2027年高考数学一轮复习第四章　§4.2　三角恒等变换学案含解析

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1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α-β)：cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β.
(2)公式C(α+β)：cs(α+β)=cs αcs β-sin αsin β.
(3)公式S(α-β)：sin(α-β)=sin αcs β-cs αsin β.
(4)公式S(α+β)：sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β.
(5)公式T(α-β)：tan(α-β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ.
(6)公式T(α+β)：tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ.
2.辅助角公式
asin α+bcs α=a2+b2sin(α+φ)，其中sin φ=ba2+b2，cs φ=aa2+b2.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α=2sin αcs α.
(2)公式C2α：cs 2α=cs2α-sin2α=2cs2α-1=1-2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α=2tanα1−tan2α.
4.半角公式(不要求记忆)
sinα2=±1−csα2；csα2=±1+csα2；tanα2=±1−csα1+csα.符号由α2所在象限决定.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两角和与差的公式及二倍角公式的适用范围是任意角. ( × )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立. ( √ )
(3)对于任意角α，sin 2α=2sin α都不成立. ( × )
(4)cs2α2=12(1+cs α)，cs 3α=1-2sin23α2. ( √ )
2.sin 24°cs 36°+sin 66°cs 54°等于( )
A.-32B.32C.-12D.12
答案 B
解析 sin 24°cs 36°+sin 66°cs 54°
=sin 24°cs 36°+cs 24°sin 36°
=sin(24°+36°)=sin 60°=32.
3.sin2π8-cs2π8等于( )
A.-22B.-24C.24D.22
答案 A
解析 由二倍角的余弦公式可得，cs2π8-sin2π8=cs2×π8=csπ4=22，
∴sin2π8-cs2π8=-22.
4.若2cs α-sin α=0，则tanα−π4= ；tan 2α= .
答案 13 -43
解析 因为2cs α-sin α=0，
则sin α=2cs α，故tan α=2，
所以tanα−π4=tanα−tanπ41+tanαtanπ4=2−11+2=13，
tan 2α=2tanα1−tan2α=2×21−4=-43.
1.熟记公式的常用变形
(1)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).
(2)1±sin α=sinα2±csα22.(升幂公式)
(3)1-cs α=2sin2α2，1+cs α=2cs2α2.(升幂公式)
(4)sin2α=1−cs2α2，cs2α=1+cs2α2，tan2α=1−cs2α1+cs2α.(降幂公式)
(5)半角正切公式的有理化
tanα2=sinα1+csα=1−csαsinα.
(6)万能公式
sin α=2tanα21+tan2α2，cs α=1−tan2α21+tan2α2，tan α=2tanα21−tan2α2.
2.谨防两个易误点
(1)运用公式时要注意公式成立的条件.
(2)在求角的三角函数值时，往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一.
题型一 三角恒等变换基本公式
命题点1 两角和与差的正余弦与正切
例1 (2025·新余模拟)已知sin(α+β)=23，cs(α-β)=13，则sinα+π4sinβ+π4等于( )
A.12B.22C.13D.33
答案 A
解析 因为sinα+π4=sin αcsπ4+cs αsinπ4=22(sin α+cs α)，
sinβ+π4=sin βcsπ4+cs βsinπ4
=22(sin β+cs β)，
所以sinα+π4sinβ+π4
=12(sin α+cs α)(sin β+cs β)
=12(sin αsin β+sin αcs β+cs αsin β+cs αcs β)
=12[sin(α+β)+cs(α-β)]
=12×23+13
=12.
命题点2 二倍角公式的应用
例2 已知α∈0，π2，3sin 2α=cs 2α+1，则tan 2α等于( )
A.2B.3C.34D.43
答案 C
解析 由3sin 2α=cs 2α+1，
得6sin αcs α=2cs2α，
而α∈0，π2，即cs α>0，则tan α=13，
所以tan 2α=2tanα1−tan2α=2×131−132=34.
命题点3 辅助角公式
例3 已知函数f(x)=3sin x+4cs x.若x=θ时，f(x)取得最大值，则csθ+π4等于( )
A.7210B.-7210C.210D.-210
答案 C
解析 f(x)=3sin x+4cs x=5sin(x+φ)，其中sin φ=45，cs φ=35，
∵当x=θ时，f(x)取得最大值，∴θ+φ=π2+2kπ，k∈Z，即θ=π2+2kπ-φ，k∈Z，
∴csθ+π4=csπ2+2kπ−φ+π4
=cs3π4−φ=cs3π4cs φ+sin3π4sin φ
=-22×35+22×45=210.
思维升华 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；对asin x+bcs x化简时，要清楚如何求辅助角φ的值.
(2)三角函数式的化简，一是要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征；二是要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点.
跟踪训练1 (1)(2026·南昌模拟)化简tan 35°+tan 100°+tan 35°tan 80°等于( )
A.tan 65°B.-tan 65°
C.1D.-1
答案 D
解析 由两角和的正切公式得tan 35°+tan 100°=tan(100°+35°)(1-tan 35°tan 100°)
=tan 135°(1-tan 35°tan 100°)=-1×(1-tan 35°tan 100°)=tan 35°tan 100°-1，
由诱导公式得tan 80°=tan(180°-100°)=-tan 100°，
则原式=tan 35°tan 100°-1-tan 35°tan 100°=-1.
(2)(2025·全国Ⅱ卷)已知0