小学数学北师大版（2024）五年级上册（2024）寻找质数优秀精练

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本课核心问题
怎样在百数表中又快又全地找出1~100中的所有质数？
一、学习目标
1. 能说出筛法找质数的完整步骤：划掉1、划掉2的倍数（2除外）、划掉3的倍数、划掉5的倍数，并检查是否找全
2. 理解“筛去1和合数，剩下的便是质数”的道理，知道划掉某质数的倍数时该质数本身要保留（如2要除外）
3. 能独立用筛法在百数表中找全1~100的质数，并说出为什么49、77、91等数也要筛去
二、重点
• 筛法步骤：划掉1→划掉2的倍数（2除外）→划掉3的倍数→划掉5的倍数→检查是否找全
• 筛法原理：筛去1和合数，剩下的便是质数
三、难点
• 划掉倍数时保留质数本身（尤其是“2要除外”），并在筛完后检查是否找全，防止漏划49、77、91等7的倍数
学习支架
百数表（1~100，★表示质数）
筛法五步
1. 先划掉1
2. 划掉2的倍数（2除外）
3. 划掉3的倍数（3除外）
4. 还要划掉5的倍数（5除外）
5. 做完检查是否找全
筛法易错对比
四、知识要点
1. 在百数表中找质数
1~100这100个数整整齐齐地排在百数表里，其中藏着所有的质数。怎样找出1~100中的所有质数呢？思路一：可以一个数一个数地试，用质数的定义逐个判断：质数只有1和它本身两个因数。思路二：在百数表中先划掉2、3、5的倍数，剩下的大多数数再逐个判断，工作量小得多。两种思路都可以，本课重点学习思路二——筛选法。
2. 筛选法的步骤
筛选法按下面的步骤操作：第一步：先划掉1。1既不是质数也不是合数。第二步：划掉2的倍数，但2要除外。2是质数，要保留。第三步：划掉3的倍数，3本身保留。第四步：还要划掉5的倍数，5本身保留。第五步：做完要检查一下是否找全了。例如49、77、91不是2、3、5的倍数，但它们分别是7的倍数，也要划去；再把剩下没划的数逐个核对因数。关键结论：划去某个质数的倍数时，这个质数本身要保留；筛完必须检查，防止漏划。
3. 筛选法的原理
筛法为什么可靠？它的道理是：1~100中的每一个数，要么是质数，要么是合数（1比较特殊，既不是质数也不是合数）。把1和所有的合数都筛去后，剩下的便都是质数了。筛法像筛子一样：筛子把细小的米粒筛下去，把大的石子留在筛面上；筛法把1和合数筛出去，把质数留在表里。关键结论：筛去1和合数，剩下的便是质数。
4. 你知道吗：埃拉托色尼的筛子
上面寻找质数的方法，是两千多年前希腊数学家埃拉托色尼（Eratsthenes）发明的。它好像一个筛子，把1和合数筛去后，剩下的便是质数了。后人把这个方法称为埃拉托斯特尼筛法。直到今天，人们寻找质数时还会用到筛法的思想。
五、典型例题
【例1】
在百数表中用筛选法找出1~100中的所有质数，并把筛选过程写下来。
【解答】① 先划掉1：1既不是质数也不是合数；② 划掉2的倍数，但2要除外：划去4、6、8、10……100；③ 划掉3的倍数，3保留：划去9、15、21、27……99；④ 还要划掉5的倍数，5保留：划去25、35、45、55、65、75、85、95；⑤ 检查是否找全：49、77、91不是2、3、5的倍数，但它们分别是7的倍数（49=7×7，77=7×11，91=7×13），还要划去；⑥ 剩下的数都是质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。
【点拨】划掉某个质数的倍数时，这个质数本身要保留（2、3、5、7都留下）；筛完要按“检查是否找全”的要求，找出还留在表里的合数（如7的倍数），再核对一遍剩下的数。
【例2】
下面的做法对吗？如果不对，请改正。（1）小华说：“1也是质数，我把它圈出来了。”
（2）小丽划掉2的倍数时，把2也划掉了。（3）小刚划完2、3、5的倍数就宣布找全了。
