2022高考数学一轮复习 第四章 §4.4　三角函数的图象与性质

这是一份2022高考数学一轮复习 第四章 §4.4　三角函数的图象与性质，共15页。试卷主要包含了能画出三角函数的图象等内容，欢迎下载使用。


1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
微思考
1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？
提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．
2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？
提示 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( × )
(2)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( × )
(3)y＝sin|x|是偶函数．( √ )
(4)由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(2π,3)))＝sin eq \f(π,6)知，eq \f(2π,3)是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．( × )
题组二 教材改编
2．函数f(x)＝－2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的定义域是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,6)))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(π,12)))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,6)k∈Z))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,6)k∈Z))))
答案 D
解析 由2x＋eq \f(π,6)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
得x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)，k∈Z.
3．下列函数中，是奇函数的是( )
A．y＝|cs x＋1| B．y＝1－sin x
C．y＝－3sin(2x＋π) D．y＝1－tan x
答案 C
解析 选项A中的函数是偶函数，选项B，D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为y＝－3sin(2x＋π)＝3sin 2x，所以是奇函数，选C.
4．函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的最小正周期是________．
答案 π
题组三 易错自纠
5．(多选)已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))(x∈R)，下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
答案 ABC
解析 由题意，可得f(x)＝－cs x，
对于选项A，T＝eq \f(2π,1)＝2π，所以选项A正确；
对于选项B，y＝cs x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递减，所以函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，所以选项B正确；
对于选项C，f(－x)＝－cs(－x)＝－cs x＝f(x)，所以函数是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，所以选项C正确；选项D错误．故选ABC.
6．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的图象的对称中心是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,4)，0))，k∈Z
解析 由x＋eq \f(π,4)＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，
得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,4)，k∈Z，
∴对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,4)，0))，k∈Z.
题型一 三角函数的定义域和值域
例1 (1)函数y＝eq \r(sin x－cs x)的定义域为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5π,4)))(k∈Z)
解析 要使函数有意义，必须使sin x－cs x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cs x的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cs x的x为eq \f(π,4)，eq \f(5π,4)，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(5π,4)，k∈Z)))).
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))时，函数y＝3－sin x－2cs2x的值域为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,8)，2))
解析 因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，所以sin x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1)).
又y＝3－sin x－2cs2x＝3－sin x－2(1－sin2x)
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x－\f(1,4)))2＋eq \f(7,8)，
所以当sin x＝eq \f(1,4)时，ymin＝eq \f(7,8)，当sin x＝eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))或sin x＝1时，ymax＝2.即函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,8)，2)).
思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcs x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝ln(cs x)的定义域为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z
B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))，k∈Z
D．(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z
答案 C
解析 由题意知，cs x>0，
∴2kπ－eq \f(π,2)∴函数f(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))，k∈Z.
(2)函数y＝sin x－cs x＋sin xcs x的值域为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2\r(2),2)，1))
解析 设t＝sin x－cs x，则t2＝sin2x＋cs2x－2sin x·cs x，sin xcs x＝eq \f(1－t2,2)，且－eq \r(2)≤t≤eq \r(2).
∴y＝－eq \f(t2,2)＋t＋eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)(t－1)2＋1，t∈[－eq \r(2)，eq \r(2)]．
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－eq \r(2)时，ymin＝－eq \f(1＋2\r(2),2).
∴函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2\r(2),2)，1)).
题型二 三角函数的周期性与对称性
1．下列函数中，是周期函数的为( )
A．y＝sin|x| B．y＝cs|x|
C．y＝tan|x| D．y＝(x－1)0
答案 B
解析 ∵cs|x|＝cs x，∴y＝cs|x|是周期函数．其余函数均不是周期函数．
2．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的对称轴为__________________，对称中心为__________________．
答案 x＝eq \f(3π,4)＋kπ，k∈Z eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋kπ，0))，k∈Z
解析 由x－eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，得x＝eq \f(3π,4)＋kπ，k∈Z，由x－eq \f(π,4)＝kπ，k∈Z，得x＝eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z.
故函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的对称轴为x＝eq \f(3π,4)＋kπ，k∈Z；对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋kπ，0))，k∈Z.
