新高考数学一轮复习考点学案第4章§4.8解三角形（含答案解析）

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题型一 三角形中角平分线、中线、高线
例1 在△ABC中，AB＝2，AC＝4，角A为钝角，△ABC的面积为23.
(1)若D是BC的中点，求AD的长度；
(2)若E是边BC上一点，AE为△ABC的角平分线，求AE的长度.
思维升华 三角形中线、角平分线解题策略
(1)若AD是△ABC边BC上的中线，一般利用向量解决问题，即AD＝12(AB＋AC)，两边平方即可得到边与角的关系.
(2)若AD是△ABC中角A的平分线，则S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，ABAC＝BDDC.
跟踪训练1 (多选)已知△ABC中，AB＝1，AC＝4，BC＝13，D在BC上，AD为∠BAC的平分线，E为AC的中点，则( )
A.BC边上的高线长为23913
B.AD＝235
C.BD＝135
D.BE＝3
题型二 与多边形有关的问题
例2 (2024·烟台模拟)在平面四边形ABCD中，∠ABC＝π3，∠ADC＝π2，BC＝4.
(1)若△ABC的面积为33，求AC；
(2)若AD＝33，∠ACB＝∠ACD＋π3，求tan∠ACD.
思维升华 在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可.若研究最值，常使用函数思想.
跟踪训练2 如图，在平面四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝23，AD＝4.
(1)求cs∠DBC的值；
(2)求AC的长度.
题型三 三角形中的存在性问题
例3 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
思维升华 (1)先仔细审题，已确定的条件有哪些，供选择的条件有哪些，设问是什么.
(2)将已确定的条件和设问关联，结合有关的概念、公式、定理等进行思考，采用多种方式进行推理，确定所要选择的条件具备哪些性质.
(3)观察供选择的条件有哪些，判断条件选择后是否有解题思路，进而确定所选择的条件.
跟踪训练3 (2025·北京模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，atan B＝2bsin A.
(1)求B的大小；
(2)若a＝8，再从下列两个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求△ABC的面积.
条件①：b＝7；
条件②：cs A＝－23.
答案精析
例1 解 (1)∵AB＝2，AC＝4，△ABC的面积为23，
∴S△ABC＝12AB·AC·sin∠BAC＝12×2×4×sin∠BAC＝23，
∴sin∠BAC＝32，
又∠BAC为钝角，∴∠BAC＝2π3，
∵D是BC的中点，
∴AD＝12(AB＋AC)，
∴AD2＝14(AB＋AC)2，
∴|AD|2＝4＋16＋2AB·AC4＝3，
∴|AD|＝3，即AD＝3.
(2)∵AE为△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE＝12∠BAC＝π3，
∵S△ABC＝S△ABE＋S△ACE，
∴12AB·AE·sinπ3＋12AC·AE·sinπ3＝23，
即12×2AE×32＋12×4AE×32＝23，
∴AE＝43.
跟踪训练1 ACD [在△ABC中，由余弦定理
cs∠BAC＝AB2＋AC2−BC22AB·AC
＝1＋16−132×1×4＝12，
∴∠BAC＝60°，
设BC边上的高为h，
则S△ABC＝12AB·AC·sin 60°＝12·BC·h，解得h＝23913，故A正确；
又S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，
故12AB·AD·sin 30°＋12AC·AD·sin 30°＝12AB·AC·sin 60°，解得AD＝435，故B不正确；
∵AD平分∠BAC，由角平分线定理知ABAC＝BDDC，∴BDDC＝14，∴BD＝14DC＝15BC＝135，故C正确；
∵E为AC的中点，∴AE＝2，在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AB2＋AE2－2AB·AE·cs∠BAC＝1＋4－2×1×2×12＝3，∴BE＝3，故D正确.]
例2 解 (1)在△ABC中，BC＝4，∠ABC＝π3，
∴S△ABC＝12AB·BC·sin∠ABC＝33解得AB＝3，
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs∠ABC＝13，∴AC＝13.
(2)设∠ACD＝α，
则∠ACB＝∠ACD＋π3＝α＋π3，
在Rt△ACD中，AD＝33，
易知AC＝ADsinα＝33sinα，
在△ABC中，∠BAC＝π－∠ACB－∠ABC＝π3－α，
由正弦定理得
BCsin∠BAC＝ACsin∠ABC，
即4sinπ3−α＝3332sinα，
∴2sin α＝3sinπ3−α
＝332cs α－32sin α，
可得tan α＝337，
即tan∠ACD＝337.
跟踪训练2 解 (1)在△ABD中，由勾股定理得
BD＝AB2＋AD2＝27，
sin∠ABD＝ADBD＝277，
cs∠ABD＝ABBD＝217，
cs∠DBC＝cs(60°－∠ABD)
＝cs 60°cs∠ABD＋sin 60°sin∠ABD
＝12×217＋32×277＝32114.
(2)因为∠DCB＝90°，
所以BC＝BD·cs∠DBC＝33，
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs∠ABC
＝12＋27－2×23×33×12＝21，
所以AC的长度为21.
例3 解 (1)因为2sin C＝3sin A，所以2c＝2(a＋2)＝3a，则a＝4，故b＝5，c＝6，
cs C＝a2＋b2−c22ab＝18，所以C为锐角，则sin C＝1−cs2C＝378，
故S△ABC＝12absin C＝12×4×5×378＝1574.
(2)显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，
由余弦定理可得cs C＝a2＋b2−c22ab＝a2＋(a＋1)2−(a＋2)22a(a＋1)
＝a2−2a−32a(a＋1)