2027年全国高考数学一轮复习讲义 1.3 等式与不等式的性质

这是一份2027年全国高考数学一轮复习讲义 1.3 等式与不等式的性质，共21页。
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法a−b>0⇔a>b,a−b=0⇔a=b,a−b0)⇔a>b(a∈R, b>0),ab=1⇔a=b(a,b≠0),ab0)⇔a0).
2.不等式的性质
(1)对称性:a>b⇔bb,b>c⇒a>c;
(3)同向可加性:a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒a+c>b+d;
(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c0,c>d>0⇒ac>bd;
(5)可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1);
(6)可开方性:a>b>0⇒na>nb(n∈N,n≥2).
常用的结论
1.真分数的性质
若a>b>0,m>0,则bab−ma−m(b-m>0).
2.倒数性质
(1)ab>0,a>b⇔1ab>0,d>c>0⇒ac>bd.
考点一 作商与作差法比较两个数(式)的大小
考点二 不等式的基本性质
考点三 不等式的性质证明不等式
考点四 利用不等式求值或取值范围
考点一 作商与作差法比较两个数(式)的大小
1．（25-26高三·全国·一轮复习）设，，且，则和的大小关系是_________．
2．（25-26高三上·广东·期中）若，则（ ）
A．B．
C．D．的大小关系无法确定
3．（2026·云南保山·二模）（多选）已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若且，则
4．（25-26高三上·广东深圳·月考）（多选）已知，则下列不等式成立的有（ ）
A．B．C．D．
5．（2026·青海西宁·二模）已知，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
考点二 不等式的基本性质
6．（2026·四川遂宁·一模）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
7．（25-26高三上·吉林长春·期中）（多选）已知，则下列选项正确的有（ ）
A．B．C．D．
8．（2026·江西·二模）（多选）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2026·陕西·模拟预测）（多选）如果，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．（2026·贵州黔西南·二模）（多选）已知实数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
考点三 不等式的性质证明不等式
11．（25-26高三·全国·一轮复习）（1）设，为实数，比较与的值的大小．
（2）已知，，，求证：.
12．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知，.
(1)求证：；
(2)求证：.
13．（25-26高三上·吉林长春·月考）已知.
(1)求的最小值；
(2)证明：.
14．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”.
(1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立；
(2)已知，，是三角形的三边，求证：.
15．（2026高三·全国·专题练习）若，求证：．
考点四 利用不等式求值或取值范围
16．（25-26高三上·河南商丘·月考）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
17．（25-26高三·全国·二轮复习）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
18．（25-26高三上·陕西渭南·月考）已知实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
19．（2026高三·全国·专题练习）已知，求的取值范围．
20．（25-26高三上·广东汕头·期末）已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
1．（2026·湖南长沙·二模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·北京石景山·二模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知实数，满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26高三上·陕西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（25-26高三上·全国·期末）已知实数满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2026·山东东营·二模）（多选）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．
7．（2026·山西吕梁·二模）（多选）若，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．（25-26高三上·湖南·阶段检测）（多选）已知实数x，y满足，则下列说法正确的有（ ）
A．x的取值范围为B．y的取值范围为
C．的取值范围为D．的取值范围为
9．（25-26高三·全国·一轮复习）设，则的取值范围是________；的取值范围是________；的取值范围是________；的取值范围是________．
10．（2026高三·全国·专题练习）对于实数，给出下列命题：
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，则
其中正确命题的序号是________．
11．（25-26高三上·四川南充·月考）（1）已知，求的取值范围；
（2）若，求证：.
12．（25-26高三·贵州贵阳·月考）已知实数，，满足.
(1)若，求证：；
(2)若，，，求的最小值.
13．（25-26高三上·河北保定·月考）实数满足．
(1)求的取值范围：
(2)求的取值范围．
14．（25-26高三上·北京·开学考试）已知实数满足．
(1)求和的取值范围；
(2)证明：．
15．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，求的取值范围.1.3 等式与不等式的性质
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法a−b>0⇔a>b,a−b=0⇔a=b,a−b0)⇔a>b(a∈R, b>0),ab=1⇔a=b(a,b≠0),ab0)⇔a0).
