初中数学28.5 弧长和扇形面积的计算精品当堂检测题

这是一份初中数学28.5 弧长和扇形面积的计算精品当堂检测题，文件包含冀教版九年级数学上册_第二十八章_第5课时_弧长和扇形面积的计算_讲义与练习_教师版docx、冀教版九年级数学上册_第二十八章_第5课时_弧长和扇形面积的计算_讲义与练习_学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。
人工补充提示
请补画圆锥立体示意图：标出顶点P、母线PA、圆锥的高PO（O为底面圆心）以及底面圆；若直接使用教材图28.5-3，请注明来源。
本课核心问题
怎样用半径和圆心角求出弧长与扇形面积？反过来，知道弧长（或面积）与半径，能求出圆心角吗？扇形围成圆锥后，它们之间又有什么关系？
一、学习目标
1. 理解扇形的定义，知道在同一个圆中扇形与圆心角的一一对应关系
2. 掌握弧长公式l=nπr180和扇形面积公式S=nπr2360=12·l·r，能正确计算弧长与扇形面积，并能由已知弧长（或面积）与半径反求圆心角
3. 理解圆锥侧面展开图是扇形，会利用“扇形半径=母线长、弧长=底面周长”求圆锥的侧面积
二、重点
• 弧长公式 l=nπr180
• 扇形面积公式 S=nπr2360=12·l·r
• 圆锥侧面展开为扇形及其对应关系
三、难点
• 区分弧长公式与扇形面积公式，防止分子、分母张冠李戴
• 圆锥侧面展开图中“扇形半径=母线、弧长=底面周长”的对应关系
学习支架
圆锥的侧面展开图（扇形半径=母线长，弧长=底面周长）
弧长公式
扇形面积公式（一）
扇形面积公式（二）
弧长与扇形面积公式对比
四、知识要点
1. 扇形的定义与圆心角的对应关系
扇形是圆的一部分：一条弧和经过这条弧端点的两条半径所组成的图形叫作扇形(sectr)。例如，由半径OA、OB和劣弧AB组成的图形是一个扇形；由半径OA、OB和优弧ACB组成的图形也是一个扇形（注意：一条弧和它的两条半径可以组成两个不同的扇形）。在同一个圆中，一个扇形对应一个圆心角；反过来，一个圆心角也对应一个扇形。因此，扇形的形状由半径r和圆心角n°两个量确定：半径决定扇形所在圆的大小，圆心角决定扇形在圆中占据的份额。
2. 弧长公式
整圆的周长C=2πr对应圆心角360°，所以1°圆心角所对的弧长是圆周长的1360，即2πr360=πr180。n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对弧长的n倍：l = nπr180。这就是弧长公式。关键结论：在半径不变时，弧长与圆心角的度数成正比；当n=360时，l=2πr，弧长等于整圆的周长，公式仍然成立。由公式还可以变形得到 n = 180l(πr)，用于已知弧长和半径反求圆心角。背景知识：圆周率π是圆的周长与直径的比值。我国古代数学家刘徽用“割圆术”求得π≈3.14，祖冲之推算出π在3.1415926与3.1415927之间。计算时，要求保留精确值就保留π；要求近似值可取π≈3.14代入。
3. 扇形面积公式
整圆的面积S=πr²对应圆心角360°，所以1°圆心角所对扇形的面积是圆面积的1360，即πr2360；n°圆心角所对扇形的面积：S = nπr2360。这就是扇形面积公式。把弧长公式代入：S = nπr2360 = (nπr180)×(r2) = 12·l·r，所以扇形面积还等于弧长与半径乘积的一半。选择建议：已知圆心角n和半径r时，用S=nπr2360；已知弧长l和半径r时，用S=12·l·r更方便。两种形式结果一致，可以互相检验。
4. 圆锥的侧面展开图
圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线叫作圆锥的母线(generating line)；圆锥的顶点与底面圆心之间的线段叫作圆锥的高。将圆锥的侧面沿一条母线剪开展开，得到的平面图形是一个扇形：扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长（2πr底）。因此圆锥的侧面积 = 扇形面积 = 12×底面周长×母线 = π·r底·l母。反过来，任何一个扇形都可以围成一个圆锥：围成时，扇形的弧长恰好成为圆锥底面圆的周长，扇形的半径成为圆锥的母线。
五、典型例题
【例1】
如图，在⊙O中，半径r=12 cm，圆心角∠AOB=120°。求弧AB的长和扇形AOB的面积（结果保留π）。
扇形：圆心角∠AOB=120°所对的弧AB
