冀教版（2024）九年级上册（2024）28.3 圆心角和圆周角优秀第3课时同步练习题

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本课核心问题
同一个圆中,一个角的大小由什么决定?圆心角、圆周角、弦、直径与圆内接四边形之间有哪些可以互相转化的等量关系?
一、学习目标
1. 认识圆心角和圆周角,能准确识别图形中的圆心角与圆周角,并说出它们所对的弦或弧
2. 理解并掌握圆周角定理:圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半,能用它进行角度计算与简单推理
3. 掌握同弧(等弧)所对的圆周角相等、直径(半圆)所对的圆周角是直角、圆内接四边形的对角互补等性质,并能综合运用
二、重点
• 圆心角、弧、弦之间的等量关系(一组量相等,其余各组量都相等)
• 圆周角定理及其应用
三、难点
• 圆周角定理中圆心与圆周角三种位置关系的分类证明思路
学习支架
同弧AB所对的圆心角与圆周角
AB为⊙O的直径,∠ACB=90°
四边形ABCD内接于⊙O
圆心角与圆周角对比
圆中求角的一般步骤
1. 找出所求角所对的弧
2. 在这条弧上找圆心角或另一个圆周角
3. 用圆周角定理:圆周角等于所对弧上圆心角的一半(或同弧圆周角相等)
4. 列式代值计算并检验
四、知识要点
1. 圆心角的概念
顶点在圆心的角叫作圆心角(central angle),如∠AOB(其中点A、B在圆上)。根据圆的定义,圆绕圆心旋转任意角度后都与自身重合,因此圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心。圆的每一个圆心角都对应一条弦和一条弧:∠AOB对应弦AB,以及以A、B为端点的弧(通常指不大于半圆的弧AB)。判断一个角是不是圆心角,关键看它的顶点是不是圆心。
2. 圆心角、弦、弧的等量关系
定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧也相等。直观理解:设∠AOC=α,把△AOB绕圆心O顺时针旋转α,则OA与OC重合;因为圆心角相等,旋转后OB与OD也重合,于是弦AB与CD、弧AB与CD分别重合,所以AB=CD,AB=CD。推论:在同圆或等圆中,两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦中,如果有一组量相等,那么其余各组量都分别相等。注意:结论必须以“同圆或等圆”为前提——半径不同的两个圆中,相等的圆心角所对的弦长并不相等。
3. 圆周角的概念
顶点在圆上,两边都与圆相交的角叫作圆周角(angle in a circular segment),如∠APB(顶点P在⊙O上,两边PA、PB分别与圆交于A、B)。判断圆周角必须同时满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两边都与圆相交。∠APB所对的弧是AB(指不含顶点P的那条弧)。圆周角与圆心角的本质区别:圆心角的顶点在圆心,圆周角的顶点在圆上。
4. 圆周角定理
定理:圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半,即∠APB=12∠AOB。推导按圆心O与圆周角的位置分三种情形:当圆心O在∠APB的一条边上时,由OP=OA,得∠APB=∠OAP;又∠AOB=∠APB+∠OAP(三角形外角),所以∠AOB=2∠APB,即∠APB=12∠AOB。当圆心O在∠APB的内部时,连接PO并延长交圆于点D,∠APD=12∠AOD,∠BPD=12∠BOD,两式相加仍得∠APB=12∠AOB。当圆心O在∠APB的外部时,用类似方法(相减)可以验证结论同样成立。可见,无论圆心与圆周角的位置如何,圆周角都等于它所对弧上的圆心角的一半。
5. 同弧(等弧)所对的圆周角
同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。理由:同一条弧(或等弧)所对的圆心角相等,而圆周角都是这条弧所对圆心角的一半,所以这些圆周角相等。这条性质把“角相等”与“弧相等”互相转化,是圆中寻找相等角、相等弧的常用工具。
6. 直径所对的圆周角
直径(或半圆)所对的圆周角是直角。反过来,90°的圆周角所对的弦是直径。理由:直径所对的半圆,其圆心角是平角180°,由圆周角定理,它所对的圆周角等于180°的一半,即90°。应用:见到直径,立即寻找它所对的圆周角(直角);见到直角,可判断它所对的弦是直径。
7. 圆内接四边形
四个顶点都在同一个圆上的四边形叫作圆内接四边形,这个圆叫作四边形的外接圆。定理:圆内接四边形的对角互补,即∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°。理由:对角∠A、∠C所对的两条弧合起来正好是整个圆,它们所对的圆心角的和是360°,各取一半得180°。推论:圆内接四边形的一个外角等于与它相邻的内角的对角,证明时利用“同角的补角相等”。
五、典型例题
【例1】
已知:在⊙O中,AB=CD(即弧AB与弧CD相等),弦AB与CD不重合。求证:∠AOB=∠COD,且AB=CD。