3．若函数f(x)＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx＋\f(π,3)))的最小正周期T满足1答案 2或3
解析 由题意得1∴eq \f(π,2)4．若函数f(x)(f(x)的值不恒为常数)满足以下两个条件：①f(x)为偶函数；②对于任意的x∈R，都有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋x)).则其解析式可以是f(x)＝________.(写出一个满足条件的解析式即可)
答案 cs 3x(答案不唯一)
解析 因为对于任意的x∈R，都有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋x))，
所以函数的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称．
又由于函数为偶函数，
所以函数的解析式可以为f(x)＝cs 3x.
因为f(－x)＝cs(－3x)＝cs 3x＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
令3x＝kπ，k∈Z，∴x＝eq \f(kπ,3)，k∈Z，
所以函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称．
思维升华 (1)三角函数周期的一般求法
①公式法；
②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期．
(2)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acs(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z))，求x即可．
(3)对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，求x即可．
题型三 三角函数的单调性
命题点1 求三角函数的单调区间
例2 (1)(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以eq \f(π,2)为周期且在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递增的是( )
A．f(x)＝|cs 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cs|x| D．f(x)＝sin|x|
答案 A
解析 A中，函数f(x)＝|cs 2x|的周期为eq \f(π,2)，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为eq \f(π,2)，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cs|x|＝cs x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x，x≥0，,－sin x，x<0，))由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.
(2)函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,3)))的单调递减区间为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)
解析 f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))))
＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
得kπ－eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(5π,12)，k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)．
命题点2 根据单调性求参数
例3 (2021·湖南师大附中月考)若函数f(x)＝2eq \r(3)·sin ωxcs ωx＋2sin2ωx＋cs 2ωx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，\f(3π,2)))上单调递增，则正数ω的最大值为( )
A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,6) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,3)
答案 B
解析 方法一 因为f(x)＝2eq \r(3)sin ωxcs ωx＋2sin2ωx＋cs 2ωx＝eq \r(3)sin 2ωx＋1在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，\f(3π,2)))上单调递增，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3ωπ≥－\f(π,2)，,3ωπ≤\f(π,2)，))解得ω≤eq \f(1,6)，
所以正数ω的最大值是eq \f(1,6).故选B.
方法二 易知f(x)＝eq \r(3)sin 2ωx＋1，可得f(x)的最小正周期T＝eq \f(π,ω)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,4ω)≤－\f(3π,2)，,\f(π,4ω)≥\f(3π,2)，))
解得ω≤eq \f(1,6).所以正数ω的最大值是eq \f(1,6).故选B.
思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
跟踪训练2 (1)(2020·广东省七校联考)函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,6)))的单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(4π,3)))，k∈Z
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(4π,3)))，k∈Z
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4kπ－\f(2π,3)，4kπ＋\f(4π,3)))，k∈Z
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4kπ－\f(2π,3)，4kπ＋\f(4π,3)))，k∈Z
答案 B
解析 由－eq \f(π,2)＋kπ得2kπ－eq \f(2π,3)所以函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,6)))的单调递增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(4π,3)))，k∈Z，故选B.
(2)(2021·河北省中原名校联盟联考)若函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,10)))－2在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，a))上单调，则实数a的最大值是________．
答案 eq \f(7π,5)
解析 方法一 令2kπ＋eq \f(π,2)≤x＋eq \f(π,10)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，即2kπ＋eq \f(2π,5)≤x≤2kπ＋eq \f(7π,5)，k∈Z，所以函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2π,5)，\f(7π,5)))上单调递减，所以a的最大值为eq \f(7π,5).
方法二 因为eq \f(π,2)≤x≤a，所以eq \f(π,2)＋eq \f(π,10)≤x＋eq \f(π,10)≤a＋eq \f(π,10)，
又f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，a))上单调，
eq \f(π,2)＋eq \f(π,10)课时精练
1．函数y＝eq \r(3)sin 2x＋cs 2x的最小正周期为( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(2π,3) C．π D．2π
答案 C
解析 ∵y＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin 2x＋\f(1,2)cs 2x))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，∴T＝eq \f(2π,2)＝π.
