2027年高考数学一轮复习学案 专题08 解三角形及其应用

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理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。
【知能解读 01】余弦定理
【知能解读 02】正弦定理
【知能解读 03】三角形的面积公式
【知能解读 04】测量距离问题
【知能解读 05】测量高度问题
【知能解读 06】解三角形的实际应用
破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。
【重难点突破 01】正弦定理边角互化的应用
【重难点突破 02】三角形面积公式及其应用
【重难点突破 03】余弦定理边角互化的应用
【重难点突破 04】正、余弦定理判定三角形形状
【重难点突破 05】证明三角形中的恒等式或不等式
【重难点突破 06】求三角形中的边长或周长的最值或范围
【重难点突破 07】正余弦定理与三角函数性质的结合应用
辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。
【易混易错 01】正弦定理判定三角形解的个数忽略大角对大边
【易混易错 02】求三角形面积的最值或范围时条件转换不清
05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类
【方法技巧 01】余弦定理解三角形
【方法技巧 02】正弦定理求外接圆半径
【方法技巧 03】几何图形中的计算
【方法技巧 04】距离测量
【方法技巧 05】高度测量
余弦定理
【真题实战】（2025·湖南岳阳·二模）记ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为a,b, c ，已知向量
→
→
m   3sinC, csA ， n  a, c  ，且m  n .
求A ；
若ABC 的面积为 3 ，且b2  c2  2 3bc ，求a .
【答案】(1) A  π
6
3
(2) a  2
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
文字语言
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
符号语言
a2  b2  c2  2bc cs A,b2  c2  a2  2ca cs B,c2  a2  b2  2ab csC
推论与变形
b2  c2  a2c2  a2  b2a2  b2  c2
推论： cs A , cs B , cs C .
2bc2ca2ab
变形： b2  c2  a2  2bc cs A,c2  a2  b2  2ca cs B,a2  b2  c2 2ab cs C
余弦定理与勾股定理的关系在 ABC 中，有 c2  a2  b2  2ab cs C ，若 C  90 ，则 c2 
a2  b2 ．因此勾股定理是余弦定理的特例。
由余弦定理知，在 ABC 中，若 A 为锐角，则 cs A  0 ，从而 b2  c2  a2  0 ，即
b2  c2  a2 ；若 A 为钝角，则 cs A  0 ，从而 b2  c2  a2  0 ，即 b2  c2  a2 ；若 A 为直角，则 cs A  0 ，从而 b2  c2  a2 ，可作为判断三角形形状的方法．
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，即可化简得tanA 
3 ，进而可求解，
3
3
（2）根据面积公式可得bc  4
m n
【详解】（1）由题意知， →  → 
，进而利用余弦定理求解.
3asinC  ccsA  0 ，
由正弦定理得 3sinAsinC  sinCcsA  0，因为0  C  π ，所以sinC  0 ，
则 3sinA  csA  0 ，即tanA 3 ，
3
又0  A  π ，所以 A  π .
6
3
3
（2）因为ABC 的面积为 S  1 bcsinA  1 bc ，解得bc  4，
24
所以b2  c2  2 3bc  24 ，
3
由余弦定理得a2  b2  c2  3bc  12 ，所以a  2.
正弦定理
【真题实战】（2025·江苏南京·一模）在锐角ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为a,b, c .若
b  2c  acsC  2acsB ，则 c  （ ）
b
文字语言
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
符号语言
abc
sin Asin Bsin C
常见变形
a : b : c  sin A : sin B : sin C;
a  2R sin A, b  2R sin B, c  2R sin C(R 为ABC 的外接圆半径）
sin A  a ,sin B  b ,sin C  c （R 为ABC的外接圆半径) 2R2R2R
a sin B  bsin A, c sin B  bsin C, c sin A  a sin C
a  b  c
sin A  sin B  sin C
正弦定理中,各边与其对角的正弦严格对应,体现了数学中的对称美
正弦定理是直角三角形对角关系的一个推广,正弦定理对任意三角形都成立,它的主要功能是实现三角形中边角关系的互化.
