初中数学冀教版（2024）九年级上册（2024）第二十八章 圆28.2 三点确定一个圆优秀第2课时练习题

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本课核心问题
至少需要几个点、这些点满足什么条件,才能唯一确定一个圆?
一、学习目标
1. 理解“确定一个圆”的含义,知道过一点、过两点作圆的情况,掌握“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”
2. 理解三角形的外接圆、外心、圆的内接三角形的概念,知道外心是三边垂直平分线的交点,到三个顶点的距离相等
3. 会用尺规作三角形的外接圆,能根据三角形形状说出外心的位置,并能求直角三角形外接圆的半径
二、重点
• 不在同一条直线上的三个点确定一个圆
• 三角形的外接圆、外心及其性质(外心是三边垂直平分线的交点,到三顶点距离相等)
• 用尺规作三角形的外接圆
三、难点
• 理解共线三点不能作圆的原因:两条垂直平分线互相平行、没有交点
• 理解外心的位置随三角形形状变化(锐角在内、直角在斜边中点、钝角在外),并与“到三顶点等距”的性质对应
学习支架
过两点A、B的圆,圆心都在线段AB的垂直平分线上
共线三点A、B、C:两条垂直平分线l、m互相平行,没有交点
外心的位置与三角形的形状
四、知识要点
1. 过一点、过两点的圆
经过平面内一点A,以任意一点为圆心、该点到点A的距离为半径,都可以作一个圆,所以经过一点可以画出无数个圆。经过两点A、B的圆:设圆心为O,则OA=OB,由线段垂直平分线的判定,点O在线段AB的垂直平分线上;反过来,线段AB的垂直平分线上的任意一点到A、B的距离相等,以它为圆心、该距离为半径的圆都经过A、B两点。垂直平分线上有无数个点,所以经过两点A、B的圆也有无数个。关键结论:过一点、过两点的圆都有无数个;过两点的圆的圆心都在两点的连线段的垂直平分线上。
2. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆
设A、B、C不在同一条直线上。如果存在经过A、B、C三点的圆,设圆心为O,则OA=OB=OC,即点O到三个点的距离都相等。由OA=OB,点O在线段AB的垂直平分线上;由OB=OC,点O在线段BC的垂直平分线上。因此圆心只能是这两条垂直平分线的交点。两条直线相交于唯一一个点,所以圆心唯一;圆心和半径都确定了,圆也就唯一确定了。关键结论:不在同一条直线上的三个点确定一个圆(存在且唯一)。
3. 过同一条直线上的三点不能作圆
当A、B、C在同一条直线上时,线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线互相平行,它们没有交点,因此不存在到A、B、C三个点距离都相等的点,也就没有圆心,不能作出经过A、B、C三点的圆。这说明“三点确定一个圆”中的“不在同一条直线上”是不可缺少的条件。
4. 三角形的外接圆与外心
经过三角形三个顶点的圆,叫作三角形的外接圆(circumcircle);外接圆的圆心叫作三角形的外心(circumcenter);这个三角形叫作圆的内接三角形。因为三角形三个顶点不在同一条直线上,所以任意一个三角形都有且只有一个外接圆。外心的性质:三角形的外心是三边垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等(都等于外接圆的半径),即OA=OB=OC。注意:外心到三个顶点的距离相等,不是到三条边的距离相等。
5. 尺规作图:作三角形的外接圆
已知△ABC,用尺规作它的外接圆,步骤如下:
第一步:分别作线段AB和BC的垂直平分线l₁、l₂,设l₁与l₂相交于点O;
第二步:以点O为圆心、OA为半径画圆,⊙O就是△ABC的外接圆。依据:点O在AB的垂直平分线上,所以OA=OB;点O在BC的垂直平分线上,所以OB=OC,于是OA=OB=OC,以O为圆心、OA为半径的圆必经过A、B、C三点。由“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”,这样的圆只有一个。作图提示:作垂直平分线时,画弧的半径要大于对应线段的一半,保证两弧相交;只须作两条边的垂直平分线,第三条边的垂直平分线必然经过点O。
