2027年高考数学一轮复习第三章　进阶篇　不等式的证明方法　进阶2　指对放缩学案含解析

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题型一 指对切线放缩
常见的指对切线放缩
例1 证明下列不等式：
(1)ex>2x+ln x；
(2)ex-ln(x+2)>0.
证明 (1)方法一 易知ex≥ex，
要证ex>2x+ln x，
可证ex>2x+ln x，
设f(x)=ex-2x-ln x(x>0)，
则f'(x)=(e−2)x−1x，
当00，
所以f(x)在0，1e−2上单调递减，在1e−2，+∞上单调递增，
所以f(x)min=f 1e−2=1+ln(e-2)=ln[e( e-2)]>0，
所以f(x)>0，即 ex>2x+ln x，
故原不等式得证.
方法二 易知ln x≤x-1，
要证ex>2x+ln x，
即证ex-2x-ln x>0，
可证ex-2x-(x-1)>0，
即证ex-3x+1>0，
设f(x)=ex-3x+1(x>0)，
则f'(x)=ex-3，
当00，
所以f(x)在(0，ln 3)上单调递减，在(ln 3，+∞)上单调递增，
所以f(x)min=f(ln 3)=4-3ln 3=lne427>0，
所以f(x)>0，即 ex-2x-(x-1)>0，
故原不等式得证.
方法三 易知ex≥ex，ln x≤xe，
要证ex>2x+ln x，
可证ex≥ex>2x+xe≥2x+ln x(x>0)，
即证ex>2x+xe(x>0)，
设f(x)=ex-2x+xe，x>0，
则f(x)=e−2−1ex>0，
即ex>2x+xe(x>0)，
故原不等式得证.
(2)要证ex-ln(x+2)>0，
即证ex>ln(x+2)，
又ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立，
令t=x+2，则ln(x+2)=ln t≤t-1=x+1，
即ln(x+2)≤x+1，当且仅当x=-1时等号成立，
故ex≥x+1≥ln(x+2)，等号成立的条件不一致，则ex>ln(x+2)，结论得证.
思维升华 当要证明的不等式中既含有ex，又含有ln x时，一般形象地称之为指对共生式，这类问题直接构造差函数进行研究可能会较为困难，突破这一困难一般采用指对放缩、分离双函数、同构等技巧.
跟踪训练1 (1)当x>0时，证明：ex2-xln x0时，ex2-xln x0，不等式xe2x-kx-ln x-1≥0恒成立，求实数k的取值范围.
解 由题意知对任意的x>0，不等式xe2x-kx-ln x-1≥0恒成立，
即k≤xe2x−(lnx+1)x恒成立，
设f(x)=xe2x−(lnx+1)x(x>0)，
则f(x)=e2x+lnx−(lnx+1)x(x>0)，
由ex≥x+1(当且仅当x=0时等号成立)，
易知e2x+ln x≥2x+ln x+1(当且仅当2x+ln x=0时等号成立)，
所以f(x)≥2x+lnx+1−(lnx+1)x=2，
当且仅当2x+ln x=0时等号成立，
所以k≤2.
故实数k的取值范围为(-∞，2].
题型二 指对增强放缩(曲线放缩)
1.与ex相关的增强放缩
(1)ex≥x+1ex≥1+x+x22(x≥0)ex=1+x1！+x22！+x33！+…+xnn！+(xn)(泰勒展开式).
(2)ex≥exex≥ex+(x-1)2(x≥0).
(3)通过变换得到的其他不等式
把ex≥x+1中的x换成ln x，可得ln x≤x-1.
把ex≥x+1中的x换成x-1，可得ex≥ex.
把ex≥x+1中的x换成-x，可得e-x≥-x+1，取倒数后可得ex≤11−x(x0，因为ex≥ex+(x-1)2，
所以要证ex+1x≥2-ln x+x2+(e-2)x，
只需证ex+(x-1)2+1x≥2-ln x+x2+(e-2)x，
即证ln1x≤1x-1，
令t=1x(t>0)，即证ln t≤t-1，显然成立.
结论得证.
(2)设函数f(x)=exln x+2ex−1x，证明：f(x)>1.
证明 方法一 f(x)>1等价于exlnx+2ex>1.
由于ln x≤xe(当且仅当x=e时等号成立)，
所以ln1x≤1ex，即-ln x≤1ex，即ln x≥-1ex
当且仅当x=1e时等号成立，
又ex≥ex(当且仅当x=1时等号成立)，
所以exlnx+2ex≥exlnx+2ex
≥ex−1ex+2ex=1，
又因为等号成立的条件不一致，所以exlnx+2ex>1，
所以f(x)>1.
方法二 由题意知x>0，
所以f(x)>1等价于xexln x+2ex-1>x，
即xln x>xe-x-2e.
设函数g(x)=xln x(x>0)，
则g'(x)=1+ln x.
又当x∈0，1e时，g'(x)h(x)恒成立，即f(x)>1.
思维升华 利用导数证明不等式时，曲线放缩是一种重要的技巧，它通过构造或选择已知的不等式(曲线函数)来逼近原函数，从而简化证明.
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)=xln x-ax+1.当x>0时f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为 .
答案 (-∞，1]
解析 由当x>0时，f(x)≥0恒成立，可得ln x≥a-1x恒成立，
又因为ln x≥1-1x，
当a≤1时，a-1x≤1-1x，
所以ln x≥a-1x恒成立，
当a>1时，取x=1，则ln 1≥a-11，即a≤1，矛盾，
综上，实数a的取值范围为(-∞，1].
(2)证明：对任意x>0，不等式ex+x2-(e+1)x+ex>2成立.
证明 因为ex≥ex，
所以只需证ex+x2-(e+1)x+ex>2成立，
即证x2-x+ex>2成立，
即证x2-2x+1+x+ex-1>2成立，
即证(x-1)2+x+ex>3成立，
由基本不等式得x+ex≥2e，
当且仅当x=e时等号成立，
而2e>3，(x-1)2≥0，故原不等式成立，
结论得证.
飘带不等式
在进行放缩的时候，转化的本质就是把曲线转化为直线进行简化运算，即用直线代替曲线，在切点处曲线可以近似地用直线代替，但是随着x的变化，直线与曲线的差距越来越大，放缩的精度越来越粗糙，所以有时采用曲线来代替直线.
12x−1x0，f'(x)>0；
当x∈(x0，+∞)时，m(x)1，即a>12时，令h'(x)=0，解得x=ln 2a，在[0，ln 2a)上，h'(x)x+x22=x2+2x2，
要证(ex-1)ln(x+1)>x2(x>0)，
只需证明ex-1>x2ln(x+1)(x>0)，
只需证明x2+2x2>x2ln(x+1)(x>0)，
只需证ln(x+1)>2xx+2(x>0)，
设F(x)=ln(x+1)-2xx+2，
则F'(x)=1x+1-4(x+2)2=x2(x+1)(x+2)2，
∴当x>0时，F'(x)>0恒成立，
故F(x)在(0，+∞)上单调递增，
又F(0)=0，
∴当x>0时，F(x)>0恒成立.
∴原不等式成立.
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