【最新】2023版高中高考数学二轮专题复习微专题12　数列中的不等式证明及放缩问题

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数列不等式证明问题的常见放缩技巧
(1)对eq \f(1,n2)的放缩，根据不同的要求，大致有三种情况(下列n∈N*)：
eq \f(1,n2)＜eq \f(1,n2－n)＝eq \f(1,n－1)－eq \f(1,n)(n≥2)；
eq \f(1,n2)＜eq \f(1,n2－1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)))(n≥2)；
eq \f(1,n2)＜eq \f(1,n2－\f(1,4))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))(n≥1).
(2)对eq \f(1,2\r(n))的放缩，根据不同的要求，大致有两种情况(下列n∈N*)：
eq \f(1,2\r(n))＞eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n)(n≥1)；
eq \f(1,2\r(n))＜eq \f(1,\r(n)＋\r(n－1))＝eq \r(n)－eq \r(n－1)(n≥1).
类型一 关于数列项的不等式证明
(1)结合“累加”“累乘”“迭代”放缩；(2)利用二项式定理放缩；(3)利用基本不等式或不等式的性质；(4)转化为求最值、值域问题.
例1 设正项数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋eq \f(1,an)(n∈N*).
求证：(1)2