【解答】（1）不对。质数只有1和它本身两个因数，1只有1个因数，既不是质数也不是合数。改正：先把1划掉。（2）不对。2只有1和2两个因数，是质数，而且是唯一的偶质数。改正：划掉2的倍数时，2要除外。（3）不对。做完要检查一下是否找全了：49、77、91不是2、3、5的倍数，却分别是7的倍数，不划去它们就找不全。改正：检查并划去7的倍数，再核对剩下的数。
【点拨】记住筛法三句口诀：先划1，倍数划去质数留，做完检查找全没。三个易错点——把1当质数、把质数本身当倍数划掉、划完不检查——正好对应这三句。
同 步 练 习
我的筛选记录表
★ 基础巩固
1. 用筛选法找质数，第一步先划掉（________），因为1既不是（________）也不是（________）。
2. 划掉2的倍数时，2要（________）。因为2只有1和（________）两个因数，是质数。
3. 在1~100中划掉2的倍数（2除外），一共要划掉（________）个数。
4. 1是质数。（ ）
5. 划掉3的倍数时，3本身也要划掉。（ ）
6. 2是最小的质数。（ ）
7. 用筛选法筛完1~100后，剩下的最小质数是（________），最大质数是（________）。
8. 划完2、3、5的倍数（本身除外）后，剩下的就一定是质数，不需要再检查。（ ）
9. 你知道吗：寻找质数的筛法，是两千多年前希腊数学家埃拉托色尼发明的。（ ）
★★ 能力提升
10. 用筛选法找1~100的质数，先划掉1，再划掉2的倍数（2除外）。下面各数中，最先被划掉的是（________）。
A. 3 B. 4
C. 5 D. 7
11. 按筛选法的顺序填写筛选记录表：第一步划掉什么，第二步划掉什么……把划掉的数和保留的数分别填在表中。
筛选记录表
12. 用筛选法在1~50中找质数：先划掉1，再划掉2、3、5的倍数（本身除外）。检查：还有没有需要再划去的数？1~50中一共有多少个质数？把它们写出来。
13. 判断87、91、97这三个数哪些是质数，哪些是合数，并用筛选法的道理说明理由。
14. 小明划完2、3、5的倍数（本身除外）后宣布“找全了”。他漏掉了哪几个合数？为什么？
★★★ 拓展延伸
15. 小红说：“划掉1和2、3、5、7的倍数（本身除外）后，1~100中剩下的就全是质数，不用再检查了。”请检查剩下的数，写出1~100中的全部质数，并说明22、33、44、55、66、77、88、99这些11的倍数为什么不用再单独划。
16. 体育老师把1~40号号码牌发给同学，要求按号码从小到大把所有质数号码发给“质数队”。请用筛选法写出你的筛选过程（划掉哪些数、留下哪些数），并写出质数队队员的号码。
17. 小刚说：“筛法中1直接划掉就行，不用管它为什么。”小丽说：“要明白1为什么既不是质数也不是合数。”你同意谁？请写出至少2条理由说明：筛法中为什么必须先把1划掉。
参 考 答 案
第1题：1；质数；合数
【解析】1只有1个因数1，不符合质数（只有1和它本身两个因数）和合数（除了1和它本身还有别的因数）的定义，所以要先划掉1。[错因:理解]
第2题：除外；2
【解析】2的因数是1和2，只有两个因数，所以2是质数。划掉2的倍数（4、6、8……）时，2本身不能划掉。[错因:知识]
第3题：49
【解析】1~100中2的倍数有100÷2=50个，其中2本身要保留，所以划掉50-1=49个。[错因:计算]
第4题：×
【解析】判断依据：只有1和它本身两个因数的数是质数；1只有1个因数，既不是质数也不是合数，筛法中要先划掉它。[错因:理解]
第5题：×
【解析】划掉的是3的倍数（6、9、12……），3本身只有1和3两个因数，是质数，要保留。[错因:理解]
第6题：√
【解析】判断依据：2只有1和2两个因数，是质数；1既不是质数也不是合数，所以2是最小的质数。[错因:知识]
第7题：2；97
【解析】筛去1和所有合数后，剩下的质数中最小的是2，最大的是97。97不是2、3、5、7的倍数，是质数。[错因:计算]
第8题：×
【解析】还要检查是否找全：49、77、91不是2、3、5的倍数，却是7的倍数，不划掉它们就找不全。[错因:方法]
第9题：√
【解析】教材“你知道吗”栏目介绍了这个知识：筛法是两千多年前希腊数学家埃拉托色尼发明的，它好像一个筛子。[错因:知识]
