2027年高考数学一轮复习第五章　§5.2　平面向量基本定理及坐标表示学案含解析

这是一份2027年高考数学一轮复习第五章　§5.2　平面向量基本定理及坐标表示学案含解析，共15页。

1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则
a+b=(x1+x2，y1+y2)，a-b=(x1-x2，y1-y2)，λa=(λx1，λy1)，|a|=x12+y12.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=(x2-x1，y2-y1)，|AB|=(x2−x1)2+(y2−y1)2.
4.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底. ( × )
(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b，则λ1=λ2，μ1=μ2. ( √ )
(3)设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，当且仅当x2y2≠0时，a∥b与x1x2=y1y2等价.( √ )
(4)若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a=b⇔x1=x2且y1=y2. ( √ )
2.已知a=(2，1)，b=(-3，4)，则3a+4b的坐标是( )
A.(6，19)B.(6，-13)
C.(-6，19)D.(-6，-13)
答案 C
解析 因为a=(2，1)，b=(-3，4)，所以3a=(6，3)，4b=(-12，16)，
则3a+4b=(-6，19).
3.已知向量a=(m，m+3)，b=(4，m)，则“m=6”是“a与b共线”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 向量a=(m，m+3)，b=(4，m)，
则a∥b⇔m2-4(m+3)=0，解得m=-2或m=6，
所以“m=6”是“a与b共线”的充分不必要条件.
4.已知平行四边形ABCD的顶点A(-1，-2)，B(3，-1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为 .
答案 (1，5)
解析 设D(x，y)，则AB=DC，
得(3-(-1)，-1-(-2))=(4，1)=(5-x，6-y)，
即4=5−x,1=6−y,解得x=1,y=5,即D(1，5).
1.熟记以下常用结论
(1)如果对于一个基底{e1，e2}，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，那么可以得到λ1=μ1,λ2=μ2,即基底给定，同一向量的分解形式唯一.特别地，若λ1e1+λ2e2=0，则λ1=λ2=0.
(2)已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G点坐标为x1+x2+x33，y1+y2+y33.
2.谨防三个易误点
(1)基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底中的向量.
(2)a∥b的充要条件不能表示为x1x2=y1y2，因为x2，y2有可能为0.
(3)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
题型一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)(多选)(2025·三门峡模拟)下列选项正确的是( )
A.若e1=(2，-3)，e2=12，−34，则e1与e2能作为一个基底
B.e1=(-1，2)，e2=(5，7)，则e1与e2能作为一个基底
C.3e1+e2与e2可以作为一个基底
D.若e1，e2不共线，则2e1与-e2可以作为一个基底
答案 BD
解析 选项A，因为e1=(2，-3)，e2=12，−34，
2×−34=-3×12，所以e1与e2共线，不能作为一个基底，A选项错误；
选项B，因为e1=(-1，2)，e2=(5，7)，
2×5≠-1×7，所以e1与e2不共线，能作为一个基底，B选项正确；
选项C，设3e1+e2=λe2，可得3e1=(λ-1)e2.
若e1与e2不共线，则不存在这样的实数λ使得3e1=(λ-1)e2成立；
若e1与e2共线，则3e1+e2与e2共线.
由于题目未明确e1与e2是否共线，所以无法确定3e1+e2与e2是否能作为一个基底，C选项错误；
选项D，设2e1=λ(-e2)，即2e1+λe2=0.
因为e1，e2不共线，所以不存在实数λ，使得2e1+λe2=0成立，
所以2e1与-e2不共线，可以作为一个基底，D选项正确.
(2)如图，在直角梯形ABCD中，DC=14AB，BE=2EC，且AE=rAB+sAD，则2r+3s= .
答案 3
解析 方法一 由题图可得
AE=AB+BE=AB+23BC
=AB+23(BA+AD+DC)
=13AB+23(AD+DC)
=13AB+23AD+14AB=12AB+23AD.
因为AE=rAB+sAD，所以r=12，s=23，
则2r+3s=1+2=3.
方法二 因为BE=2EC，
所以AE-AB=2(AC-AE)，
整理，得AE=13AB+23AC=13AB+23(AD+DC)=13AB+23AD+14AB=12AB+23AD，
以下同方法一.