A． 1
3
【答案】D
B． 1
2
C．1D．2
【知识点】正弦定理边角互化的应用
【分析】用射影定理即可化简求值.
【详解】如图所示，过点 A 作 AD BC 于点 D，
则 BD  c cs B, CD  b cs C,a  BD  CD  c cs B  b cs C ，同理可证b  a csC  c cs A, c  a cs B  b cs A ，
因为b  2c  acsC  2acsB ，所以a cs C  c cs A  2(a cs B  b cs A)  acsC  2acsB ，整理得c cs A  2b cs A ，因为ABC 为锐角三角形，所以cs A  0 ，
所以c  2b ，即 c  2 ，
b
故选：D
三角形的面积公式
在 ABC
中，设 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, a, b, c 边上的高分别为
ha , hb , hc ，则
（1） S
 1 ah  1 bh  1 ch；
ABC
2a2b2c
（2） S
ABC
 1 ab sinC  1 bc sin A  1 ac sin B ．
222
三角形面积公式的其他形式
1．在 ABC 中，A, B, C 的对边分别为 a, b, c, r 为 ABC 的内切圆半径， R 为 ABC 的外接圆半径， p  a  b  c (ABC 周长的一半），则
1） SABC 
2
p( p  a)( p  b)( p  c) （海伦公式）；
2） S
ABC
 abc ,S
4R
ABC
 r  p ；
3） S 2R sin A sin B sin C ．
2
ABC
2．数量积形式的三角形面积公式：
在 ABC 中，设 CA  b,CB  a ，
1 22 1
2
 1 a b  a b .
ABC
，则 S
1 2
2
1
中，设 CB  a  a， a ,CA  b  b ,b 
在 ABC
3．坐标形式的三角形面积公式：
b sin 1 | a |2| b |2 (a b)2 .
2
2
 1 | a | .
ABC
且a,b  , 则S
【真题实战 1】（2025·陕西安康·二模）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知cs 2C  3cs C 1 ．
(1)求C ；
3
(2)若c  2， ABC 的面积为2 3 ．求ABC 的周长．
【答案】(1) C  π
3
3
(2) 6  2
【知识点】二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】(1)根据余弦的二倍角公式化简即可；
(2)根据面积公式结合余弦定理求解即可.
【详解】（1）由cs 2C  3cs C 1 可得2 cs2 C  3cs C  2  0 ，
解得cs C  1 或cs C  2 （舍），故cs C  1 .
22
又C 为ABC 内角，故C  π .
3
3
（2） S
 1 ab sin C  2 3 ，则 3 ab  2
，解得ab  8 .
ABC24
由余弦定理c2  a2  b2  2ab csC 可得12  a2  b2  ab  a  b2  3ab ，解得a  b  6 .
3
故ABC 的周长为a  b  c  6  2.
【真题实战 2】（2025·北京昌平·二模）在ABC 中，B 为锐角， 2asinAcsC  csin2A  3a ．
求B ；
若b  7, csinB  5
2
【答案】(1) B  
3
3 ，求ABC 的面积．
3
(2)10
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再通过三角函数的运算求出角；
（2）先根据正弦定理求出c 的值，再利用余弦定理求出a 的值，最后根据三角形面积公式求解.
