2027年高考数学一轮复习第四章　§4.1　三角函数基本公式学案含解析

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§4.1 三角函数基本公式
考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.理解同角三角函数的基本关系式sin2α+cs2α=1，sinαcsα=tan αα≠π2+kπ，k∈Z.4.掌握诱导公式，并会简单应用.
1.角的概念
2.弧度制的定义及公式
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y=sin α，x=cs α，yx=tan α(x≠0).
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α=yr，cs α=xr，tan α=yx(x≠0).
4.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α+cs2α=1.
(2)商数关系：sinαcsα=tan αα≠π2+kπ，k∈Z.
5.三角函数的诱导公式
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.( × )
(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同. ( √ )
(3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角. ( × )
(4)tanπ2−α=csαsinα(α≠kπ，k∈Z). ( √ )
2.(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A.sin(-x)=sin xB.sin3π2−x=cs x
C.csπ2+x=-sin xD.cs(x-π)=-cs x
答案 CD
解析 sin(-x)=-sin x，故A不成立；
sin3π2−x=-cs x，故B不成立；
csπ2+x=-sin x，故C成立；
cs(x-π)=-cs x，故D成立.
3.已知α是第二象限角，且sin α=33，则tan α等于( )
A.-2B.-22C.-23D.-322
答案 B
解析 因为α是第二象限角，且sin α=33，故cs α=-1−sin2α=-63，
则tan α=sinαcsα=-22.
4.(2026·哈尔滨模拟)已知角α的终边与单位圆的交点为P−55，−255，则cs α-sin α= .
答案 55
解析 由题意，cs α=-55，sin α=-255，
则cs α-sin α=-55-−255=55.
1.熟记关于角的两个常用结论
(1)象限角
(2)轴线角
2.谨防几个易误点
(1)角度与弧度不可混用；
(2)已知三角函数值的符号确定角的终边位置，不要遗漏终边在坐标轴上的情况；
(3)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号；
(4)“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化，应用时要注意.
题型一 三角函数基本概念
命题点1 任意角与象限角
例1 (多选)下列说法正确的是( )
A.665°角是第四象限角
B.与-65°角终边相同的角的集合为α|α=−65°+k·360°，k∈Z
C.若α是第二象限角，则2α是第三象限或第四象限角
D.若α是第二象限角，则α2为第一象限或第三象限角
答案 ABD
解析 对于A，α=665°=360°+305°，所以665°角和305°角的终边相同，故665°角是第四象限角，故A正确；
对于B，与-65°角终边相同的角的集合为α|α=−65°+k·360°，k∈Z，故B正确；
对于C，D，因为α是第二象限角，可得π2+2kπ