第4章 第7节　解三角形应用举例-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）教案

这是一份第4章 第7节　解三角形应用举例-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）教案，共14页。教案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。
一、教材概念·结论·性质重现
1．仰角和俯角
2.方位角
3.方向角
4.坡角与坡度
解三角形应用问题的步骤
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β．(√)
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))．(×)
(3)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北46°．(×)
(4)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))．(×)
2．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10°B．北偏西10°
C．南偏东80°D．南偏西80°
D 解析：由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，
又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.
3．如图，为测量一棵树OP的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为________m.
30＋30eq \r(3) 解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，
sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cs 30°－cs 45°·sin 30°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4).
由正弦定理得eq \f(PB,sin 30°)＝eq \f(AB,sin 15°)，
所以PB＝eq \f(\f(1,2)×60,\f(\r(6)－\r(2),4))＝30(eq \r(6)＋eq \r(2))，
所以树的高度OP＝PBsin 45°＝30(eq \r(6)＋eq \r(2))×eq \f(\r(2),2)＝(30＋30eq \r(3))(m)．
4．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D．若测得CD＝eq \f(\r(3),2) km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________ km.
eq \f(\r(6),4) 解析：因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
所以∠DAC＝60°，所以AC＝CD＝eq \f(\r(3),2) km.
在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，
由正弦定理，得BC＝eq \f(CD,sin∠DBC)·sin∠BDC＝eq \f(\f(\r(3),2),sin 45°)·sin 30°＝eq \f(\r(6),4)(km)．
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcs 45°＝eq \f(3,4)＋eq \f(3,8)－2×eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(6),4)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(3,8).所以AB＝eq \f(\r(6),4) km.所以A，B两点间的距离为eq \f(\r(6),4) km.
5．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为________．
40 m 解析：设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝eq \r(3)x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cs 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.
考点1 解三角形的实际应用——应用性
考向1 测量距离问题
如图，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．(即从B点出发到达C点)
解：在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1.
因为∠ABD＝120°，由正弦定理eq \f(AB,sin∠ADB)＝eq \f(AD,sin∠ABD)，解得AD＝eq \r(3)(km)．
在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cs 150°，
得9＝3＋CD2＋2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)×CD．
即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝eq \f(\r(33)－3,2)(km)，
BC＝BD＋CD＝eq \f(\r(33)－1,2)(km)．
两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500(m)，即2.5km，
而eq \f(\r(33)－1,2)