初中数学冀教版（2024）九年级上册（2024）28.1 圆的基本概念和性质优秀第1课时习题

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本课核心问题
怎样借助“距离d与半径r的比较”这一把尺子,判断一个点与圆的位置关系,并用符号准确说出圆及其基本要素?
一、学习目标
1. 认识圆、圆心和半径,理解圆的集合定义,会用“⊙O”表示圆并读作“圆O”
2. 认识弧、弦、直径、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等概念,并能用符号正确表示
3. 掌握点与圆的位置关系的判定方法:通过比较点到圆心的距离d与半径r的大小,判断点在圆内、圆上还是圆外
二、重点
• 圆的定义、圆心与半径,以及“圆心确定位置、半径确定大小”
• 点与圆的位置关系的判定:d与r的比较法则
三、难点
• 等弧的成立条件:“同圆或等圆中”与“能够互相重合”两个条件缺一不可
• 用三角形三边关系说明直径是圆中最长的弦,以及圆外一点到圆上点的最近、最远距离
学习支架
圆的基本要素
点与圆的位置关系
圆的基本要素与符号(对应教材“做一做”)
判断点与圆的位置关系的步骤
1. 确定圆心与半径r
2. 求出点到圆心的距离d
3. 比较d与r
4. 下结论:相等在圆上,小于在圆内,大于在圆外
四、知识要点
1. 圆、圆心与半径
1. 定义:平面上,到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的所有点组成的图形叫作圆。这个定点叫作圆心,通常用字母O表示;圆心到圆上任意一点的线段OA叫作半径。2. 表示:以点O为圆心的圆记作“⊙O”,读作“圆O”。3. 关键认识:圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。只给出半径而不给出圆心,可以作出无数个圆。4. 圆的本质:圆上的每一点到圆心的距离都等于半径;反过来,到圆心距离等于半径的点都在这个圆上。圆是“点”的集合,不是一条“曲线路径”。
2. 弧、弦、直径、半圆、优弧与劣弧
1. 弧:圆上任意两点间的部分叫作圆弧,简称弧。以A、B为端点的弧记作“弧AB”,读作“弧AB”。2. 弦:连接圆上任意两点的线段叫作弦。经过圆心的弦叫作直径。直径是特殊的弦,是圆中最长的弦;半径不是弦(半径的一端是圆心)。3. 半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫作半圆。4. 优弧与劣弧:大于半圆的弧叫作优弧,一般用三个字母表示(如弧ACB);小于半圆的弧叫作劣弧,一般用两个字母表示(如弧AB)。5. 区分要点:弧是圆上“弯的”部分,弦是“直的”线段;半圆是弧的一种特殊情形。
3. 等圆与等弧
1. 等圆:能够互相重合的两个圆叫作等圆。等圆的半径相等;反过来,半径相等的两个圆是等圆。2. 等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫作等弧。3. 易错提醒:等弧有两个条件——“同圆或等圆”与“能够互相重合”,缺一不可。同一条非直径的弦把圆分成一条优弧和一条劣弧,它们不能互相重合,不是等弧;只有当这条弦是直径时,分成的两条弧都是半圆,才相等。
4. 点与圆的位置关系
1. 三种位置:点在圆内、点在圆上、点在圆外。2. 数量判定:设⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,则:
点在圆内 ⇔ dr。3. 符号“⇔”读作“等价于”,表示从左可以推出右,从右也可以推出左,即位置关系与数量关系可以互相转化。4. 应用:只要算出d并与r比较,就能判断点与圆的位置关系;当d没有直接给出时,常利用勾股定理等已学知识求出。这也是后续学习直线与圆位置关系的基础。
五、典型例题
【例1】
如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=6cm。以点A为圆心、8cm为半径画圆,判断点B、点C和AB的中点D与⊙A的位置关系。
以点A为圆心、8cm为半径画圆（1cm=18px，非按比例）
【例2】
已知⊙O的半径为2,点P在⊙O外,且PO=6。求点P到⊙O上点的最小距离和最大距离。
【例3】
下列说法正确吗?请说明理由。(1)已知半径3cm,只能作出一个圆;(2)直径是圆中最长的弦;(3)同一条弦所对的两条弧一定是等弧。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 以点O为圆心、3cm为半径的圆记作（________）,读作（________）。
2. 圆上任意两点间的部分叫作（________）;连接圆上任意两点的线段叫作（________）;经过圆心的弦叫作（________）。
3. 已知一个圆的半径是3cm,这个圆是唯一确定的。（ ）
4. 圆中任意一条弦都经过圆心。（ ）
5. 在同一个圆中,直径是圆中最长的弦。（ ）
6. 半圆是弧。（ ）
7. ⊙O的半径为3cm,则直径AB=（________）cm。
8. 同一条弦所对的两条弧一定是等弧。（ ）
9. ⊙O的半径为5,点P到圆心O的距离为5,则点P在圆（________）;点Q到圆心O的距离为3,则点Q在圆（________）。
10. 大于半圆的弧叫作（________）,小于半圆的弧叫作（________）。
11. 半径相等的两个圆一定是等圆。（ ）
★★ 能力提升
12. 下列说法正确的是（________）。
A. 直径是弦,弦也是直径
B. 半径确定了,圆就确定了
C. 半圆是弧,但弧不一定是半圆
D. 大于半圆的弧叫作劣弧
13. ⊙O的半径为5,点P满足OP=5,点Q满足OQ=7,点R满足OR=3,下列说法正确的是（________）。
A. 点P在圆内 B. 点Q在圆上
C. 点R在圆内 D. 三个点都在圆外
14. ⊙O的半径为4,点P在⊙O外,且PO=7。求点P到⊙O上点的最近距离和最远距离。
15. 以原点O(0,0)为圆心、半径为5作圆,判断点A(0,6)、B(3,4)、C(2,2)与⊙O的位置关系。
在坐标系中描出点A、B、C
16. 观察右图,在表中分别写出:圆心;一条(非直径的)弦;一条半径;一条直径;经过点A、以C、D为端点的半圆;以A、B为端点的劣弧;以A、B为端点且经过点C的优弧的符号。
圆的基本要素
填上各要素的符号
17. 作两个等圆,使其中一个圆经过另一个圆的圆心。
作两个等圆,使其中一个圆经过另一个圆的圆心。
18. 下列命题正确的是（________）。
A. 到圆心的距离小于半径的点在圆上
B. 过圆心的弦是直径
C. 半圆是圆中最长的弧
D. 等弧一定在同一个圆中
★★★ 拓展延伸
19. 如图,A地正北方向80m处有一栋民宅B,正东方向150m处有电力设施C,在BC的中点D处有一座古塔。因施工需要在A处进行一次爆破,为使民宅、电力设施和古塔都不遭受破坏,爆破影响的半径应控制在什么范围内?
A、B、C、D位置关系示意图（比例示意，非按实际距离）
20. 如图,矩形ABOC的顶点A在⊙O上,⊙O的半径为8。求对角线BC的长。
矩形ABOC与⊙O
21. 在⊙O中,弦AB把圆分成两条弧。当弦AB满足什么条件时,这两条弧是等弧?请说明理由。
22. 如图,∠ACB=∠ADB=90°,点O是AB的中点。求证:点C、D在以点O为圆心、12AB为半径的圆上。
共圆证明示意图
名称
圆心
弦
半径
直径
半圆
劣弧
优弧
符号
O
AB
OA
CD
弧CAD
弧AB
弧ACB
圆心
弦
半径
直径
半圆
劣弧
优弧