初中数学28.4 垂径定理精品第4课时练习题

这是一份初中数学28.4 垂径定理精品第4课时练习题，文件包含冀教版九年级数学上册_第二十八章_第4课时_垂径定理_讲义与练习_教师版docx、冀教版九年级数学上册_第二十八章_第4课时_垂径定理_讲义与练习_学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
本课核心问题
为什么“垂直于弦的直径”能同时决定弦、弧的相等关系？它怎样帮助我们计算圆中的线段长度？
一、学习目标
1. 能说出圆是轴对称图形，知道每一条直径所在的直线都是它的对称轴
2. 理解并掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，能完成定理的证明
3. 掌握垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，能用于证明与作图
4. 能运用垂径定理与勾股定理解决求半径、弦长、弦心距、弓形高的实际问题
二、重点
• 垂径定理及其推论
• 由半径、弦心距和半弦长构成的直角三角形模型
三、难点
• 推论中“弦（非直径）”的边界条件；拱高问题中正确表示圆心到弦的距离
学习支架
拱形（弓形）模型
垂径定理应用三步
1. 第一步：过圆心作弦的垂线段（作弦心距），或连接圆心与弦的端点（连半径）
2. 第二步：由垂径定理得出半弦长与弦心距
3. 第三步：在半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形中用勾股定理求解
四、知识要点
1. 圆的轴对称性
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。把一张圆形纸片沿任意一条直径对折，直径两侧的半圆能够互相重合，这说明圆具有轴对称性。要注意：对称轴是“直线”，规范说法是“直径所在的直线”，而不是“直径”这条线段。圆的轴对称性是发现垂径定理的出发点：沿着垂直于弦的直径对折，圆两侧的部分完全重合，重合的线段与弧自然相等。
2. 垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。如图（基本图形）：CD为⊙O的直径，AB为弦，CD⊥AB，垂足为E，则AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC。证明要点：连接OA、OB，在等腰三角形OAB中，OA=OB，OE⊥AB，由等腰三角形“三线合一”得AE=BE，∠AOE=∠BOE；由圆心角相等得弧AD=弧BD；又∠AOC=180°−∠AOE，∠BOC=180°−∠BOE，所以∠AOC=∠BOC，故弧AC=弧BC。注意：“两条弧”指弦AB所对的优弧和劣弧，定理同时平分它们。
3. 垂径定理的推论
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。也就是说，在“直径、垂直、平分”的关系中条件可以互换：把“垂直于弦”换作“平分弦（非直径）”，另外两个结论仍然成立。这里的限定“非直径”至关重要：圆内两条直径互相平分，但它们不一定互相垂直。因此使用推论时，必须先确认被平分的弦不是直径。
4. 垂径定理的应用：直角三角形模型
圆中与弦有关的计算通常转化为直角三角形：连接圆心与弦的端点得到半径r，过圆心作弦的垂线段得到弦心距d，垂径定理给出半弦长a2，三者满足 r²=d²+(a2)²（勾股定理）。弓形高（拱高）是弧中点到弦的距离：当弧中点与圆心在弦的同侧时，弓形高=r−d；在异侧时，弓形高=r+d。解决拱桥等实际问题时：①把实际图形抽象为“弦、弧、半径”的基本图形；②设半径为未知数，用拱高等已知量表示弦心距；③列勾股方程求解，并检验结果是否合理。
五、典型例题
【例1】
在河北省赵县境内，有一座建于隋代的石拱桥——赵州桥，距今已有1400多年的历史。赵州桥的桥拱是圆弧形的，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为7.2m，跨度（弧所对弦的长）为37.4m。求桥拱所在圆的半径。（结果精确到0.1m）
【例2】
如图，在⊙O中，半径OA=10cm，弦AB=16cm。过圆心O作OC⊥AB于点C。（1）求弦心距OC的长；（2）求弦AB所对的较短弧的弓形高。
垂径定理基本图形
【例3】
如图，在⊙O中，CD为直径，AB为弦（非直径），CD与AB相交于点E，且E是AB的中点。求证：CD⊥AB，且弧AD=弧BD。
垂径定理基本图形
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 圆是轴对称图形，每一条（________）所在的直线都是它的对称轴。
2. 垂径定理：垂直于弦的直径（________）这条弦，并且平分这条弦所对的（________）。
3. 如图，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，CD⊥AB，垂足为E。若AB=16cm，CD=20cm，则AE=（________）cm，OC=（________）cm。
垂径定理基本图形
4. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。（ ）
5. 平分弦的直径垂直于这条弦。（ ）
6. 圆有无数条对称轴。（ ）
7. 在⊙O中，弦AB=24cm，圆心O到弦AB的距离OC=5cm，则⊙O的半径OA=（________）cm。
8. 一条圆弧形拱桥的桥拱可看作圆的一部分，跨度（弦长）为16m，拱高为4m。求桥拱所在圆的半径。
★★ 能力提升
9. 下列说法中，正确的是（________）。
A. 垂直于弦的直线一定平分这条弦
B. 平分弦的直径一定垂直于这条弦
C. 直径是圆内最长的弦，也是圆的对称轴
D. 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
10. 如图，⊙O的半径为10cm，两条平行弦AB、CD在圆心的同侧，AB=16cm，CD=12cm。求这两条平行弦之间的距离。
平行弦（在圆心同侧）
11. 一个圆形水池的截面是圆，半径OA=25cm。池中水面宽度AB=48cm（水面即圆的一条弦），且圆心在水面上方。求池中水的最大深度（水面到池底最低点的距离）。
12. 如图，在⊙O中，CD为直径，弦AB与直径CD相交于点E，E是AB的中点，AB=16cm，OE=6cm。求⊙O的半径OA。
垂径定理基本图形
★★★ 拓展延伸
13. 如图，P为⊙O内一点（不是圆心）。过点P可以作无数条弦。(1) 用尺规作出过点P且以P为中点的弦；(2) 在过点P的所有弦中，哪一条最短？作出这条最短的弦，并说明理由。
用圆规和直尺，过点P作出⊙O的弦，使点P恰为这条弦的中点；再作出过点P的最短弦，并说明理由。
14. 如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，∠AEC=30°，AE=6cm，EB=2cm。求弦CD的长。
弦CD与直径AB相交于点E（∠AEC=30°，非按比例示意）
15. 已知：如图，在⊙O中，M是弦AB的中点，N是弦CD的中点，且AB∥CD。求证：直线MN经过圆心O。
平行弦AB∥CD，M、N分别为弦AB、CD的中点