第10题：B
【解析】3、5、7都是质数，要保留；4是2的倍数（2除外）中最小的一个，最先被划掉。[错因:方法]
第11题：第1步：划掉1；第2步：划掉2的倍数（2除外）；第3步：划掉3的倍数（3除外）；第4步：划掉5的倍数（5除外）；检查：还要划去49、77、91等7的倍数。
【解析】记录时要写清“哪一步划谁的倍数”，并注意质数本身（2、3、5、7）都要保留。[错因:方法]
第12题：15个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47。检查时发现49是7的倍数，还需要划去。
【解析】划掉1和2、3、5的倍数（本身除外）后，49还留在表里，而49=7×7，是合数，所以要检查出来并划去；剩下的15个数都是质数。[错因:方法]
第13题：97是质数，87和91是合数。理由：87是3的倍数（87=3×29）；91是7的倍数（91=7×13）；97不是2、3、5、7的倍数，所以是质数。
【解析】判断时依次检查它是不是2、3、5、7的倍数：87的各位数字和是15，是3的倍数；91=7×13；97是奇数，各位数字和是16，不是3的倍数，也不是5、7的倍数，所以是质数。[错因:方法]
第14题：3个：49、77、91。它们都不是2、3、5的倍数，但分别是7的倍数（49=7×7，77=7×11，91=7×13），划完2、3、5的倍数后它们还留在表里，所以漏掉了。
【解析】漏划的原因是划完后没有检查：49、77、91都是奇数，不是2的倍数；各位数字和都不是3的倍数；个位不是0或5，不是5的倍数；但它们都是7的倍数，必须检查出来并划去。[错因:方法]
第15题：25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。这些数都不是2、3、5、7的倍数，所以都是质数；22、33、44、55、66、77、88、99分别也是2、3、5、7的倍数，划这些倍数时已经被划掉了，不用再单独划11的倍数。
【解析】1~100中任意一个合数都一定有一个不大于10的质因数（2、3、5、7中的某一个），所以把它们四类倍数划干净后，剩下的数不可能是合数；11的倍数（11除外）如22、33、44、55、66、77、88、99都已被划过。检查时逐个数核对因数，就能确认找全。[错因:方法]
第16题：12个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37。筛选过程：先划掉1；划掉2的倍数（2除外）；划掉3的倍数（3除外）；划掉5的倍数（5除外）；检查：7的倍数14、21、28、35在前几步都已被划掉，剩下的都是质数。
【解析】筛选过程要写清“划谁的倍数、本身保留”，最后检查7的倍数（14、21、28、35）是否都在前几步被划掉，确认找全。[错因:方法]
第17题：2条理由：①1只有1个因数1，不符合质数的定义（只有1和它本身两个因数），也不符合合数的定义（除了1和它本身还有别的因数），所以1既不是质数也不是合数；②筛选法的原理是“筛去1和合数，剩下的便是质数”，不把1筛去，剩下的数里就会混进不是质数的1。
【解析】这是一道说理题，重在把“1的特殊性”与“筛法原理”联系起来：先理解1为什么既不是质数也不是合数，再说筛法为什么要单独处理它。理由的顺序和用词可以不同，道理说通即可。[错因:理解]一
二
三
四
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六
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98
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100
错误做法
正确做法
把1圈进质数里；划2的倍数时把2也划掉；划完2、3、5的倍数就不检查
先划掉1；倍数划去、质数本身保留（2要除外）；做完检查是否找全
筛选步骤
划掉的数
保留的数
步骤
划掉的数
保留的数