2027年高考数学一轮复习第四章　§4.3　三角函数的图象与性质学案含解析

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1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，π2，1，(π，0)，3π2，−1，(2π，0).
(2)在余弦函数y=cs x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，π2，0，(π，-1)，3π2，0，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)正切函数y=tan x在定义域上是增函数. ( × )
(2)函数y=cs x在第一、二象限内单调递减. ( × )
(3)函数y=sin x图象的对称轴方程为x=2kπ+π2(k∈Z). ( × )
(4)y=cs(-x)与y=cs|x|的图象相同. ( √ )
2.(2025·南充模拟)下列函数中，是奇函数且最小正周期为π的是( )
A.f(x)=sin 2xB.f(x)=tanx2
C.f(x)=cs 2xD.f(x)=cs x
答案 A
解析 对于A，函数f(x)=sin 2x的最小正周期T=2π2=π，且为奇函数，故A符合题意；
对于B，函数f(x)=tanx2的最小正周期T=π12=2π，故B不符合题意；
对于C，x∈R，且f(-x)=cs(-2x)=cs 2x=f(x)，则f(x)为偶函数，故C不符合题意；
对于D，函数f(x)=cs x的最小正周期T=2π，故D不符合题意.
3.函数f(x)=tan2x−π3的定义域是( )
A.R
B.xx≠kπ4+π6，k∈Z
C.xx≠kπ2+5π12，k∈Z
D.xx≠kπ2+π6，k∈Z
答案 C
解析 因为函数y=tan x的定义域为xx≠π2+kπ，k∈Z，
故由2x-π3≠π2+kπ，k∈Z，解得x≠5π12+kπ2，k∈Z，
即函数f(x)=tan2x−π3的定义域是xx≠kπ2+5π12，k∈Z.
4.(人教A版必修第一册P214T10(2)改编)函数y=csx+π3，x∈0，π2的值域是 .
答案 −32，12
解析 由x∈0，π2得x+π3∈π3，5π6，
所以y=csx+π3的值域为−32，12.
1.熟记与三角函数周期性、对称性、奇偶性有关的常用结论
(1)正弦型曲线、余弦型曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个最小正周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个最小正周期.
(2)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ+π2(k∈Z)；若为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).
(3)若y=Acs(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ=kπ+π2(k∈Z).
2.谨防两个易误点
(1)要注意求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的情况，避免出现增减区间的混淆.
(2)对于y=tan x，是在每个区间kπ−π2，kπ+π2(k∈Z)上单调递增，不能认为其在定义域上为增函数.
题型一 三角函数的定义域和值域
例1 (1)函数f(x)=2sinx+1的定义域为( )
A.−π6+2kπ，7π6+2kπ，k∈Z
B.−π4+2kπ，π3+2kπ，k∈Z
C.−π2+2kπ，π2+2kπ，k∈Z
D.−π3+2kπ，π2+2kπ，k∈Z
答案 A
解析 对于函数f(x)=2sinx+1，
令2sin x+1≥0，即sin x≥-12，解得-π6+2kπ≤x≤7π6+2kπ，k∈Z，
所以函数的定义域为−π6+2kπ，7π6+2kπ，k∈Z.
(2)(2026·德州模拟)函数f(x)=-cs 2x-3cs x，x∈−π3，π3的最大值为( )
A.-1B.178C.1D.-4
答案 A
解析 f(x)=-cs 2x-3cs x
=-2cs2x-3cs x+1=-2csx+342+178，
因为x∈−π3，π3，所以cs x∈12，1，
所以当cs x=12时，有f(x)max=-1，
所以函数f(x)的最大值为-1.
思维升华 (1)三角函数有关定义域的求法：根据函数解析式的特征列出与三角函数有关的不等式，借助三角函数性质及图象求解，与正切函数有关的定义域，要注意正切函数本身的定义域.
(2)三角函数值域的不同求法
①把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)的形式求值域.