方法三 如图，建立平面直角坐标系，A(0，0)，
依题意可设点B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m>0，h>0.由AE=rAB+sAD，
得(4m，2h)=r(4m，0)+s(3m，3h)，
所以4m=4mr+3ms,2ℎ=3ℎs,解得r=12,s=23,
所以2r+3s=1+2=3.
思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
跟踪训练1 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记CA=m，CD=n，则CB等于( )
A.3m-2nB.-2m+3n
C.3m+2nD.2m+3n
答案 B
解析 因为BD=2DA，所以AB=3AD，
所以CB=CA+AB=CA+3AD=CA+3(CD-CA)=-2CA+3CD=-2m+3n.
(2)(2025·合肥模拟)在△ABC中，BD=λBC，AE=μAD，AF=μAC，其中λ，μ∈(0，1)，若BE=DF，则( )
A.λ=μB.λ+μ=1
C.1λ-1μ=1D.1μ-1λ=1
答案 C
解析 BE=BA+AE=BA+μAD=BA+μ(AB+BD)=BA+μ(AB+λBC)=BA+μ[AB+λ(AC-AB)]=λμAC+(μ-λμ-1)AB，
DF=DB+BA+AF=-λBC-AB+μAC
=-λ(AC-AB)-AB+μAC
=(λ-1)AB+(μ-λ)AC，
因为BE=DF，所以λμ=μ−λ,μ−λμ−1=λ−1,
所以λμ=μ-λ，又λ，μ∈(0，1)，
则1λ-1μ=1.
题型二 平面向量的坐标运算
例2 (1)在平行四边形ABCD中，AD=(3，7)，AB=(-2，3)，对角线AC与BD交于点O，则CO的坐标为( )
A.−12，5B.12，5
C.−12，−5D.12，−5
答案 C
解析 因为在平行四边形ABCD中，AD=(3，7)，AB=(-2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以CO=-AO=-12(AD+AB)=−12，−5.
(2)(2025·全国Ⅰ卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.表格给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为( )
A.轻风B.微风C.和风D.劲风
答案 A
解析 由题意及题图得，视风风速对应的向量为n=(0，2)-(3，3)=(-3，-1)，
视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，
船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反，
设真风风速对应的向量为n1，船行风风速对应的向量为n2，
∴n=n1+n2，n2=-[(3，3)-(2，0)]=(-1，-3)，
∴n1=n-n2=(-3，-1)-(-1，-3)=(-2，2)，
∴|n1|=(−2)2+22=22≈2.828，
由表格可得，该时刻的真风为轻风.
思维升华 (1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解.
(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.
跟踪训练2 (1)(2025·天津模拟)设点A(-1，3)，B(2，4)，C(3，-2)，且AD=2AB-3BC，则点D的坐标为( )
A.(3，20)B.(-2，-23)
C.(2，23)D.(-4，-17)
答案 C
解析 设D(x，y)，由AD=2AB-3BC可得，(x+1，y-3)=2(3，1)-3(1，-6)=(3，20)，
即x+1=3,y−3=20,解得x=2,y=23,即D(2，23).
(2)(2025·成都模拟)在正方形ABCD中，M是BC的中点.若AC=λAM+μBD(λ，μ∈R)，则λ+μ的值为( )
A.43B.53C.158D.2
答案 B
解析 在正方形ABCD中，以点A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，
令AB=2，则B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，M(2，1)，AC=(2，2)，AM=(2，1)，BD=(-2，2)，λAM+μBD=(2λ-2μ，λ+2μ)，
因为AC=λAM+μBD，所以2λ−2μ=2,λ+2μ=2,
解得λ=43，μ=13，λ+μ=53，
所以λ+μ的值为53.
题型三 向量共线的坐标表示
例3 (1)(2025·遵义模拟)已知向量a=(3，2)，b=(λ，4)，c=(1，λ+1)，若(a+2b)∥c，则正数λ等于( )
A.12B.72C.1D.27
答案 C
解析 由题意得a+2b=(3+2λ，10)，
因为(a+2b)∥c，所以(3+2λ)(λ+1)=10，
即2λ2+5λ-7=0，
解得λ=1或λ=-72(舍去).
(2)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为 .