【解答】证明:∵AB=CD(已知),
∴∠AOB=∠COD(在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等),
∴AB=CD(在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等)。检验:若把△AOB绕圆心O旋转∠AOC的度数,则OA与OC重合;又弧AB=弧CD,所以旋转后OB与OD重合,△AOB与△COD完全重合,AB=CD也随之得到印证。
【点拨】圆心角、弧、弦三组量中,只要有一组量相等,其余两组量就分别相等(前提是同圆或等圆)。这是圆中最常用的等量转换工具,常与旋转对称、全等三角形配合使用。
【例2】
已知:点A、B、C在⊙O上,∠OAB=35°,求∠ACB的度数。
【解答】解:连接OB。(1)∵OA=OB(同圆的半径相等),
∴∠OBA=∠OAB=35°(等边对等角)。(2)在△AOB中,∠AOB=180°−∠OAB−∠OBA=180°−35°−35°=110°(三角形内角和定理)。(3)∵∠ACB和∠AOB都对应弧AB,∠ACB是圆周角,∠AOB是圆心角,
∴∠ACB=12∠AOB=12×110°=55°(圆周角定理)。答:∠ACB=55°。
【点拨】求圆周角的关键是锁定它“所对的弧”,再到这条弧上找圆心角或另一个圆周角。题目中出现半径相等,立即想到等腰三角形与等边对等角。
【例3】
已知:四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,∠D=110°。求∠ABC和∠ACB的度数。
【解答】解:(1)∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠ABC+∠D=180°(圆内接四边形的对角互补),
∴∠ABC=180°−110°=70°。(2)∵AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,
∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角)。(3)在△ABC中,∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−70°−90°=20°(检验:三角形内角和等于180°,计算正确)。答:∠ABC=70°,∠ACB=90°。
【点拨】圆内接四边形的对角互补与“直径所对的圆周角是直角”是两个独立的工具,可以先后使用:看到直径立刻找直角,看到内接四边形立刻找互补的对角。多求一个角作内部复核,能减少计算失误。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 顶点在（________）的角叫作圆心角;顶点在（________）,两边都与圆相交的角叫作圆周角。
2. 在同圆或等圆中,∠AOB=∠COD,若弦AB=5,则弦CD=（________）。
3. 如图,在⊙O中,∠AOB=70°,则∠APB=（________）°。
4. 直径所对的圆周角是（________）;90°的圆周角所对的弦是（________）。
5. 圆内接四边形的对角（________）。
6. 在任意两个圆中,相等的圆心角所对的弦也相等。（ ）
7. 顶点在圆上的角一定是圆周角。（ ）
8. 同弧所对的圆周角相等。（ ）
★★ 能力提升
9. 下列角中,一定是圆周角的是（________）。
A. 顶点在圆心,两边都与圆相交的角
B. 顶点在圆内,两边与圆相交的角
C. 顶点在圆上,两边都与圆相交的角
D. 顶点在圆上,只有一条边与圆相交的角
10. 如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠CAB=35°,则∠ABC的度数为（________）。
A. 35° B. 45°
C. 55° D. 65°
11. 如图,点A,B,C,D在⊙O上,∠BAC=29°。求∠BDC和∠BOC的度数。
12. 四边形ABCD内接于⊙O,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,求∠D的度数。(提示:∠A+∠C=180°)
13. 如图,在⊙O中,∠AOB=70°。用量角器在优弧AB上取一点P,画出圆周角∠APB,再量出∠APB的大小,验证∠APB=12∠AOB。
14. 在⊙O中,弦AB=6,弦AB所对的圆心角∠AOB=60°,求⊙O的半径。
★★★ 拓展延伸
15. 如图,在⊙O中,弦AB=AC,∠BAC=36°。求∠AOB、∠AOC和∠BOC的度数。(提示:∠BOC=2∠BAC,∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°)
16. 已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O,延长AD到点E。求证:∠CDE=∠ABC。
四边形ABCD内接于⊙O，AD延长到点E