2.不等式的性质
(1)对称性:a>b⇔bb,b>c⇒a>c;
(3)同向可加性:a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒a+c>b+d;
(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c0,c>d>0⇒ac>bd;
(5)可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1);
(6)可开方性:a>b>0⇒na>nb(n∈N,n≥2).
常用的结论
1.真分数的性质
若a>b>0,m>0,则bab−ma−m(b-m>0).
2.倒数性质
(1)ab>0,a>b⇔1ab>0,d>c>0⇒ac>bd.
考点一 作商与作差法比较两个数(式)的大小
考点二 不等式的基本性质
考点三 不等式的性质证明不等式
考点四 利用不等式求值或取值范围
考点一 作商与作差法比较两个数(式)的大小
1．（25-26高三·全国·一轮复习）设，，且，则和的大小关系是_________．
【答案】
【分析】由，，且，得到，再分和讨论求解.
【详解】因为，，且，所以，
当时，由，，可得，所以．
当时，由，，可得，所以．
综上可得，．
故答案为：．
2．（25-26高三上·广东·期中）若，则（ ）
A．B．
C．D．的大小关系无法确定
【答案】B
【分析】用作差法计算比较的大小关系．
【详解】
，故B正确．
故选：B．
3．（2026·云南保山·二模）（多选）已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若且，则
【答案】BCD
【详解】对于A，，若，则，故A为假命题；
对于B，，，又，，故B为真命题；
对于C，，则，，故C为真命题；
对于D，且，则，，故D为真命题．
4．（25-26高三上·广东深圳·月考）（多选）已知，则下列不等式成立的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】作商法、作差法分别判断选项AB；借助函数的单调性判断C；由于无法确定与1的大小，所以无法判定D.
【详解】因为，则，且，
，所以，A正确；
，由于，
所以，则，B正确；
，函数在上单调递减，则，C错误；
函数在上单调递减，但无法确定与1的大小，
所以D选项无法确定.
故选：AB
5．（2026·青海西宁·二模）已知，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式性质以及特殊值求解.
【详解】选项A： 因为，，所以，错误.
选项B：.
，取，则，错误.
选项C： .
因为，，故，即，C正确.
选项D：取，满足，则左边，右边，，D错误.
考点二 不等式的基本性质
6．（2026·四川遂宁·一模）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
【答案】ABD
【分析】对于A，由不等式同向可加性可判断选项正误；对于B，由可判断选项正误；对于C，通过举特例可判断选项正误；对于D，由作差法可判断选项正误.
【详解】对于A，因，由不等式同向可加性可得，故A正确；
对于B，因，则，故B正确；
对于C，当，时，，故C错误；
对于D，，
因，则，
从而，故D正确.
故选：ABD
7．（25-26高三上·吉林长春·期中）（多选）已知，则下列选项正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据对数函数的单调性，可判断A的正误；利用作差法，可判断B的正误；根据不等式的性质，可判断C的正误，构造函数，利用导数求得单调性，分析可判断D的正误.
【详解】选项A：因为在上单调递减，且，则，
所以，故A正确；
选项B：，
因为，所以，则，故B错误；
选项C：因为，所以，
所以，即，故C正确；
选项D：令，则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
当时，，即，所以，
当时，，即，所以，此时不成立，故D错误.
故选：AC
8．（2026·江西·二模）（多选）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】利用不等式的性质即可判断AC，利用作差法即可判断B，利用基本不等式即可判断D.
【详解】对于A：由得，又，所以，故A正确；
对于B：，又，
所以，所以，
所以，所以，故B错误；
对于C：由，所以，故C错误；
对于D：，
由，所以，所以，
当，即时，等号成立，
所以，故D正确.
9．（2026·陕西·模拟预测）（多选）如果，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BD
【分析】选项A和C，取反例求解即可；选项B，约掉即可；选项D，用作差法即可判断.
【详解】对于A：取，则，故A错误；
对于B：由，可知，所以，同除，得到，故B正确；
对于C：取，，此时，故C错误；
对于D：，
因为，所以；又，，
即，故，故D正确.
10．（2026·贵州黔西南·二模）（多选）已知实数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】首先根据条件判断，再根据不等式的性质和函数的单调性比较大小.
