专题20 放缩证明数列不等式 讲义-2025届高三数学二轮复习 含答案

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在证明数列不等式问题中，有些数列可通过求和后再利用数列有关性质进行放缩求证不等式，有些数列不能用常规求和方法直接求和，我们可以通过将不规则或不能求和的数列放缩变为可求和的数列，从而达到证明的目的.

题型一：先求和再证明不等式
常见的数列求和再放缩的通项公式特点：
① 等比数列求和公式：Sn=a1qn−1q−1q≠1，an=k∙qn（关于n的指数类函数）；
② 错位相减：通项公式为“等差等比”的形式；
③ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项.
例1设{an}是首项为1的等比数列,数列{bn}满足bn=nan3.已知a1,3a2,9a3成等差数列．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)记Sn和Tn别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn