2027年高考数学一轮复习第三章　进阶篇　不等式恒(能)成立问题　进阶1　参数全分离学案含解析

这是一份2027年高考数学一轮复习第三章　进阶篇　不等式恒(能)成立问题　进阶1　参数全分离学案含解析，共6页。
重点解读 将两个变量构成的不等式(或方程)变形，使不等号(或等号)两端的变量各自相同，是解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量其中一个范围已知，另一个范围未知.解决问题的关键：分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域问题.
题型一 参数全分离
例1 (2025·安庆模拟)已知函数f(x)=ex-ax2，a∈R，f'(x)为函数f(x)的导函数.
(1)讨论函数f'(x)的单调性；
(2)若任意x∈(0，1)，f(x)+f'(x)0时，令g'(x)>0，得到x∈(ln 2a，+∞)，
令g'(x)0时，f'(x)在(-∞，ln 2a)上单调递减，在(ln 2a，+∞)上单调递增.
(2)由(1)得f'(x)=ex-2ax，
因为对于任意x∈(0，1)，f(x)+f'(x)0，
得到u(x)在(0，1)上单调递增，
即u(x)>u(0)=0，
故h'(x)>0，h(x)在(0，1)上单调递增，
即h(x)0，求a的取值范围.
解 (1)当a=2时，f(x)=ln x-2(x+1)，
所以f(1)=-4，f'(x)=1x-2，
所以切线斜率k=f'(1)=-1，
所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为y-(-4)=-1×(x-1)，即x+y+3=0.
(2)因为∃x0∈(0，2]，使得f(x0)>0，
即ln x0-a(x0+1)>0，
所以a0)，
则φ'(x)=1x+1x2=1+xx2>0，
所以φ(x)(即f'(x))在(0，+∞)上单调递增，
又f'(1)=-10，
所以f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增，
所以函数f(x)有且只有一个极值点x0.
(2)解 xf'(x)-f(x)≤-3-mxex恒成立，
即(xln x-1)-(xln x-x-ln x+1)≤-3-mxex恒成立，
即ln x+x+1≤-mxex恒成立，
即ln(xex)+1≤-mxex恒成立.
令t=xex，因为x>0，
所以t>0，则ln t+1≤-mt，
所以-m≥lnt+1t，
令g(t)=lnt+1t(t>0)，
则g'(t)=−lntt2，
令g'(t)1，令g'(t)>0，得0ax−ex+1+ax+1恒成立，求实数a的取值范围.
解 (1)f(x)=aln(x+1)-ax的定义域为(-1，+∞)，
f'(x)=ax+1-a=−axx+1，
①当a>0时，令f'(x)>0，得-10，得x>0，此时f(x)单调递增，
令f'(x)-ex+1x+1对x>-1恒成立，
即a[(x+1)-ln(x+1)]-1恒成立，
则at0)，
则h'(x)=-1x-4x0时，令f'(x)0，得t>1，
所以g(t)min=g(1)=0，
所以t-1-ln t≥0，
当且仅当t=1时，等号成立.
取t=x3e2x，则x3e2x-1-ln(x3e2x)≥0，
即x3e2x-3ln x-1≥2x，
所以x3e2x−3lnx−1x≥2.
设h(x)=x3e2x(x>0)，
则h'(x)=(3x2+2x3)e2x>0，h(x)在(0，+∞)上单调递增，
因为h(0)=01，
所以方程x3e2x=1必有解，
所以当且仅当x3e2x=1时，
函数y=x3e2x−3lnx−1x(x>0)取得最小值，且最小值为2，
所以m≤2，即m的取值范围为(-∞，2].
方法二 (同构法)
x3e2x−3lnx−1x
=e3lnx+2x−3lnx−1x
≥3lnx+2x+1−3lnx−1x=2，
等号成立的充要条件是3ln x+2x=0，
令φ(x)=3ln x+2x，
易知φ(x)在(0，+∞)上单调递增，
由φ1e=-3+2e0知，3ln x+2x=0必有解，
故m≤2，即m的取值范围为(-∞，2].
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