【解答】（1）求弧长：把n=120，r=12代入弧长公式：l = nπr180 = 120×π×12180
= 120×12×π180 = 8π（cm）
（2）求扇形面积：方法一：S = nπr2360 = 120×π×122360 = 120×π×144360 = 48π（cm²）
方法二：S = 12·l·r = 12×8π×12 = 48π（cm²）
两种方法结果一致，说明计算正确。答：弧AB的长为8π cm，扇形AOB的面积为48π cm²。
【点拨】解题时先明确圆心角n和半径r两个量，再代入公式；先约分再相乘（如120180=13，12与180可以约分），避免大数乘除。用S=12·l·r检验S=nπr2360的结果，能及时发现公式用错。
【例2】
一个扇形的弧长为8π cm，半径为24 cm。求这个扇形的圆心角的度数和扇形的面积。
【解答】（1）由弧长公式l = nπr180，得：n = 180l(πr) = 180×8π(24π)
= 180×824 = 60（度）
（2）求扇形面积：方法一：S = nπr2360 = 60×π×242360 = 60×π×576360 = 96π（cm²）
方法二：S = 12·l·r = 12×8π×24 = 96π（cm²）
答：这个扇形的圆心角为60°，面积为96π cm²。
【点拨】已知弧长反求圆心角时，把公式变形为n=180l(πr)，代入时π与π约去，计算量很小；求面积优先用S=12·l·r（已知l和r），比nπr2360更简便。
【例3】
一个圆锥的底面半径为15 cm，母线长为40 cm。求这个圆锥的侧面积和侧面展开图中扇形的圆心角的度数。
【解答】（1）侧面展开图为扇形：扇形的半径 = 母线长 = 40 cm；扇形的弧长 = 圆锥底面圆的周长 = 2π×15 = 30π（cm）
（2）求圆心角：由弧长公式变形，得
n = 180l(πr) = 180×30π(40π) = 135（度）
（3）求侧面积：S侧 = 12×弧长×半径 = 12×30π×40 = 600π（cm²）
答：圆锥的侧面积为600π cm²，侧面展开图扇形的圆心角为135°。
【点拨】把曲面问题转化为平面问题：抓住“扇形半径=母线长、扇形弧长=底面周长”两条对应关系，圆锥的侧面积就归结为扇形面积。本题用到的转化（化曲面为平面）思想是解决圆锥问题的一般方法。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 一条弧和经过这条弧端点的两条半径所组成的图形叫作（________）。
2. 在同一个圆中，圆心角为120°的扇形，它的弧长是圆周长的（________），面积是圆面积的（________）。
3. 已知扇形的半径为9，圆心角为100°，求这个扇形的弧长（结果保留π）。
4. 已知扇形的半径为6，圆心角为120°，求这个扇形的面积（结果保留π）。
5. 半径为18的圆中，10°圆心角所对的弧长为（________）。
6. 圆心角为45°，半径为8的扇形的弧长为（________）。
7. 扇形的面积等于它的弧长与半径的乘积的一半。（ ）
8. 半径为5的圆中，90°圆心角所对弧长为5π。（ ）
9. 已知扇形的弧长为6π cm，半径为12 cm，求这个扇形的圆心角的度数。
★★ 能力提升
10. 半径为6，圆心角为120°的扇形的弧长为（________）。
A. 2π B. 4π
C. 12π D. 24π
11. 已知圆锥的底面半径为3 cm，母线长为5 cm，则这个圆锥的侧面积为（________）。
A. 9π cm² B. 15π cm²
C. 24π cm² D. 30π cm²
12. 已知扇形的弧长为8π cm，半径为9 cm，求这个扇形的圆心角的度数和面积。
13. 已知扇形的面积为54π cm²，半径为18 cm，求这个扇形的圆心角的度数和弧长。
14. 一把纸扇完全打开后，外侧两根竹条AB、AC的夹角为100°，内层竹条AD的长为12 cm，DB的长为18 cm。求扇面（两段弧之间的部分）的面积。
纸扇扇面（阴影部分）示意
★★★ 拓展延伸
15. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=8 cm。将△ABC绕点B旋转到△A'BC'的位置，使A、B、C'三点在同一条直线上。求点A经过的路径的长。
△ABC绕点B旋转，使A、B、C′三点共线
16. 一个扇形的圆心角为90°，半径为24 cm。用这个扇形围成一个圆锥，求所得圆锥的底面半径和侧面积。