②把sin x或cs x看作一个整体，转换成二次函数求值域.
③利用sin x±cs x和sin xcs x的关系转换成二次函数求值域.
跟踪训练1 (1)(2025·昆明期末)函数f(x)=sinx−csx的定义域是( )
A.π4，π2
B.π4，3π4
C.π4+kπ，3π4+kπ(k∈Z)
D.π4+2kπ，5π4+2kπ(k∈Z)
答案 D
解析 因为f(x)=sinx−csx=2sinx−π4，
令sinx−π4≥0，
可得2kπ≤x-π4≤2kπ+π(k∈Z)，
解得2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4(k∈Z)，
故函数f(x)=sinx−csx的定义域为π4+2kπ，5π4+2kπ(k∈Z).
(2)函数y=tanπ2−xx∈−π4，π4且x≠0的值域为( )
A.[-1，1]B.(-∞，-1]∪[1，+∞)
C.(-∞，1]D.[-1，+∞)
答案 B
解析 因为-π4≤x≤π4且x≠0，
所以π4≤π2-x≤3π4且π2-x≠π2，
所以函数y=tanπ2−xx∈−π4，π4且x≠0的值域为(-∞，-1]∪[1，+∞).
题型二 三角函数的周期性、对称性与奇偶性
例2 (1)(2025·长沙期末)设函数f(x)=cs(x+θ)，则“sin θ=0”是“f(x)为偶函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由sin θ=0，得θ=kπ，k∈Z，则f(x)=cs(x+θ)=cs(x+kπ)=±cs x为偶函数，
由f(x)=cs(x+θ)为偶函数，得θ=kπ，k∈Z，则sin θ=0，
所以“sin θ=0”是“f(x)为偶函数”的充要条件.
(2)(多选)(2025·日照模拟)已知函数f(x)=sin2x+π3，则下列说法中正确的有( )
A.f(x)的图象关于直线x=π6对称
B.f(x)的图象关于点π3，0对称
C.f(x)在−π3，π12上单调递增
D.若f(x1)-f(x2)=2，则|x1-x2|的最小值为π2
答案 BCD
解析 A选项，当x=π6时，2x+π3=2π3，
因为直线x=2π3不是y=sin x的图象的对称轴，所以直线x=π6不是函数f(x)=sin2x+π3的图象的对称轴，故A选项错误；
B选项，当x=π3时，2x+π3=π，因为点(π，0)是y=sin x的图象的对称中心，所以π3，0是f(x)=sin2x+π3的图象的对称中心，故B选项正确；
C选项，当x∈−π3，π12时，2x+π3∈−π3，π2，则f(x)=sin2x+π3在−π3，π12上单调递增，故C选项正确；
D选项，因为f(x)max=1，f(x)min=-1，由f(x1)-f(x2)=2得f(x1)=1，f(x2)=-1，
所以|x1-x2|的最小值即为两条相邻对称轴之间的距离，即为12T，因为T=2π2=π，所以|x1-x2|的最小值为π2，故D选项正确.
思维升华 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y=Acs ωx的形式.
(2)最小正周期的计算方法：利用函数y=Asin(ωx+φ)，y=Acs(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为2πω，函数y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为πω求解.
(3)对称轴、对称中心的求法：对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)(或f(x)=Acs(ωx+φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，则令ωx+φ=π2+kπ(k∈Z)(或ωx+φ=kπ(k∈Z))；如果求f(x)的对称中心，则令ωx+φ=kπ(k∈Z) 或ωx+φ=π2+kπ(k∈Z)；对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数求对称中心，则令ωx+φ=kπ2(k∈Z).
跟踪训练2 (2026·哈尔滨模拟)已知函数f(x)=3tan2x−π4+1，则( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)在区间−π8，3π8上单调递增
C.f(x)图象的对称中心为点kπ4+π8，0(k∈Z)
D.不等式f(x)≤4的解集为xkπ2−π80，
∴π5