【详解】由条件可知，，则，故A正确；
，故B正确；
，，所以，故C错误；
设，为增函数减函数=增函数，所以为增函数，
因为，所以，即，即，故D正确.
考点三 不等式的性质证明不等式
11．（25-26高三·全国·一轮复习）（1）设，为实数，比较与的值的大小．
（2）已知，，，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用作差法比较大小.
（2）利用不等式的性质比较大小.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）证明：因为，，所以，
所以，又，所以.
12．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知，.
(1)求证：；
(2)求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用不等式的性质证明即可；
（2）应用作差法比较大小，即可证.
【详解】（1）由，则，故，
由，则，故，
所以，得证.
（2）由，而，
所以，即，得证.
13．（25-26高三上·吉林长春·月考）已知.
(1)求的最小值；
(2)证明：.
【答案】(1)2
(2)证明见解析
【分析】（1）利用基本不等式即可求解；
（2）利用换元法将表达式化简，并结合指数函数值域以及不等式性质可得出证明.
【详解】（1）由可得，即；
所以，
因为，当且仅当时，等号成立；
所以，
即的最小值为2.
（2）令（其中为实数），
因此可得;
;
又因为，所以，
因此，
即
14．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”.
(1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立；
(2)已知，，是三角形的三边，求证：.
【答案】(1)，证明见解析；
(2)证明见解析
【分析】（1）写出“糖水不等式”，再利用作差证明即得；
（2）利用“糖水不等式”，结合不等式的性质推理得证.
【详解】（1）“糖水不等式”为：实数，则，
由，得，
所以.
（2）由（1）及，，是三角形的三边，得，则，
同理，
所以.
15．（2026高三·全国·专题练习）若，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】利用不等式的基本性质和作差比较法即可证明.
【详解】因，则由
，
（当且仅当时等号成立）；
又因，
则；同理可证，
故可得（当且仅当时等号成立）.
故原不等式得证．
考点四 利用不等式求值或取值范围
16．（25-26高三上·河南商丘·月考）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】根据题意可知，
由可得，又，
所以，即的取值范围是.
17．（25-26高三·全国·二轮复习）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先化简，再应用不等式性质计算求解.
【详解】原式的分子和分母同时除以，得，
由条件得，，所以，即，
所以，
所以，则则的取值范围是.
故选：D.
18．（25-26高三上·陕西渭南·月考）已知实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将用和表示出来，再根据已知不等式利用性质求出的取值范围.
【详解】设，则，
所以，解得，
即，
，
则，
因此.
故选：D.
19．（2026高三·全国·专题练习）已知，求的取值范围．
【答案】
【分析】令，，用含和的表达式表示出和，并将其代入中，即可得解．
【详解】令，，则.
解方程组可得
所以.
因为，所以，所以.
所以的取值范围为．
故答案为：
20．（25-26高三上·广东汕头·期末）已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据b的范围，可得的范围，根据a的范围，可得的范围，将所求变形，即可得答案.
【详解】因为，所以，
又，所以，则.
故选：C
1．（2026·湖南长沙·二模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质，运用举反例的方法，逐一分析选项，判断在的条件下，各选项中的不等式是否一定成立.
【详解】选项A：当取 ，，此时 ，但 ，， 不成立，故A错误；
选项B：当取 ，，此时 ，但 ，， 不成立，故B错误；
选项C：因为函数 在上是单调递增函数，因此当 时，必有 ，该不等式恒成立，故C正确；
选项D：当 时，，不等式不成立，故D错误.
2．（2026·北京石景山·二模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】举出反例可判断BCD，根据不等式的基本性质，可判断A，进而得到答案．
【详解】对于A，由，两式相加得，故A正确；
对于B，令，满足，
此时，，故B错误；
对于C，令，满足，
此时，，故C错误；
对于D，令，满足，
此时，，故D错误.
3．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知实数，满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，
因为，所以，
所以由，因此选项A错误，选项D正确；
若，显然，，此时，
若，显然，，此时，
所以选项BC都不恒成立，所以选项BC都不正确.
4．（25-26高三上·陕西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质求解计算即可.
