【数学】甘肃省静宁县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（第二次月考）（理）（解析版）
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高二下学期期中考试（第二次月考）（理）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题
一、单选题
1．复数的共轭复数在复平面内的对应点为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的导数为（ ）．
A． B．
C． D．
3．已知随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
4．计算（ ）
A． B． C． D．
5．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃、不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法种数共有( )
A．15 B．60 C．90 D．540
8．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．若曲线在点处的切线与直线垂直，则a=（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是
A．24 B．16 C．8 D．12
11．从长，宽的矩形薄铁板的四角剪去相等的正方形，做一个无盖的箱子，若使箱子的容积最大，则剪去的正方形边长为（ ）
A． B． C． D．
12．定义在上的函数满足则（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
二、填空题
13．若复数是纯虚数，则______.
14．的展开式中，的系数为______（用数字作答）.
15．已知函数在处极值为，则______
16．在1，3，5，7这四个数字中任取3个，在0，2，4，6这四个数字中任取2个，组成一个没有重复数字的5位数，则这样的5位数的个数为________（用数字作答）.
三、解答题
17．某支教队有8名老师，现欲从中随机选出2名老师参加志愿活动.
（1）若规定选出的至少有一名女老师，则共有18种不同的安排方案，试求该支教队男、女老师的人数；
（2）在（1）的条件下，记为选出的2位老师中女老师的人数，写出的分布列.
18．已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
19．已知的展开式中第四项的系数与第二项的系数的比是．
（1）求展开式中各项系数的和；
（2）求展开式中含的项．
20．有件产品，其中件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽件.求：（1）第一次抽到次品的概率；
（2）第一次和第二次都抽到次品的概率；
（3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.
21．某公司的甲、乙两名工程师因为工作需要，各自选购一台笔记本电脑.该公司提供了三款笔记本电脑作为备选，这三款笔记本电脑在某电商平台的销量和用户评分如下表所示：[来源:学科网]
型号 | |||
销量（台） | 2000 | 2000 | 4000 |
用户评分 | 8 | 6.5 | 9.5 |
若甲选购某款笔记本电脑的概率与对应的销量成正比，乙选购某款笔记本电脑的概率与对应的用户评分减去5的值成正比，且他们两人选购笔记本电脑互不影响.
（1）求甲、乙两人选购不同款笔记本电脑的概率；
（2）若公司给购买这三款笔记本电脑的员工一定的补贴，补贴标准如下表：
型号 | |||
补贴（千元） | 3 | 4 | 5 |
记甲、乙两人获得的公司补贴之和为千元，求的分布列和数学期望.
22．已知函数.
（1）讨论在定义域内的极值点的个数；
（2）若对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：若，不等式成立
参考答案
1．B ，其共轭复数为，在复平面内的对应点为.
2.D
3．C 随机变量的分布列为
4．B ，
由的几何意义表示以原点为圆心，以2为半径的圆面积的，
∴
5．D 设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则，. 则所求概率为
6．C 由题意，函数，则，
因为函数在上是单调函数，
所以，即，解得，
即实数的取值范围是，故选C．
7．C 解：依题意，首先将人平均分成3组，再将三组进行全排列即可，所以所有可能的派出方法有（种）
8．D 函数的定义域为．求导，令可得，结合定义域可知令可得，即函数在上单调递减，在上单调递增，由图可知选D．
考点：1．利用导数研究函数的单调性；2．函数的图像．
9．C 解:的导数为，即有在处的切线斜率为，由在处的切线与直线垂直,即有,即.
10．B 根据题意，可分三步进行分析：
（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有种情况；
（2）将这个整体与英语全排列，有中顺序，排好后，有3个空位；
（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，
安排物理，有2中情况，则数学、物理的安排方法有种，
所以不同的排课方法的种数是种，故选B。
11．A 设剪去的正方形的边长为,
则做成的无盖的箱子的底是长为,宽为的矩形,箱子的高为,
所以箱子的容积,
,
当时,只有一个解,在附近,是左正右负,
在处取得极大值即为最大值,
所以，若使箱子的容积最大,则剪去的正方形边长为.