【详解】（1）由2asinAcsC  csin2A 
3a 及正弦定理
a
sinA
c，
sinC
得2sinAsinAcsC  2sinCsinAcsA 
3sinA ．
3
因为在ABC 中， sinA  0 ，所以2sin  A  C  ．
因为A  B  C ，所以sinB 3 ．
2
因为B 为锐角，所以B  ．
3
（2）由B  ，且csinB  5
3 ，解得c  5 ．
32
a2  c2  b2
由余弦定理csB ，得a2  5a  24  0 ，解得a  8 或a  3 （舍）．
2ac
3
所以ABC 的面积S  1 acsinB  1  8 5 3  10．
222
测量距离问题
问题
图形
可测元素
解法
测 量 不 相 通 的 两 点
A, B 间的距离( A, B
均可到达)
a,b,
AB a2  b2  2ab cs
测量可视的两点 A, B
间的距离( B 点不可到达)
b,,
AB b sin
sin( )
（1）在 ACD 中，用正
弦定理求 A C；
测量两个不可到达的点
A, B 间的距离
a,,,,
（2）在 BCD 中，用正
弦定理求 B C；
（3）在 ABC 中，用余弦
定理求 A B
解决求距离(长度)问题的思路
求距离(长度)时,应设法将已知量与未知量集中在一个三角形中,用正弦定理或余弦定理求解.
若实际问题经抽象概括后,涉及的三角形只有一个,则常需连续使用正弦定理或余弦定理求解,涉及两个或多个三角形,需按一定顺序逐步在几个三角形中求解.
测量高度问题
测量高度问题的解题技法
测量高度问题一般涉及方向角、仰角、俯角等,在画图时,要注意运用空间想象能力.解题时要尽可能地寻找直角三角形，利用直角三角形中的特殊关系解决问题,避免复杂的运算
【真题实战】（24-25 高三上·河北邢台·期中）如图，已知 AA1 为某建筑物的高， BB1 ， CC1 分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高， A1 ， B1 ， C1 分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C 分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得 A1B1  80 米， CC1  86 米， C1 A1B1  48.60 ，A1C1B1  30 ，在 C 点测得 B 点的仰角为 33.69°，在 B 点测得 A 点的仰角为 51.34°，则该建筑物的高 AA1 约为（参考数据
问题
图形
可测元素
解法
测量 AB 的高度(底部 B
点可到达)
a,
AB  a tan
测量 AB的高度( 底部
B 点不可到达)
a,,
在 ACD 中，用正弦定理求 A D；
AB  AD sin
a,,,
在 BCD 中，用正弦定理求 B C；
AB  BC tan
tan 33.69  0.667 ， tan 51.34  1.250 ， sin 48.60  0.750 ）（ ）
A．268 米B．265 米C．266 米D．267 米
【答案】C
【知识点】高度测量问题
【分析】根据题意，分别过 B，C 作 BF  AA1 ，CD  BB1 ，垂足分别为 F，D，过 D 作 DE  AA1 ，垂足为 E．由题中的系列角，借助于直角三角形，利用正弦定理，依次求得 B1C1 ， BD 和 AF ，即可求出建筑物的高 AA1 .
【详解】
如图，分别过 B , C 作 BF  AA1 ， CD  BB1 ，垂足分别为 F，D，过 D 作 DE  AA1 ，垂足为 E．根据题意易得ABF  51.34 ， BCD  33.69 ．
在△A1B1C1 中，由正弦定理得 B1C1
 A1B1 sin C1 A1B1 = sin A1C1B1
80sin 48.60∘ sin 30∘
 80  0.750  120
1，
2
在Rt△BCD 中， DC  B1C1  120 ,则 BD  120 tan 33.69  120 0.667 80.04 ，在RtABF 中， BF  A1B1  80 ,则 AF  80 tan 51.34  80 1.250  100 ，
所以 AA1  CC1  BD  AF  86 80.04 100 266 米．故选：C.
解三角形的实际应用
方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述．
将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况．
正弦定理边角互化的应用
正弦定理边角互化的应用解题技巧
1．熟定理，明转化：牢记
a
sin Asin Bsin C

b

c
 2R （ R 为外接圆半径），边化角就用a  2R sin A 等
替换；角化边则反之，根据式子特征选方向。
2．借定理，化式子：边化角后，用 A  B  C 把角凑成可化简形式，再结合三角公式（和差、倍角等）
名称
意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范
围是 0°≤θ