17. 时钟的分针长10 cm。从2:00到2:20，分针尖端走过的路程是多少？分针扫过的面积是多少？
参 考 答 案
第1题：扇形
【解析】这是教材给出的扇形定义：扇形由一条弧和经过这条弧端点的两条半径组成。[错因:知识]
第2题：13；13
【解析】弧长占圆周长的份额与面积占圆面积的份额都等于圆心角占360°的份额：120360=13。[错因:理解]
第3题：5π
【解析】l = nπr180 = 100×π×9180 = 5π。[错因:计算]
第4题：12π
【解析】S = nπr2360 = 120×π×62360 = 120×π×36360 = 12π。[错因:计算]
第5题：π
【解析】l = nπr180 = 10×π×18180 = π。[错因:计算]
第6题：2π
【解析】l = nπr180 = 45×π×8180 = 2π。[错因:计算]
第7题：√
【解析】正确。S = 12·l·r正是扇形面积的另一种形式，与S=nπr2360等价。[错因:知识]
第8题：×
【解析】l = nπr180 = 90×π×5180 = 2.5π，不是5π；5π是半径为10的圆中90°圆心角所对的弧长。[错因:计算]
第9题：90°
【解析】由弧长公式变形得 n = 180l(πr) = 180×6π(12π) = 90，所以圆心角为90°。[错因:计算]
第10题：B
【解析】l = nπr180 = 120×π×6180 = 4π，选B。A项2π是把分母错写成360（套了面积公式的分母）；C项12π是把半径平方后除以360（把面积公式错当成弧长公式）；D项24π是把半径平方后除以180。[错因:方法]
第11题：B
【解析】侧面展开为扇形：弧长=底面周长=2π×3=6π cm，半径=母线长=5 cm，S侧=12×6π×5=15π cm²，选B。A项9π只算了底面圆的面积；C项24π把侧面积加上了底面面积（全面积）；D项30π误用了2πrl。[错因:方法]
第12题：160°；36π cm²
【解析】n = 180l(πr) = 180×8π(9π) = 160，所以圆心角为160°；S = 12·l·r = 12×8π×9 = 36π（cm²）。[错因:计算]
第13题：60°；6π cm
【解析】由S=12·l·r得 l = 2Sr = 2×54π/18 = 6π（cm）；再由n = 180l(πr) = 180×6π(18π) = 60，所以圆心角为60°，弧长为6π cm。[错因:计算]
第14题：210π cm²
【解析】大扇形半径AB=AD+DB=12+18=30 cm，小扇形半径AD=12 cm。扇面面积 = 大扇形面积−小扇形面积 = 100π/360×(30²−12²) = 100π/360×756 = 210π（cm²）。[错因:方法]
第15题：20π/3 cm
【解析】点A绕点B旋转，经过的路径是以B为圆心、AB=8 cm为半径的圆弧。旋转后C'落在直线AB上B的另一侧，所以旋转角θ=180°−∠ABC=180°−30°=150°。路径长 l = nπr180 = 150×π×8180 = 20π/3（cm）。本题用到的数学思想：把点的运动轨迹转化为圆弧长计算（转化思想）。[错因:方法]
第16题：底面半径6 cm；侧面积144π cm²
【解析】扇形弧长 l = nπr180 = 90×π×24180 = 12π（cm）。围成圆锥后，扇形的弧长成为底面圆的周长：2πr底=12π，所以r底=6 cm；圆锥的侧面积=扇形面积=12·l·r = 12×12π×24 = 144π（cm²）。本题用到的数学思想：扇形与圆锥的互化（转化思想）。[错因:方法]
第17题：20π/3 cm；100π/3 cm²
【解析】分针每小时转360°，每分钟转360°/60=6°；从2:00到2:20共20分钟，分针转过20×6°=120°。尖端走过的路程 l = nπr180 = 120×π×10180 = 20π/3（cm）；分针扫过的面积 S = nπr2360 = 120×π×102360 = 100π/3（cm²）。本题用到的数学思想：把钟表指针运动抽象为圆心角120°的扇形模型（建模思想）。[错因:方法]项目
公式
相互联系
弧长 l
l=nπr180
n=360°时 l=2πr（整圆周长）
扇形面积 S
S=nπr2360
n=360°时 S=πr²（整圆面积）
联系
S=12·l·r
把弧长公式代入面积公式得到