17. 如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,四边形ABCD内接于⊙O,∠BCD=115°。(1)求∠DAB的度数;(2)求∠DBA的度数。
AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上
参 考 答 案
第1题：圆心;圆上
【解析】圆心角的顶点在圆心;圆周角的顶点在圆上,且两边都与圆相交。
第2题：5
【解析】在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所以CD=AB=5。
第3题：35
【解析】∠APB是弧AB所对的圆周角,∠AOB是弧AB所对的圆心角,由圆周角定理,∠APB=12∠AOB=12×70°=35°。
第4题：直角;直径
【解析】直径(或半圆)所对的圆周角是直角;反过来,90°的圆周角所对的弦是直径。
第5题：互补
【解析】圆内接四边形的对角互补,即∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°。
第6题：×
【解析】必须是在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦才相等;半径不同的两个圆中,圆心角相等但弦长并不相等。
第7题：×
【解析】圆周角还必须满足“两边都与圆相交”。顶点在圆上但有一条边不与圆相交的角不是圆周角。
第8题：√
【解析】同弧或等弧所对的圆周角相等,因为它们都是同一条弧所对圆心角的一半。
第9题：C
【解析】圆周角必须满足:顶点在圆上,且两边都与圆相交。A是圆心角,B的顶点不在圆上,D只有一条边与圆相交,均不符合。
第10题：C
【解析】∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角);在△ABC中,∠ABC=180°−90°−35°=55°。
第11题：∠BDC=29°,∠BOC=58°。
【解析】∠BDC与∠BAC都对应弧BC,同弧所对的圆周角相等,所以∠BDC=∠BAC=29°;∠BOC是弧BC所对的圆心角,由圆周角定理,∠BOC=2∠BAC=2×29°=58°。
第12题：∠D=90°。
【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠A+∠C=180°(对角互补)。设∠A=2k,∠C=4k,则2k+4k=180°,k=30°,∠B=3k=90°;又∠B+∠D=180°,∴∠D=180°−90°=90°。检验:∠A=60°,∠B=90°,∠C=120°,∠D=90°,四个角的和为360°,且对角互补,符合内接四边形条件。
第13题：测量结果约为35°(在30°~40°之间均视为正确)。
【解析】由圆周角定理,∠APB是弧AB所对的圆周角,∠AOB是弧AB所对的圆心角,∠APB=12∠AOB=35°。实际操作中测量存在误差,接近35°即可验证结论。
第14题：半径等于6。
【解析】在△AOB中,OA=OB(同圆的半径相等),∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OA=AB=6,即⊙O的半径为6。
第15题：∠AOB=144°,∠AOC=144°,∠BOC=72°。
【解析】∵∠BAC=36°是弧BC所对的圆周角,∴∠BOC=2×36°=72°(圆周角定理);∵弦AB=AC,∴∠AOB=∠AOC(在同圆或等圆中,等弦所对的圆心角相等);又∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°,∴2∠AOB=360°−72°=288°,∠AOB=144°,∠AOC=144°。本题用到转化化归与方程思想:把角的关系转化为弧、弦的等量关系,再列式求解。
第16题：证明:∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠ABC+∠ADC=180°(圆内接四边形的对角互补);∵点E在AD的延长线上,∴∠CDE+∠ADC=180°(平角的定义);∴∠CDE=∠ABC(同角的补角相等)。
【解析】圆内接四边形的一个外角等于与它相邻的内角的对角,这是对角互补的直接推论;证明时把“互补”转化为“同角的补角相等”。本题体现转化化归思想:新结论由已知定理加平角定义导出。
第17题：(1)∠DAB=65°;(2)∠DBA=25°。
【解析】(1)∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠DAB+∠BCD=180°(对角互补),∴∠DAB=180°−115°=65°;(2)∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角);在△ABD中,∠DBA=180°−∠DAB−∠ADB=180°−65°−90°=25°。本题综合运用数形结合与转化思想,把圆中的角问题转化为四边形与三角形的角计算。角
顶点位置
两边与圆的位置关系
所对的对象
圆心角
在圆心
两边都是半径
对应一条弦和一条弧
圆周角
在圆上
两边都与圆相交
对应一条弧