6. 外心的位置与三角形的形状
画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各自的外接圆,可以发现外心的位置与三角形形状有关:
锐角三角形的外心在三角形内部;
直角三角形的外心是斜边的中点,在三角形上(可由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”说明:斜边中点到三个顶点的距离相等,而满足这一条件的点唯一,故外心就是斜边中点);
钝角三角形的外心在三角形外部。关键结论:外心在三角形内部、边上还是外部,由三角形的形状决定;直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半。
五、典型例题
【例1】
小华说:“经过一点可以画无数个圆,经过两点也能画无数个圆,所以经过三个点也一定可以画无数个圆。”你同意吗?请分别就“过一点”“过两点”“过三点”三种情况说明理由。
【例2】
已知△ABC(如图),用尺规作出△ABC的外接圆⊙O,并说明作法的依据。
三角形的外接圆与外心:OA=OB=OC
【例3】
已知直角三角形的两条直角边长分别为6 cm和8 cm,求这个三角形外接圆的半径。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 经过一点可以作（________）个圆;经过两点可以作（________）个圆。
2. 过两点A、B的所有圆的圆心,都在线段AB的（________）上。
3. 经过不在同一条直线上的三点,可以确定（________）个圆。
4. 过同一条直线上的三点（________）作圆,因为这两条垂直平分线互相（________）,没有交点。
5. 任意一个三角形都有且只有一个外接圆。（ ）
6. 任意一个圆都有且只有一个内接三角形。（ ）
7. 三角形的外心到三角形三条边的距离相等。（ ）
8. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。（ ）
9. 如图,△ABC内接于⊙O,则△ABC是⊙O的（________）三角形,⊙O是△ABC的（________）圆,点O是△ABC的（________）。
△ABC内接于⊙O
★★ 能力提升
10. 下列说法正确的是（________）。
A. 经过任意两点可以作一个圆
B. 经过同一条直线上的三点可以作一个圆
C. 经过不在同一条直线上的三点可以作无数个圆
D. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
11. 判断下列命题是真命题还是假命题,并说明理由:三角形任意两边的垂直平分线的交点是三角形的外心。
12. 已知直角三角形的两条直角边长分别为8 cm和15 cm,求这个三角形外接圆的半径。
13. 用尺规作△ABC的外接圆⊙O。要求:写出作法,并在作图区完成作图。
求作△ABC的外接圆⊙O,并在下方写出作法。
14. 已知线段AB=8 cm。过A、B两点可以作多少个圆?这些圆的圆心在什么位置?其中半径最小的圆,半径是多少?为什么?
★★★ 拓展延伸
15. 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,4),B(4,4),C(2,0)。(1)在坐标系中作出△ABC及其外接圆的圆心M;(2)求圆心M的坐标和⊙M的半径。
在坐标系中作出△ABC并确定外接圆圆心M
16. 在直角坐标系中,有四点A(0,2),B(2,4),C(4,2),D(2,0),其中任意三点都不在同一条直线上。(1)求过A、B、C三点的圆的圆心和半径;(2)判断点D是否在这个圆上。
在坐标系中作出A、B、C、D四点并解决问题
17. 一个圆形轮子损坏后只余下一段圆弧。为了浇铸一个同样大小的新轮子,需要在残轮上确定圆心。图中已标出残存圆弧上的三个点A、B、C,请在作图区用尺规作出这个轮子的圆心O,并说明作法的依据。
参考左图中的三点A、B、C,在作图区用尺规作出残轮圆心O,并在下方写出作法与依据。
三角形类型
外心的位置
锐角三角形
在三角形的内部
直角三角形
在斜边的中点处(在三角形的边上)
钝角三角形
在三角形的外部