【数学】甘肃省武威第六中学2019-2020学年高二下学期第一次学段考试（期中）（文）
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高二下学期第一次学段考试（期中）（文）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．设集合，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
2．复数（i为虚数单位）的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知命题，命题，则下列命题中的真命题为（ ）
A． B． C． D．
4．设，则“”是“” 的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．下边茎叶图记录了甲､乙两位同学在5次考试中的成绩（单位:分）.已知甲成绩的中位数是124，乙成绩的平均数是127，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：，则曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：
天数（天） | 3 | 4 | 5 | 6 |
繁殖个数（千个） | 2.5 | 3 | 4.5 |
由最小二乘法得与的线性回归方程为，则当时，繁殖个数的预测值为（ ）
A．4.9 B．5.25 C．5.95 D．6.15
8．某单位有名职工，现采用系统抽样方法从中抽取人做问卷调查，将人按，，，，随机编号，若号职工被抽到，则下列名职工中未被抽到的是（ ）
A．号职工 B．号职工
C．号职工 D．号职工
9．已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数是定义上的奇函数，满足，且当时，，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
11．在平面直角坐标系中，曲线（为参数）上的点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．函数的单调递增区间是_________．
14．已知函数，在区间上随机取一个数，则使得≥0的概率为 ．
15．我们知道等比数列与等差数列在许多地方都有类似的性质，请由等差数列的前项和公式.类比得到正项等比数列的前项积公式_______．
16．（1）已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1.
（2）线性回归直线必过点；
（3）对于分类变量A与B的随机变量，越大说明“A与B有关系”的可信度越大.
（4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好.
（5）根据最小二乘法由一组样本点，求得的回归方程是，对所有的解释变量,的值一定与有误差.以上命题正确的序号为____________.
三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题共10分）已知：，：.
（1）若为真，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．（本小题共12分）某高校调查喜欢“统计”课程是否与性别有关，随机抽取了55个学生，得到统计数据如表：
| 喜欢 | 不喜欢 | 总计 |
男生 | 20 |
|
|
女生 |
| 20 |
|
总计 | 30 |
| 55 |
（1）完成表格的数据；
（2）判断是否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢“统计”课程与性别有关？
参考公式：
0.025 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
19．（本小题共12分）在直角坐标系中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段的长.
20．（本小题共12分）某年级100名学生期中考试数学成绩（单位:分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].
（1）求图中a的值，并根据频率分布直方图估计这100名学生数学成绩的平均分；
（2）从[70，80)和[80，90)分数段内采用分层抽样的方法抽取5名学生，求在这两个分数段各抽取的人数；
（3）现从第（2）问中抽取的5名同学中任选2名参加某项公益活动，求选出的两名同学均来自[70，80)分数段内的概率.
21．（本小题共12分）平面直角坐标系中，
直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.且曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；
（2）若点的极坐标为，直线与曲线交于两点，求的值
22．（本小题共12分）已知函数在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.
（1）求a、b的值；
（2）设，若不等式在x∈上恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
一、选择题1．B 2．B 3．C 4．A 5．C 6．A 7．B 8．D 9．D 10．A 11．B 12．B
二、填空题13． 14． 15． 16．（1）（2）（3）（4）.
三、解答题17．（1）（2）
【解析】（1）由：，可得：，即可求得答案.
（2）A的充分不必要条件是B是指：即，结合条件，即可求得答案.
【详解】（1）： ：，
解得或．故的取值范围为．
（2）： 当真时，，记，
：. 当为真时，，记．
是的充分不必要条件 是的充分不必要条件，
.. 即，解得： 故实数的取值范围为．
故答案为：．
18．（1）见解析;（2）在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢“统计”课程与性别有关.
【详解】（1）解：由表知，喜欢“统计”课程女生人数为（人），
不喜欢“统计”课程的总人数为（人），
不喜欢“统计”课程男生人数为（人），则列联表为
| 喜欢 | 不喜欢 | 总计 |
男生 | 20 | 5 | 25 |
女生 | 10 | 20 | 30 |
总计 | 30 | 25 | 55 |
（2）解：设 喜欢“统计”课程与性别无关，由（1）可知列联表为：
| 喜欢 | 不喜欢 | 总计 |
男生 | 20 | 5 | 25 |
女生 | 10 | 20 | 30 |
总计 | 30 | 25 | 55 |
则 ，
所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢“统计”课程与性别有关.
19．（1）；（2）2
【详解】（1）圆C的普通方程为，又，
所以圆C的极坐标方程为.
（2）设，则由解得，，得；
设，则由解得，，得；
所以
20．（1）0.03，73（分）（2）3人和2人（3）P
【详解】
（1）依题意得10×(2×0.005+0.02+a+0.04)=1，解得a=0.03∴这100名学生的数学平均分为: 55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）
（2）由（1）可知，成绩在[70，80)和[80，90)中的学生人数比为3:2，∴用分层抽样方法抽取成绩在[70，80)和[80，90)中的学生人数分别为3人和2人.
（3）设成绩在[70，80)中的学生为a1，a2，a3，成绩在[80，90)中的学生为b1，b2，则从5人中选取2人的所有结果为:(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(b1，b2)， (a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共10个结果，其中符合条件的共3个结果，∴选出的两名同学均来自[70，80)分数段内的概率为P.
21．（1）；（2）
【详解】（1）由消去参数，得直线方程：，
由， 方程两边分别乘以，
代入得曲线C的方程：.
（2）因为的极坐标为，所以在直角坐标系中，且在直线上，
将直线，化成直线参数方程标准式（t为参数），
设A，B两点对应的参数为，代入得：
则，可知
.
【点睛】
本题主要考查参数方程与极坐标方程的转化、直线参数方程的几何意义，属于中档题．
22．（1）；（2）.
【详解】解：（1）开口方向向上，且对称轴方程为 ，
在上单调递增
. 解得且.
（2）在上恒成立 所以只需.
有（1）知
当且仅当，即时等号成立. .
