝lnx+x2﹣3x+2，
∴，x＞0，
∴当或x＞1时，[f（x）﹣g（x）]'＞0，当时，[f（x）﹣g（x）]'＜0，
∴f（x）﹣g（x）在上是增函数，在上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，
∴f（x）﹣g（x）的极大值，极小值为f（1）﹣g（1）＝0；
（2）h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ax2﹣（a+2）x+2+lnx的定义域为（0，+∞），
＝，
当a≤0时，∵x＞0，∴ax﹣1＜0，∴时，h'（x）＞0，时，h'（x）＜0，h（x）的单调增区间为，单调减区间为，
当0＜a＜2时，h'（x）＞0的解集为，h'（x）＜0解集为，h（x）的单调增区间为，，单调减区间为，
当a＝2时，h'（x）≥0，当时取等号，h（x）的单调增区间为（0，+∞），
当a＞2时，h'（x）＞0解集为，h'（x）＜0解集为，h（x）的单调增区间为，，单调减区间为，
综上，a≤0时，h（x）的单调增区间为，单调减区间为，
0＜a＜2时，h（x）的单调增区间为，，单调减区间为，
a＝2时，h（x）的单调增区间为（0，+∞），没有减区间，
a＞2时，h（x）的单调增区间为，，单调减区间为．
22【解答】解：（1）定义域（0，+∞），
由题意可得＝≥0在x＞0时恒成立，
故2x2+ax+2＞0在x＞0时恒成立，
∴﹣a在x＞0时恒成立，
由基本不等式可得2x+≥4，当且仅当2x＝即x＝1时取得等号，
所以﹣a≤4即a≥﹣4，
故a的范围[﹣4，+∞）；
（2）＝，
当a≥﹣4时，由（1）可知f（x）在R上单调递增，没有极值点即极值点个数为0；
当a＜﹣4时，由f′（x）＝0可得x1＝，x2＝，且x1＜x2，
当x＞x2或x＜x1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，函数单调递减，
故函数在x2处取得极小值，在x1处取得极大值，故极值点个数为2；
（3）因为＝，
由题意可得，x1，x2是2x2+ax+2＝0的两根，
所以，x1x2＝1，
所以f（x₁）﹣f（x₂）＝2（lnx1﹣lnx2）+（）+a（x1﹣x2），
＝2ln+（）﹣2（x1﹣x2）（x1+x2），
＝2ln﹣（），
＝2ln+（）÷（x1x2）＝2ln+，
令t＝，则t∈（0，1），设g（t）＝2lnt﹣，
由a≤﹣3可得a2≥18，
∴，
又x1x2＝1，所以即，
所以t+，
因为0＜t＜1，解可得，，
又＝＜0，则g（t）在（0，]上单调递减，
所以g（t），
所以f（x₁）﹣f（x₂）的最小值．