初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）22.3 相似三角形的性质第2课时教学设计

这是一份初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）22.3 相似三角形的性质第2课时教学设计教案主要包含了教学目标，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。
1.理解并初步掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积的比等于相似比的平方；(重点)
2.相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
如图所示是一个三角形的花坛，要在上面种满花草，园丁沿与AB平行的方向画一条直线，将花坛分割出一片三角形地块，测出△CDE的面积为10平方米，CE长为4m，AE长为6m.根据所测得的数据，请你计算出整个花坛△ABC的面积.

二、合作探究
探究点一：相似三角形的周长比
已知△ABC∽△A′B′C′，AD是△ABC的中线，A′D′是△A′B′C′的中线，若eq \f(AD,A′D′)＝eq \f(1,2)，且△A′B′C′的周长为20cm，求△ABC的周长.
解：因为△ABC∽△A′B′C′，所以它们周长的比等于它们的相似比，对应边中线的比等于相似比，即相似比k＝eq \f(AD,A′D′)＝eq \f(1,2)，eq \f(△ABC的周长,△A′B′C′的周长)＝eq \f(1,2).
已知△A′B′C′的周长为20cm，所以△ABC的周长为10cm.
易错提醒：在相似表达式△ABC∽△A′B′C′及对应中线比eq \f(AD,A′D′)＝eq \f(1,2)中，都是△ABC在前，△A′B′C′在后，而在解题时，△A′B′C′在前，△ABC在后，顺序已经不同了，所以相似比要随之调整或者直接把相关量代入关系式中求解.
探究点二：相似三角形的面积比
如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF.若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.
解：∵CF平分∠ACB，DC＝AC，∴CF是△ACD的中线，F是AD的中点.∵点E是AB的中点，∴EF∥BD，且eq \f(EF,BD)＝eq \f(1,2).∴△AEF∽△ABD.∴eq \f(S△AEF,S△ABD)＝(eq \f(1,2))2＝eq \f(1,4).∵S△AEF＝S△ABD－S四边形BDFE＝S△ABD－6，∴eq \f(S△ABD－6,S△ABD)＝eq \f(1,4)，∴S△ABD＝8，即△ABD的面积为8.
易错提醒：在运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质时，同样要注意是对应三角形的面积比.在本题中不要犯由EF∶BD＝1∶2得S△AEF∶S△ABD＝1∶2，或S△AEF∶S四边形BDFE＝1∶2的错误.
探究点三：相似三角形性质定理的应用
某小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底长分别为10m，20m的梯形空地上种植花木.
(1)他们在△AMD和△CMB地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后，共花了160元，请计算种满△CMB地带所需的费用；
(2)若其余地带有玫瑰和茉莉两种花可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，则应选择种哪种花可以刚好用完所筹集的资金？
解：(1)∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥BC，∴△AMD∽△CMB.∴eq \f(S△AMD,S△CMB)＝(eq \f(AD,BC))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,20)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4).∵种植△AMD地带花了160元，∴S△AMD＝160÷8＝20(m2).∴S△CMB＝20×4＝80(m2).∴种满△CMB地带所需的费用为80×8＝640(元)；
(2)设△AMD的高为h1，△CMB的高为h2，梯形的高为h.∵S△AMD＝eq \f(1,2)×10h1＝20，∴h1＝4(m).∵eq \f(h1,h2)＝eq \f(1,2)，∴h2＝8(m).∴h＝h1＋h2＝4＋8＝12(m).∴S梯形ABCD＝eq \f(1,2)(AD＋BC)·h＝eq \f(1,2)×30×12＝180(m2).∴S△AMB＋S△DMC＝180－20－80＝80(m2).若种植玫瑰，共需花费160＋640＋80×12＝1760(元)；若种植茉莉，共需花费160＋640＋80×10＝1600(元).∴选择种植茉莉可以刚好用完所筹集的资金.
方法总结：(1)要求种满△CMB地带的费用，只要求出△AMD与△CMB的面积之比，然后根据相似三角形来求解即可；(2)关键是要求出梯形ABCD的面积，由(1)可求出△AMD的面积，则可求△AMD的边AD上的高，由△AMD∽△CMB可求出△CMB的边BC上的高，而梯形ABCD的高即为△AMD与△CMB的高之和，故梯形的面积可求.
【板书设计】
1.相似三角形的周长之比：相似三角形的周长比等于相似比.
2.相似三角形的面积之比：相似三角形的面积比等于相似比的平方.