【详解】，，
，，
.
故选：C.
5．（25-26高三上·全国·期末）已知实数满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意设求得的值，利用题设条件和不等式的性质即可求得.
【详解】设，
则，解得，所以；
又，，
所以，
所以.
故选：B.
6．（2026·山东东营·二模）（多选）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．
【答案】AC
【分析】选项A利用函数的单调性判断；选项B余弦函数不单调，举反例；选项C根据不等式的性质确定；选项D利用函数的单调性判断.
【详解】函数在区间上单调递增，
因为，所以，选项A正确；
，时，，选项B错误；
若，，则，选项C正确；
函数在上单调递减，所以，选项D错误.
7．（2026·山西吕梁·二模）（多选）若，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】对于A，取，此时，但，故A错误；
对于B，因为，故，故B正确；
对于C，因为，故，而，故，故C正确；
对于D，，
若，则，
故即，故D错误.
8．（25-26高三上·湖南·阶段检测）（多选）已知实数x，y满足，则下列说法正确的有（ ）
A．x的取值范围为B．y的取值范围为
C．的取值范围为D．的取值范围为
【答案】AD
【分析】对于AB，根据不等式的同向可加性求解即可；对于C，由A知x的取值范围，结合对勾函数的性质可得的取值范围；对于D，根据指数幂的运算性质将展开，根据指数函数的单调性及不等式的同向可加性可得所求范围.
【详解】对于A，因为，则由，可知，即，故A正确；
对于B，因为，则由，可知，即，故B错误；
对于C，由A知，根据对勾函数的性质知在上单调递减，所以的取值范围为，故C错误；
对于D，因为，又，
所以，所以，
所以的取值范围为，故D正确．
故选：AD.
9．（25-26高三·全国·一轮复习）设，则的取值范围是________；的取值范围是________；的取值范围是________；的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据不等式的性质逐一求解目标式的范围即可.
【详解】①由，得.
又，所以.
所以的取值范围是.
②由，，知.
所以的取值范围是.
③由，得；
由，得.
所以.
所以的取值范围是.
④由，得.
又，所以.
所以的取值范围是.
故答案为：；；；.
10．（2026高三·全国·专题练习）对于实数，给出下列命题：
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，则
其中正确命题的序号是________．
【答案】②④
【分析】根据不等式的基本性质即可逐一判断.
【详解】对于①∵，∴只有时才成立，∴①不正确；
对于②，；，∴②正确；
对于③，若，如，但，∴③不正确；
对于④，，∴，，
又∵，∴，∴，∴，∴④正确．
故答案为：②④.
11．（25-26高三上·四川南充·月考）（1）已知，求的取值范围；
（2）若，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）根据不等式的同向可加性结合待定系数法即可求的取值范围；
（2）根据不等式的性质结合逐步判断即可得结论.
【详解】（1）设，
所以，解得，
，
即
的取值范围是.
（2）证明：
，
，
.
12．（25-26高三·贵州贵阳·月考）已知实数，，满足.
(1)若，求证：；
(2)若，，，求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用不等式的性质证明即可；
（2）由条件得且，代入，利用基本不等式求解.
【详解】（1）由，且，得，，
故，所以，所以，即.
（2）由且，，，得，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
13．（25-26高三上·河北保定·月考）实数满足．
(1)求的取值范围：
(2)求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）将表示为，再利用不等式的性质求出范围.
（2）用表示出，再利用不等式的性质求出的范围.
【详解】（1）设，则且，解得，
因此，而，
因此，即，
所以的取值范围是.
（2）由，
得，
由，得，
因此，即，
所以的取值范围是.
14．（25-26高三上·北京·开学考试）已知实数满足．
(1)求和的取值范围；
(2)证明：．
【答案】(1)； ．
(2)证明见解析
【分析】（1）由不等式的性质即可求解；
（2）通过作差法即可求证.
【详解】（1）因为，所以，
因为， 所以；
（2）．
因为，所以．
所以；
所以．
15．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，求的取值范围.
【答案】
【分析】计算出，从而得到，得到答案.
【详解】设，
∴，
∴，解得，
故，
∵，，
∴，，
∴，
即，
故的取值范围为.