新高考数学一轮复习考点分层练习第3章进阶篇不等式证明方法进阶1指对放缩（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点分层练习第3章进阶篇不等式证明方法进阶1指对放缩（含答案解析），共8页。试卷主要包含了已知函数f=ex等内容，欢迎下载使用。
分值：34分
1.(17分)已知函数f(x)=ex.
(1)讨论函数g(x)=f(ax)-x-a的单调性；(8分)
(2)证明：f(x)+ln x+3x>4x.(9分)
2.(17分)已知函数f(x)=ex-1-x-ax2.
(1)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(8分)
(2)若x>0，证明：(ex-1)ln(x+1)>x2.(9分)
答案精析
1.(1)解 g(x)=f(ax)-x-a=eax-x-a，g'(x)=aeax-1，
①若a≤0，g'(x)0，当x0，g(x)单调递增.
综上，当a≤0时，g(x)在R上单调递减；当a>0时，g(x)在−∞，−1alna上单调递减，在−1alna，+∞上单调递增.
(2)证明 要证f(x)+ln x+3x>4x，
只需证x(ln x+ex)-4x+3>0，x>0，
由(1)可知，当a=1时，ex-x-1≥0，
即ex≥x+1，等号成立的充要条件为x=0.
当x+1>0时，上式两边取以e为底的对数，
可得ln(x+1)≤x(x>-1)，
用x-1代替x可得ln x≤x-1(x>0)，
又可得ln1x≤1x-1(x>0)，
所以ln x≥1-1x(x>0)，
等号成立的充要条件为x=1.
所以x(ln x+ex)-4x+3
>x1−1x+x+1+3-4x
=x2+2x+2-4x=(x+1)2-4x+1≥(2x)2-4x+1
=(2x-1)2≥0，
从而不等式f(x)+ln x+3x>4x成立.
2.(1)解 由条件得f'(x)=ex-1-2ax，
令h(x)=ex-1-2ax，
则h'(x)=ex-2a.
①当2a≤1，即a≤12时，在[0，+∞)上，h'(x)≥0，h(x)单调递增，
∴h(x)≥h(0)，即f'(x)≥f'(0)=0，
∴f(x)在[0，+∞)上单调递增，
∴f(x)≥f(0)=0，
∴当a≤12时满足条件；
②当2a>1，即a>12时，令h'(x)=0，
解得x=ln 2a，在[0，ln 2a)上，h'(x)x+x22=x2+2x2，
要证不等式(ex-1)ln(x+1)>x2，
只需证明ex-1>x2ln(x+1)，
只需证明x2+2x2>x2ln(x+1)，
只需证ln(x+1)>2xx+2，
设F(x)=ln(x+1)-2xx+2，
则F'(x)=1x+1-4(x+2)2
=x2(x+1)(x+2)2，
∴当x>0时，F'(x)>0恒成立，
故F(x)在(0，+∞)上单调递增，
又F(0)=0，
∴当x>0时，F(x)>0恒成立.
∴原不等式成立.