【数学】甘肃省定西市岷县第二中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）（解析版）
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高二下学期期中考试（理）
本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分。考试结束，只需交上答题卡。
一、选择题（每小题5分，共12道，总共60分，只有一个选项符合题意）
1、设y=－,则∈[0,1]上的最大值是（ ）
A 0 B － C D
2、若质点P的运动方程为S(t)=2t2+t（S的单位为米，t的单位为秒），则当t=1时的瞬时速度为（ ）
A 2米/秒 B 3米/秒 C 4米/秒 D 5米/秒
3、曲线ｙ＝－－2在点（－1，）处切线的倾斜角为（ ）
Ａ30ºＢ45ºＣ135ºＤ150º
4、已知a>0，函数ｙ＝-aｘ在[1，+∞上是单调增函数，则a的最大值为（）
A 0 B 1 C 2 D 3
5、已知=2-6+m（m为常数），在[-2，2]上有最大值3，则此函数在[-2，2]上的最小值为（）
A -37 B -29 C -5 D -11
6、曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
7、设是一等比数列的连续三项，则的值分别为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
8、方程有实根，且，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
9、已知三角形的三边分别为，内切圆的半径为，则三角形的面积为；四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为。类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
10、数列的第项是（ ）
（A） （B） （C） （D）
11、在证明为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数满足增函数的定义是小前提；④函数满足增函数的定义是大前提；其中正确的命题是（ ）
（A）①② （B）②④ （C）①③ （D）②③
12、若，则复数表示的点在（ ）
（A）在第一象限 （B）在第二象限
（C）在第三象限 （D）在第四象限
二、填空题：（每小题5分，共4小题，总共20分）
13、函数=(1－)在[0,1]上的最大值为__________.
14、函数在闭区间上的最大值与最小值分别为： .
15、若，，且，则的值为 .
16、用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数与所搭三角形的个数之间的关系式可以
是 .
三、解答题：（共有6小题，总共70分）
17、求函数=－3的递减区间（10分）
18、已知函数=a+b+c的图像经过点(0,1)，且在=1处的切线方程是y=－2. 求的解析式；（12分）
19、已知=a+b+cx（a0）在x=±1时取得极值且f（1）= -1
试求常数a、b、c的值并求极值。（12分）
20、如图在边长为4的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，在把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底盒子.
问切去的小正方形边长为多少时，盒子容积最大？最大容积是多少？（ 12分）
21、求由与直线所围成图形的面积。（12分）
22、已知函数=ax3+cx+d(a≠0)在R上满足 =－,
当x=1时取得极值－2.
(1)求的单调区间和极大值;
(2)证明：对任意x1,x2∈(－1,1),不等式││<4恒成立.（ 12分）
参考答案
一、选择题（每小题5分，共12道，总共60分，只有一个选项符合题意）
1.A f(1)=f(0)=0最大
2.D∵=4t+1∴当t=1时的瞬时速度为5米/秒
3.C ∵=－∴=－1即tanα=－1∴α=135º
4. D ∵=3－a，∴若为增函数，则>0即a<3要使a<3, ∈[1,+∞，上恒成立，∴a≤3故选D
5.A 令=0得=0或=2，而f(0)=m,f(2)=－8+m,f(－2)=－40+m显然f(0)>f(2)>f(－2)∴m=3
最小值为f(－2)=－37故选A
- A
7.C ；由
8.A 方程有实根，且，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：（A）；由，则
9.B 已知三角形的三边分别为，内切圆的半径为，则三角形的面积为
；四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为。类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
答案：（B）
10.C 数列的第项是（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：（C）
11. C 在证明为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数满足增函数的定义是小前提；④函数满足增函数的定义是大前提；其中正确的命题是（ ）
（A）①② （B）②④ （C）①③ （D）②③
答案：（C）
12.D 若，则复数表示的点在（ ）
（A）在第一象限 （B）在第二象限
（C）在第三象限 （D）在第四象限
答案：（D）；由，，知在第四象限；
二、填空题：（每小题5分，共4小题，总共20分）
13. ∵=－∴=1－3=0得=可知当=时函数值为最大值，最大值是
14.函数在闭区间上的最大值与最小值分别为：
答案：；
15.若，，且，则的值为 ；
答案：；提示，由，得
又由，得，那么
16.用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数与所搭三角形的个数之间的关系式可以
是 .
答案：
三、解答题：（共有6小题，总共70分）
17. ∵=3－3∴令3－3≤0解得－1≤≤1
18. 解：由题意可知f(0)=1，f(1)=－1，=1，.…………..6分
∴解之得.………….11分
∴=.…………..12分
19. 解：=3a+2bx+c，.…………3分
∵在x=±1时取得极值∴x=±1是=0即3a+2bx+c=0的两根………6分
∴ ∵f（1）= -1 ∴ a+b+c=-1（3）
由（1），（2），（3）得a=， b=0，c=………9分
∴= x，∴=（x –1）（x+1）
当x<-1或x>1时，>0，当-1<x<1时，<0
∴在（-∞，-1）及（1，+∞）上是增函数，在（-1，1）是减函数………11分
∴当x= -1时函数取得极大值f（-1）=1
当x=1时函数取得极小值f（1）= -1………12分
20. 解：（1）设切去的正方形边长为，则焊接成的盒子的底面边长为4－2，高为.所以=(4－2)2·=4(－4+4),(0<<2)
∴=4(3－8+4). ………6分
令=0得x1= ,x2=2（舍去）而=12(－)(－2)又当<时，>0,
当<<2时，<0∴当=时盒子容积最大，最大容积是………12分
21. 求由与直线所围成图形的面积
解：由或
或，本题的图形由两部分构成，首先计出上的面积，再计算出上的面积，然后两者相加即可；于是
22.解：（1）由=－(x∈R)得.d=0∴= ax3+cx , =ax2+c. …………2分
由题设f(1)=－2为的极值,必有=0∴解得a=1,c=－3
∴ =3x2－3=3(x－1)(x+1) 从而==0. …………4分
当x∈(－∞,－1)时, >0则在(－∞,－1)上是增函数; …………5分
在x∈(－1,1)时, <0则在(－1,1)上是减函数…………6分
当x∈(1,+∞)时, >0则在(1,+∞)上是增函数…………7分
∴=2为极大值. …………9分
(2)由(1)知, =在[－1,1]上是减函数,且在[－1,1]上的最大值M==2,在
[－1,1]上的最小值m= f(2)=－2. …………12分
对任意的x1,x2∈(－1,1),恒有││<M－m=2－(－2)=4…………12分.