12．B 设，因为，所以，
所以，
所以是上的单调减函数，所以，即，
所以.
13． 因为为纯虚数，
则，即，所以，
14．3 由题意，式子表示3个因式的乘积，其中一个因式取，其余的2个因式取，可得的项，一个因式取，其余的2个因式取，可得的项，
故含，
15．；
解：，，由题意可知：，解得：，或；
检验：当时，，则，不是的极值点，故.
16．2592
在1，3，5，7这四个数字中任取3个，在0，2，4，6这四个数字中任取2个，当含0时，则有种选法，，因为0不能排在首位，共有种结果，
不含0时，则有种选法，共有种结果，共2592.
17．（1）男老师5人，女老师3人（2）见解析
（1）不妨设男老师总共有人，则女老师共有人，（，）
从这8位老师中选出至少1名女老师，共有种不同的方法，
即有：，解得，所以该支教队共有男老师5人，女老师3人
（2）的可能取值为0，1，2，
表示选派2位男老师，这时，
表示选派1位男老师与1位女老师，这时，
表示选派2位女老师，这时，
的分布列为：
0 | 1 | 2 | |
18．（1）;（2）11,-1
(1).
令, 解此不等式，得x<-1或x>1,
因此，函数的单调增区间为.
(2) 令,得或.-
当变化时，，变化状态如下表：
-2 | -1 | 1 | 2 | ||||
| + | 0 | - | 0 | + |
| |
-1 | 11 | -1 | 11 |
从表中可以看出，当时，函数取得最小值.
当时，函数取得最大值11.
19．（1）1；（2）．
解：第四项系数为，第二项的系数为，则，
化简得，即
解得，或（舍去）．
（1）在二项式中令， 即得展开式各项系数的和为．
（2）由通式公式得，
令，得．
故展开式中含的项为．
20．（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）因为有5件是次品，第一次抽到次品，有5中可能，产品共有20件，不考虑限制，任意抽一件，有20中可能，所以概率为两者相除．
（2）因为是不放回的从中依次抽取2件，所以第一次抽到次品有5种可能，第二次抽到次品有4种可能，第一次和第二次都抽到次品有5×4种可能，总情况是先从20件中任抽一件，再从剩下的19件中任抽一件，所以有20×19种可能，再令两者相除即可．
（3）因为第一次抽到次品，所以剩下的19件中有4件次品，所以，抽到次品的概率为
21．（1），（2）见解析，
（1）根据题意，三款笔记本电脑的销量比为，
所以甲选购这三款笔记本电脑的概率分别为.
三款笔记本电脑的用户评分减去5分别为3，1.5，4.5，
三者之比为，所以乙选购这三款笔记本电脑的概率分别为.
设“甲、乙两人选购不同款笔记本电脑”为事件，则.
（2）的可能取值为6，7，8，9，10.
，，，.所以的分布列为
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
22．（1）当时，函数有两个极值点；当时，函数没有极值点（2）（3）证明见解析
（1）解:由题,
设,令,即方程,,
当时,,则,此时没有极值点；
当时,,设方程两根为,,不妨设,
则,,则,当或时,；
当时,,此时,是函数的两个极值点,
当时,,设方程两根为,,
则,,所以,,
所以当时,,故没有极值点,
综上,当时,函数有两个极值点；当时,函数没有极值点.
（2）解:由题,在上恒成立,
则在上恒成立,
即在上恒成立,
设,
则,
因为,当时,,则单调递减；当,,则单调递增；所以,所以
（3）证明:由（2）知,所以恒成立,
即,
欲证,
只需证,
设,则,
当时,,则单调递减；当时,,则单调递增,[来源:学科网]
所以,即,
所以当时,不等式成立.