2．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))的定义域是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4)))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(π,4)))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,4)k∈Z))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(3π,4)k∈Z))))
答案 D
解析 y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))，由x－eq \f(π,4)≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，得x≠kπ＋eq \f(3π,4)(k∈Z)．故选D.
3．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最小值为( )
A．－1 B．－eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(2),2) D．0
答案 B
解析 由已知x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，得2x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，1))，
故函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最小值为－eq \f(\r(2),2).故选B.
4．函数f(x)＝sin xcs x的单调递减区间是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3π,4)，kπ))(k∈Z)
B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(3π,4)))(k∈Z)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)
D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)
答案 B
解析 f(x)＝sin xcs x＝eq \f(1,2)sin 2x，
由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
得eq \f(π,4)＋kπ≤x≤kπ＋eq \f(3π,4)，k∈Z，
∴函数f(x)＝sin xcs x的单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(3π,4)))(k∈Z)．
5．(多选)已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x－1在[0，m]上单调递增，则m的可能值是( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2) C.eq \f(3π,8) D．π
答案 AC
解析 由题意，得f(x)＝sin 2x－cs 2x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，解得－eq \f(π,8)＋kπ≤x≤eq \f(3π,8)＋kπ(k∈Z)，当k＝0时，－eq \f(π,8)≤x≤eq \f(3π,8)，即函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(3π,8)))上单调递增．因为函数f(x)在[0，m]上单调递增，所以06．(多选)已知函数f(x)＝sin4x－cs4x，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最大值为2
C．f(x)的图象关于y轴对称
D．f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递增
答案 ACD
解析 ∵f(x)＝sin4x－cs4x＝sin2x－cs2x＝－cs 2x，
∴函数f(x)的最小正周期T＝π，f(x)的最大值为1.
∵f(－x)＝－cs(－2x)＝－cs 2x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．
∵y＝cs 2x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递减，
∴f(x)＝－cs 2x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递增，故选ACD.
7．比较大小：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,18)))________sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,10))).
答案 >
解析 因为y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))上单调递增且－eq \f(π,18)>－eq \f(π,10)>－eq \f(π,2)，故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,18)))>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,10))).
8．(2019·全国Ⅰ)函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))－3cs x的最小值为________．
答案 －4
解析 ∵f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))－3cs x
＝－cs 2x－3cs x＝－2cs2x－3cs x＋1，
令t＝cs x，则t∈[－1,1]，∴f(t)＝－2t2－3t＋1.
又函数f(t)图象的对称轴t＝－eq \f(3,4)∈[－1,1]，且开口向下，
∴当t＝1时，f(t)有最小值－4.
综上，f(x)的最小值为－4.
9．(2018·北京)设函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))(ω>0)．若f(x)≤f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
答案 eq \f(2,3)
解析 ∵f(x)≤f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))对任意的实数x都成立，
∴当x＝eq \f(π,4)时，f(x)取得最大值，
即f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)ω－\f(π,6)))＝1，
∴eq \f(π,4)ω－eq \f(π,6)＝2kπ，k∈Z，
∴ω＝8k＋eq \f(2,3)，k∈Z.
∵ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值eq \f(2,3).
10．(2020·合肥调研)已知函数f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6)))))，则下列说法正确的是________．(填序号)
①f(x)的周期是eq \f(π,2)；
②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；
③直线x＝eq \f(5π,3)是函数f(x)图象的一条对称轴；
④f(x)的单调递减区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(π,3)))，k∈Z.
答案 ④
解析 函数f(x)的周期为2π，①错；f(x)的值域为[0，＋∞)，②错；当x＝eq \f(5π,3)时，eq \f(1,2)x－eq \f(π,6)＝eq \f(2π,3)≠eq \f(kπ,2)，k∈Z，
∴x＝eq \f(5π,3)不是f(x)的对称轴，③错；令kπ－eq \f(π,2)11．已知函数f(x)＝sin(2π－x)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－x))－eq \r(3)cs2x＋eq \r(3).
