【数学】甘肃省武威第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（文）
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高二下学期期中考试（文）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
一、单选题（每题5分，共60分)
1．已知集合，则=（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题，那么为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知向量，向量，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．极坐标方程化为直角坐标方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．曲线（为参数）的离心率是 （ ）
A． B． C． D．
7．运行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）．
A． B． C． D．
8．曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
9．直线与曲线有公共点，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．且
10．在极坐标系下，极坐标方程（）表示的图形是（ ）
A．两个圆 B．一个圆和一条射线
C．两条直线 D．一条直线和一条射线
11．在极坐标系中，为极点，曲线与射线的交点为，则（ ）
A． B． C． D．
12．在中，内角的对边分别为，若，则角为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
二、填空题（每题5分，共20分)
13．已知点在椭圆上，则的最大值为________．
14．在极坐标系中，点到直线的距离为________
15. 在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为________
16．直线的参数方程为，则直线的斜率是________
三、解答题（17-21题每题12分，第22题10分，共70分)
17．已知数列为等比数列，，，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和.
18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，
,分别为的中点.
（Ⅰ）证明：直线；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.
19．某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男、女生中各随机抽取100名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图所示.
（1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？
（2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有1名男生的概率．
20．已知椭圆的右焦点，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点且斜率为1的直线与椭圆相交于、两点，求的面积．
21．已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.
22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的方程，，过点的直线的参数方程为（为参数）.
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于、两点，求的值
参考答案
一、选择题
1．D 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D. 8．B 9．A 10．B 11.B 12．A
二、填空题
13．4 14． 15． 16．3
三、解答题
17．（Ⅰ）（Ⅱ）
【详解】
（Ⅰ）设的公比为，由，，
得，解得 所以
（Ⅱ），所以为等差数列，
18．（I）详见解析；（II）
（Ⅰ）证明：取的中点，连，
∵为的中点，
∴且
又
∴四边形为平行四边形，
,
（Ⅱ）
即三棱锥
19．（1）男30人，女45人（2）
【详解】
（1）由题可得，男生优秀人数为人，
女生优秀人数为人；
（2）因为样本容量与总体中的个体数的比是，
所以样本中包含男生人数为人，女生人数为人．
设两名男生为，，三名女生为， ．
则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：
，，，，，，，，，共10个，
记事件：“选取的2人中至少有一名男生”，
则事件包含的基本事件有：
，，，，，，共7个．
所以．
20．（1）；（2）．
【详解】
（1）由题意，椭圆焦点且过点，得，．
又，所以椭圆方程为．
（2）由题意得，直线的方程为，设，，
联立直线与椭圆方程，得，
得，则
，
又，所以．
设原点到直线的距离为，．
所以的面积．
21． （Ⅰ）递减区间是；递增区间是.极小值是，无极大值
（Ⅱ）
试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为.
当时，
的单调递减区间是；单调递增区间是.极小值是，无极大值.
（Ⅱ）由，得
又函数为上的单调减函数,则在上恒成立.
所以在恒成立,所以的取值范围是.
22．（1）；（2）
【详解】
（1）因为曲线的方程，，
故可得，即；
因为直线的参数方程为（为参数），
消去参数，则其直角方程为.
（2）将直线参数方程代入曲线的直角方程，
可得，
设点对应的参数，
则，
故可得.
故弦长.
