2027年高考数学一轮复习第三章　进阶篇　不等式的证明方法　进阶4　极值点偏移(二)学案含解析

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例1 已知函数f(x)=x2ln x，若方程f(x)=m有两个不相等的实根x1，x2，求证：x12+x22>2e.
证明 (换元法)
令a=x12，b=x22，则f(x1)=f(x2)，
即x12ln x1=x22ln x2，
所以x12ln x12=x22ln x22，
所以aln a=bln b，
设函数g(x)=xln x，则g(a)=g(b)，
g'(x)=ln x+1，所以g'(x)>0⇔x>1e，
g'(x)0，
所以h(t)在(1，+∞)上单调递增，
所以h(t)>h(1)=0，
即有ln t>2(t−1)t+1(t>1)恒成立，
所以1x1+1x2>2a得证.
题型二 比值代换
例2 已知函数f(x)=xe-x(x∈R).如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，证明：
(1)x1+x2>2；
(2)x1x21，所以h'(t)>0恒成立，
所以h(t)在(1，+∞)上单调递增，h(t)>h(1)=ln 1-3×(1−1)1+2×1=0，
即ln t>3(t−1)1+2t，所以原不等式成立，
即ln x1+2ln x2>3.
课时精练
[分值：34分]
1.(17分)已知函数f(x)=ax2-(ln x)2(a∈R).若f(x)有两个极值点x1，x2.求证：x1x2>e.
证明 因为函数f(x)=ax2-(ln x)2，
可得f'(x)=2ax-2lnxx，
若f(x)有两个极值点x1，x2，
则函数f'(x)有两个零点x1，x2，
所以2ax12=ln x12，2ax22=ln x22，
令t1=x12，t2=x22，
则等价于关于t的方程2at=ln t有两个不相等的实数根t1，t2，
只需证明t1t2>e2，
不妨令t1>t2，由2at1=ln t1，2at2=ln t2得2a=ln t1−ln t2t1−t2，
要证t1t2>e2，只需证明ln t1+ln t2>2，
即证ln t1+ln t2=2a(t1+t2)
=(t1+t2)·ln t1−ln t2t1−t2>2，
即证ln t1-ln t2>2(t1−t2)t1+t2，
即证lnt1t2>2t1t2−1t1t2+1，
令m=t1t2，则m>1，
只需证明ln m>2(m−1)m+1(m>1)，
由飘带不等式知，ln m>2(m−1)m+1(m>1)成立，
则t1t2>e2成立，故x1x2>e得证.
2.(17分)(2025·昆明模拟)设a，b为函数f(x)=xex-m(m2e.(11分)
(1)解 f(x)的定义域为R，f'(x)=(x+1)ex，
当x∈(-∞，-1)时，f'(x)