(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(7π,12)))时，求f(x)的最小值和最大值．
解 (1)由题意，
得f(x)＝(－sin x)(－cs x)－eq \r(3)cs2x＋eq \r(3)
＝sin xcs x－eq \r(3)cs2x＋eq \r(3)
＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(\r(3),2)(cs 2x＋1)＋eq \r(3)
＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(\r(3),2)cs 2x＋eq \f(\r(3),2)
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋eq \f(\r(3),2)，
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π；
令2x－eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(5π,12)(k∈Z)，
故所求图象的对称轴方程为x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(5π,12)(k∈Z)．
(2)当0≤x≤eq \f(7π,12)时，－eq \f(π,3)≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(5π,6)，
由函数图象(图略)可知，－eq \f(\r(3),2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))≤1.
即0≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋eq \f(\r(3),2)≤eq \f(2＋\r(3),2).
故f(x)的最小值为0，最大值为eq \f(2＋\r(3),2).
12．已知函数f(x)＝4tan xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3).
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的单调性．
解 (1)f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).
f(x)＝4tan xcs xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3)
＝4sin xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3)
＝4sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs x＋\f(\r(3),2)sin x))－eq \r(3)
＝2sin xcs x＋2eq \r(3)sin2x－eq \r(3)
＝sin 2x＋eq \r(3)(1－cs 2x)－eq \r(3)
＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)令z＝2x－eq \f(π,3)，
函数y＝2sin z在z∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ))，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z上单调递增．
由eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ))≤eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))≤eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z，
得eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)＋kπ))≤x≤eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)＋kπ))，k∈Z.
设A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，
B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)＋kπ))≤x≤\b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)＋kπ，k∈Z))))，
易知A∩B＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,4))).
所以当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))时，f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,4)))上单调递增，在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，－\f(π,12)))上单调递减．
13．(2019·全国Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；
②f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递增；
③f(x)在[－π，π]上有4个零点；
④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
答案 C
解析 f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当eq \f(π,2)f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，
由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C.
14．(多选)已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2x))－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3π,4)))，则下列关于函数f(x)的描述正确的是( )
A．f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调递增
B．f(x)图象的一个对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))
C．f(x)图象的一条对称轴是x＝－eq \f(π,6)
D．将f(x)的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度后，所得函数图象关于y轴对称
答案 AC
解析 f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2x))－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3π,4)))
＝eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(\r(3),2)sin 2x＋sin2x－cs2x
＝eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(\r(3),2)sin 2x－cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
得kπ－eq \f(π,6)≤x≤kx＋eq \f(π,3)(k∈Z)，
当k＝0时，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))⊆eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，故A正确；
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝sin eq \f(π,2)＝1≠0，故B不正确；
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－sin eq \f(π,2)＝－1，故C正确；
将f(x)的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(5π,6)))的图象，显然不关于y轴对称，故D不正确．
15．(2020·江赣十四校联考)如果圆x2＋(y－1)2＝m2至少覆盖函数f(x)＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,m)x＋\f(5π,12)))－eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,m)x＋\f(π,3)))(m>0)的一个最大值点和一个最小值点，则m的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8\r(15),15)，＋∞))
解析 化简f(x)＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,m)x＋\f(5π,12)))－eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,m)x＋\f(π,3)))得f(x)＝2sin eq \f(2πx,m)＋1，所以，函数f(x)的图象靠近圆心(0,1)的最大值点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,4)，3))，最小值点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(m,4)，－1)).
所以只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,4)))2＋3－12≤m2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(m,4)))2＋－1－12≤m2，))解得m≥eq \f(8\r(15),15).
16．(2018·北京)已知函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)sin xcs x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，m))上的最大值为eq \f(3,2)，求m的最小值．
解 (1)f(x)＝sin2x＋eq \r(3)sin xcs x
＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(\r(3),2)sin 2x
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2)，
所以f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)由(1)知，f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2).
由题意知－eq \f(π,3)≤x≤m，所以－eq \f(5π,6)≤2x－eq \f(π,6)≤2m－eq \f(π,6).
要使得f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，m))上的最大值为eq \f(3,2)，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，m))上的最大值为1，
所以2m－eq \f(π,6)≥eq \f(π,2)，即m≥eq \f(π,3).
所以m的最小值为eq \f(π,3).函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)))))
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))
[2kπ－π，2kπ]
eq \b\lc\(\rc\) (\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))
递减区间
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))
[2kπ，2kπ＋π]
对称中心
(kπ，0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))
对称轴方程
x＝kπ＋eq \f(π,2)
x＝kπ