答案 (3，3)
解析 方法一 OA=(4，0)，OB=(4，4)，OC=(2，6)，
由O，P，B三点共线，可设OP=λOB=(4λ，4λ)，λ∈R，则AP=OP-OA=(4λ-4，4λ).
又AC=OC-OA=(-2，6)，
由AP与AC共线，得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0，解得λ=34，所以OP=34OB=(3，3)，
所以点P的坐标为(3，3).
方法二 设点P(x，y)，则OP=(x，y)，因为OB=(4，4)，且OP与OB共线，所以x4=y4，即x=y.又AP=(x-4，y)，AC=(-2，6)，且AP与AC共线，所以(x-4)×6-y×(-2)=0，解得x=y=3，所以点P的坐标为(3，3).
思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R).
跟踪训练3 (1)(多选)已知两点A(2，-1)，B(3，1)，与AB平行且方向相反的向量a可能是( )
A.a=(-1，-2)B.a=(9，3)
C.a=(-1，2)D.a=(-4，-8)
答案 AD
解析 由题意可得AB=(1，2).
A选项，a=(-1，-2)=-AB，故满足题意；
D选项，a=(-4，-8)=-4AB，故满足题意；
B，C选项中的a不能用AB表示，故不满足题意.
(2)(2026·景德镇模拟)已知向量a=(2，3)，b=(2，sin α-3)，c=(2，cs α)，若(a+b)∥c，则tan α的值为( )
A.2B.-2C.12D.-12
答案 A
解析 因为a=(2，3)，b=(2，sin α-3)，
所以a+b=(4，sin α)，
又c=(2，cs α)且(a+b)∥c，
所以sinαcsα=42，即tan α=2.
定比分点坐标公式
(链接教材，人教A版必修第二册P33)定比分点是中点、三等分点的延伸拓展，在解决平面向量和解析几何题目中都有应用.
如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是直线P1P2上异于P1，P2的点，当P1P=λPP2(λ≠0且λ≠-1)时，OP=11+λOP1+λ1+λOP2，点P的坐标是x1+λx21+λ，y1+λy21+λ，当λ>0时，点P在线段P1P2上，称为内分点；当λ0，
所以λ=BEEF=m−nn=3nn=3.
14.(2025·昆明模拟)已知{e1，e2}是平面α内的一个基底，O为α内的定点.对于α内任意一点P，若OP=xe1+ye2(x，y∈R)，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标.若点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则下列命题正确的是( )
A.点M(1，2)关于点O的对称点不一定为M'(-1，-2)
B.A，B两点间的距离为(x1−x2)2+(y1−y2)2
C.若向量OA平行于向量OB，则x1y2-x2y1的值不一定为0
D.若线段AB的中点为C，则点C的广义坐标为x1+x22，y1+y22
答案 D
解析 对于A，OM=e1+2e2，设M(1，2)关于点O的对称点为M'(x，y)，则OM'=-OM=-e1-2e2=xe1+ye2，因为e1，e2不共线，所以x=−1,y=−2,A错误；
对于B，因为AB=OB-OA=x2e1+y2e2-x1e1-y1e2=(x2-x1)e1+(y2-y1)e2，所以|AB|=[(x2−x1)e1+(y2−y1)e2]2=(x2−x1)2e12+2(x2−x1)(y2−y1)e1·e2+(y2−y1)2e22，
当向量e1，e2是相互垂直的单位向量时，A，B两点间的距离为(x1−x2)2+(y1−y2)2，否则距离不为(x1−x2)2+(y1−y2)2，B错误；
对于C，当OA与OB中至少一个是0时，x1y2-x2y1=0；当OA与OB都不为0时，设OA=λOB(λ≠0)，有x1e1+y1e2=λx2e1+λy2e2，
即x1=λx2,y1=λy2,所以x1y2=x2y1，C错误；
对于D，OC=12(OA+OB)=12(x1e1+y1e2+x2e1+y2e2)=x1+x22e1+y1+y22e2，所以线段AB中点C的广义坐标为x1+x22，y1+y22，D正确.
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级数
名称
风速大小(单位：m/s)
2
轻风
1.6~3.3
3
微风
3.4~5.4
4
和风
5.5~7.9
5
劲风
8.0~10.7