2027年高考数学一轮复习第三章　§3.4　三次函数的图象与性质学案含解析

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1.三次函数的概念
形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数叫做三次函数.其导函数f'(x)=3ax2+2bx+c，把Δ=4b2-12ac叫做三次函数导函数的判别式.当Δ>0时，令f'(x)=0，记两根为x1=−b−b2−3ac3a，x2=−b+b2−3ac3a.
2.三次函数的图象和性质
(1)定义域为R.
(2)值域为R，函数在整个定义域上无最大值、最小值.
(3)图象
三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个.
(4)奇偶性
①f(x)不可能为偶函数；②当且仅当b=d=0时是奇函数.
(5)对称性
三次函数的图象是中心对称曲线，且对称中心是−b3a，f−b3a.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是三次函数. ( × )
(2)三次函数可以是偶函数. ( × )
(3)三次函数至少有一个零点. ( √ )
(4)当点在三次函数的图象上时，过此点的切线仅有一条. ( × )
2.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A.(-∞，-3]∪[3，+∞)
B.[-3，3]
C.(-∞，-3)∪(3，+∞)
D.(-3，3)
答案 B
解析 由f(x)=-x3+ax2-x-1，得f'(x)=-3x2+2ax-1，
因为函数在R上是单调函数，
所以f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立，
则Δ=4a2-12≤0⇒-3≤a≤3，
所以实数a的取值范围是[-3，3].
3.已知三次函数f(x)=2x3+ax2+6x+1的极小值点为b，极大值点为2b，则a+b等于( )
A.42B.-42
C.±42D.±52
答案 A
解析 由题意，得f'(x)=6x2+2ax+6，关于x的一元二次方程6x2+2ax+6=0的两根为b，2b，
又极小值点为b，极大值点为2b，所以2b0，得xa，令f'(x)0，
所以g(x)在(-∞，-2)，(2，+∞)上单调递增；
当-20，f(x)单调递增，
当x∈(-1，1)时，f'(x)0，
从而f(x)在R上单调递增，
又当x→-∞时，f(x)→-∞，
当x→+∞时，f(x)→+∞，
由函数零点存在定理得，函数f(x)=x3+x2+x+c有且只有1个零点.
3.如果函数f(x)=13x3-12ax2+(a-1)x+1在(1，4)上单调递减，在(6，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A.(-∞，5]B.[5，7]
C.[7，+∞)D.(-∞，5]∪[7，+∞)
答案 B
解析 f'(x)=x2-ax+(a-1)=[x-(a-1)](x-1).
依题意知，当x∈(1，4)时，f'(x)0)，
令f'(x)=6x2-2mx0，
则函数f(x)在(-∞，-1)，(1，+∞)上单调递减，在(-1，1)上单调递增.
对于A，由以上分析知f(x)在x=-1处取得极小值，故A正确；
对于B，结合以上分析，因为f(-2)=1>0，f(-1)=-30，f(2)=-30，即a2-3b>0，
若2个极值点分别为m，n，则m+n=-2a3，故x1+x2+x33=-a3=m+n2，D正确；
3个零点处的切线斜率之和为f'(x1)+f'(x2)+f'(x3)=3(x12+x22+x32)+2a(x1+x2+x3)+3b，
又x1x2+x1x3+x2x3=b，且(x1+x2+x3)2=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，
所以x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2-2(x1x2+x1x3+x2x3)=a2-2b，
所以f'(x1)+f'(x2)+f'(x3)=3a2-6b-2a2+3b=a2-3b>0，C正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.函数f(x)=13x3-12(m+1)x2+2(m-1)x(m∈R)在(0，4)上无极值，则m= .
答案 3
解析 函数f(x)在(0，4)上无极值即导函数f'(x)在(0，4)上无变号零点.
而f'(x)=x2-(m+1)x+2(m-1)=(x-2)[x-(m-1)]，
令f'(x)=0，得x=2或x=m-1，
则当x∈(0，4)时，恒有f'(x)≥0，①
当m-1>2时，①式的解为x≤2或x≥m-1，
显然当x∈(0，4)时，①式不恒成立；
当m-10的解集是{x|x>a且x≠a+1}，则函数f(x)=x3+bx2+cx+d的极大值为 .
答案 427
解析 因为原不等式的解集是{x|x>a且x≠a+1}，
故x=a，x=a+1为f(x)=x3+bx2+cx+d的零点，
且f(x)=(x-a)[x-(a+1)]2，
则f'(x)=[x-(a+1)]2+2(x-a)[x-(a+1)]=[x-(a+1)](3x-3a-1)，
令f'(x)>0，得xa+1；
令f'(x)0
a0
Δ≤0
Δ>0
Δ≤0
图象
f'(x)
f(x)