新高考数学一轮复习考点学案第4章§4.10解三角形及其应用举例（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点学案第4章§4.10解三角形及其应用举例（含答案解析），共18页。

测量中的几个有关术语
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)西南方向与南偏西45°方向相同.( )
(2)仰角和俯角都是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为0，π2.( )
(3)方位角是从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角.( )
(4)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )
2.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B( )
A.北偏东10°方向B.北偏西10°方向
C.南偏东80°方向D.南偏西80°方向
3.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为 km.
4.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝102 m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB＝ .
1.对于立体测量问题，通常要转化为两类平面问题，一是竖直放置的平面，通常要解直角三角形；另一类是水平放置的平面，通常要解斜三角形.
2.谨防两个易误点
(1)注意仰角与俯角是相对水平视线而言的，是在铅垂面上所成的角；
(2)明确方位角及方向角的含义，避免因混淆概念而出错.
题型一 测量距离问题
例1 (1)(2024·厦门模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A.102 海里B.103 海里
C.202 海里D.203 海里
(2)在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程，如图所示，A，B，C为某山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为α＝45°，β＝45°，γ＝30°，现需要沿直线AC开通穿山隧道DE，测得AD＝30米，BC＝200(3－1)米，EB＝20米，估计隧道DE的长度为( )
A.2002 米B.300米
C.350米D.400米
思维升华 距离问题的解题策略
选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.
跟踪训练1 (2024·运城模拟)如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D.已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20 km，基站A，B在河的北岸，测得∠ACB＝60°，∠ACD＝105°，∠ADC＝30°，∠ADB＝60°，则A，B两个基站的距离为( )
A.106 kmB.30(3－1) km
C.15 kmD.105 km
题型二 测量高度问题
例2 (1)(2024·杭州模拟)雷锋塔(如图1)位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图2，某同学为测量雷锋塔的高度CD，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物AB，高约为36 m，在地面上点E处(A，C，E三点共线)测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为30°和45°，在B处测得塔顶部D的仰角为15°，则雷锋塔的高度约为( )
A.50 mB.62 m
C.72 mD.88 m
(2)(2024·南京模拟)如图，某中学校园内的景观树已有百年历史，小明为了测量景观树高度，他选取与景观树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得景观树根部C在北偏西60°的方向上，沿正西方向步行40米到B处，测得树根部C在北偏西15°的方向上，树梢D的仰角为30°，则景观树的高度为( )
A.106 米B.203 米
C.2033 米D.2063 米
思维升华 高度问题的易错点
(1)图形中为空间关系，极易当作平面问题处理，从而致错；
(2)对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错.
跟踪训练2 (2024·长沙模拟)湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年(1591年)，因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，A，C，D在同一水平面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面(如图所示).测得CD＝18 m，AD＝15 m，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为(3≈1.732，精确到0.1 m)( )
A.35.0 mB.36.4 m
C.38.4 mD.39.6 m
题型三 测量角度问题
例3 如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东75°距离60海里处，小岛B北偏东15°距离(303－30)海里处有一个小岛C.
(1)求小岛A到小岛C的距离；
(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向.
思维升华 角度问题的解题方法
首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.
跟踪训练3 甲船在A处观察乙船，乙船在它北偏东60°方向，相距a海里的B处，乙船向正北方向行驶，若甲船速度是乙船速度的3 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝ .
答案精析
落实主干知识
自主诊断
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.D [由题可知，∠CAB＝∠CBA＝40°，
又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，
所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向.]
3.3
解析 在△ABC中，易得A＝30°，
由正弦定理ABsinC＝BCsinA，
得AB＝BCsinCsinA＝2×1×32
＝3(km).
4.20 m
解析 在△BCD中，∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝102 m，
由正弦定理
CDsin∠CBD＝CBsin∠CDB，
可得102sin30°＝CBsin(180°−15°−30°)，
可得CB＝202×22＝20(m)，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
所以塔高AB＝CB＝20 m.
探究核心题型
例1 (1)A
[依题意，如图，在△ABC中，
∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ABC＝40°＋65°
＝105°，
则∠ACB＝45°，
AB＝40×3060＝20(海里)，
由正弦定理得
BCsin∠BAC＝ABsin∠ACB，
即BCsin30°＝20sin45°，
因此BC＝20×1222＝102(海里)，
所以B，C两点间的距离是102 海里.]
(2)C [如图所示，
∵α＝β＝45°，
∴∠APB＝90°，∠PAB＝∠PBA＝45°，
∴△PAB为等腰直角三角形，
∴在△PBC中，∠PCB＝30°，∠BPC＝15°，BC＝200(3－1)，
由正弦定理知
PB＝BC·sin∠PCBsin∠BPC
＝200(3−1)×126−24＝2002，
∴AB＝2PB＝400，
∴DE＝AB－AD－EB
＝400－30－20＝350.]
跟踪训练1 A [在△ACD中，
∠CAD＝180°－105°－30°＝45°，
由正弦定理得CDsin45°＝ADsin105°，
AD＝CD×sin105°sin45°
＝20×(sin60°cs45°＋cs60°sin45°)sin45°
＝10(3＋1)，
在△BCD中，易知∠BCD＝45°，∠BDC＝90°，
所以∠CBD＝45°，
所以BD＝CD＝20，
在△ABD中，由余弦定理得AB＝
AD2＋BD2−2×AD×BD×cs60°＝600＝106.]
例2 (1)C [在Rt△ABE中，
BE＝ABsin30°＝72，
在Rt△DCE中，
ED＝CDsin45°＝2CD，
由图可知∠BED＝180°－30°－45°＝105°，易知∠EBD＝45°，
在△BED中，
∠EDB＝180°－105°－45°＝30°，
根据正弦定理可得
BEsin30°＝DEsin45°＝2CDsin45°，
则CD＝sin45°sin30°×722＝72.]
(2)D [依题意可得如图图形，
在△ABC中，∠BAC＝90°－60°＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝40，
由正弦定理得
BCsin30°＝40sin45°，
解得BC＝40×1222＝202，
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
所以CD＝BCtan 30°
＝202×33＝2063，
所以景观树的高度为2063米.]
跟踪训练2 B [如图，过点E作EF⊥AB，交AB于点F，
在Rt△ECD中，因为∠ECD＝30°，
所以DE＝CD·tan∠ECD
＝18×tan 30°＝63，
在Rt△BEF中，因为∠BEF＝60°，
易知EF＝AD＝15，
所以BF＝EF·tan∠BEF
＝15×tan 60°＝153，
则AB＝BF＋AF＝BF＋DE
＝153＋63＝213≈36.4.]
例3 解 (1)在△ABC中，AB＝60，BC＝303－30，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，
根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs∠ABC＝602＋(303－30)2－2×60×(303－30)·cs 120°＝5 400，
所以AC＝306.
所以小岛A到小岛C的距离是306 海里.
(2)根据正弦定理得
ACsin∠ABC＝ABsin∠ACB，
所以306sin120°＝60sin∠ACB，
解得sin∠ACB＝22，
在△ABC中，因为AB