初中数学冀教版（2024）九年级上册（2024）第二十五章 图形的相似25.5 相似三角形的判定优秀课时训练

这是一份初中数学冀教版（2024）九年级上册（2024）第二十五章 图形的相似25.5 相似三角形的判定优秀课时训练，文件包含冀教版九年级数学上册_第二十五章_第5课时_5相似三角形的判定_讲义与练习_教师版docx、冀教版九年级数学上册_第二十五章_第5课时_5相似三角形的判定_讲义与练习_学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
本课核心问题
用怎样的"最少条件"就能确定两个三角形的形状相同(相似)?
一、学习目标
1. 理解并掌握"两角分别相等的两个三角形相似""两边成比例且夹角相等""三边成比例"三个判定定理,能正确叙述并规范书写
2. 掌握"斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似"的直角三角形判定,能根据已知条件选择最简方法
3. 能在平行线、公共角、双垂直等常见图形中识别条件,用相似三角形的判定解决证明与求值问题
二、重点
• 三个一般判定定理及其适用条件
• 直角三角形"斜边和一条直角边成比例"的判定
三、难点
• 正确识别"夹角"与"对角",准确建立对应边、对应角的配对关系
学习支架
相似三角形的判定条件对照表
两边成比例且夹角相等(AB′/AB=AC′/AC=2)
斜边和一条直角边成比例的直角三角形
四、知识要点
1. 两角分别相等的两个三角形相似
类比全等三角形"有两角及其夹边分别相等的两个三角形全等"的判定,教材提出:当两角分别相等而夹边不相等时,这两个三角形是什么关系?通过观察两个等腰直角三角形、两个直角三角形和任意作两个三角形,我们发现:两个三角形只要有两组角分别相等,由三角形内角和为180°,第三组角也一定相等,它们的形状相同、大小可能不同,所以相似。判定定理1:两角分别相等的两个三角形相似(简记"AA")。在具体图形中获得两对角相等的主要途径:①两直线平行,同位角相等、内错角相等;②对顶角相等;③公共角;④同角(或等角)的余角相等;⑤垂直产生的直角相等(90°=90°)。例如:若DE∥BC,则∠ADE=∠B,∠AED=∠C(同位角),加上公共角∠A,可得△ADE∽△ABC。
2. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
类比全等"两边及其夹角分别相等的两个三角形全等",当两边成比例且夹角相等时,两个三角形相似。判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。使用要点:①书写顺序:先列比例式(如ABA′B′=ACA′C′),再说明夹角∠A=∠A′;②"夹角"必须是成比例的那两组边所夹的角,不能换成其中一边的对角或任一角——这是最容易出错的地方;③比的顺序要保持一致,单位要统一。常见图形:共顶点共角的"共角型"(如把△ABC的两边延长到B′、C′,AB′/AB=AC′/AC=2,则△AB′C′∽△ABC)、被平行线截得的三角形等。
3. 三边成比例的两个三角形相似
类比全等"三边分别相等的两个三角形全等",三边成比例的两个三角形相似。判定定理3:三边成比例的两个三角形相似。使用要点:①把两个三角形的边按"最大边对最大边、最小边对最小边"(或按顶点对应关系)配对,分别求比;②三组对应边的比都相等才可判定;③已知三边长度时,可先验算两边之和大于第三边(三角形确实存在),再比边。教材的"一起探究"中,先作△ABC(AB=1.5 cm,BC=2 cm,AC=1.8 cm)和△A′B′C′(A′B′=3 cm,B′C′=4 cm,A′C′=3.6 cm),比较各角后发现对应角分别相等,从而猜想并证明了该定理。
4. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
直角三角形是特殊的三角形,判定相似还有更简的条件。由教材例3:在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,ABA′B′=ACA′C′,设这个比值为k,则AB=k·A′B′,AC=k·A′C′,由勾股定理得BC=AB2−AC2=k2A′B′2−k2A′C′2=kA′B′2−A′C′2=k·B′C′,于是三边成比例,两直角三角形相似。结论:斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(类比全等中的HL)。使用要点:直角三角形判定相似至少有四条路——两锐角分别相等、两边成比例且夹角相等(直角必相等)、三边成比例、斜边和一条直角边成比例;解题时选择最简途径即可。
5. 相似三角形判定的综合运用
判定两个三角形相似的步骤:
第一步"找角":观察图形中是否有公共角、对顶角、直角、平行线产生的相等角、等角的余角等,条件充分时优先用"两角分别相等"判定;
第二步"找边":若已知线段长度或比例关系,检验是否满足"两边成比例且夹角相等"或"三边成比例";
第三步"选择":选条件最充分、书写最简的定理,按规定顺序书写"∵…∴…"。基本图形与构造:①平行线截三角形(如DE∥BC截△ABC,得△ADE∽△ABC);②双垂直图形(直角三角形斜边上的高,把原三角形分成两个与原三角形相似的直角三角形);③共角共边图形。当图形缺少平行条件时,可"过一点作另一边的平行线"构造相似三角形,如教材"做一做":点D在△ABC的边AB上,过点D作直线截△ABC,使截得的三角形与原三角形相似——满足条件的直线有2条:过点D作DE∥BC交AC于点E,或作DF∥AC交BC于点F。
五、典型例题
【例1】
已知:如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DE∥BC,DF∥AC。求证:△ADE∽△DBF。
例1图形:DE∥BC,DF∥AC
【例2】
已知:在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,AB=6 cm,AC=9 cm,A′B′=10 cm,A′C′=15 cm。求证:△ABC∽△A′B′C′。
【例3】
已知:△ABC的三边长分别为AB=4 cm,BC=6 cm,AC=5 cm;△A′B′C′的三边长分别为A′B′=8 cm,B′C′=12 cm,A′C′=10 cm。判断△ABC与△A′B′C′是否相似,并说明理由。
【例4】
已知:在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,AB=5,AC=4,A′B′=10,A′C′=8。求证:Rt△ABC∽Rt△A′B′C′。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 两角分别相等的两个三角形（________）。
2. 两边成比例且（________）相等的两个三角形相似。
3. 有一个锐角相等的两个直角三角形相似。（________）（ ）
4. 两边成比例且其中一边的对角相等的两个三角形相似。（________）（ ）
5. 若△ABC∽△DEF,且AB=3,BC=4,AC=5,DE=6,则EF=（________）,DF=（________）。
6. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。（________）（ ）
7. 若△ABC的三边长分别为2,4,5,△DEF的三边长分别为6,12,15,则△ABC∽△DEF。（________）（ ）
★★ 能力提升
8. 在△ABC与△DEF中,下列条件能判定两三角形相似的是（________）。
A. ABDE=ACDF,∠B=∠E
B. ABDE=BCEF,∠A=∠D
C. ∠A=∠D,∠B=∠F
D. ABDE=ACDF=2,∠C=∠F
9. 如图,在△ABC中,DE∥BC,D在AB上,E在AC上。若AD=3,DB=5,求AE与AC的比AE:AC。
10. 已知△ABC的三边长分别为6,8,10,与它相似的一个三角形的最大边长为15,则这个三角形的周长是（________）。
A. 30 B. 36
C. 40 D. 48
11. 如图,在△ABC中,点E在边AC上,点D在边BC上,AE=2,EC=6,BD=3,DC=9。求证:△ABC∽△EDC。
12. 如图,点D在△ABC的边AB上。过点D作直线截△ABC,使截得的三角形与原三角形相似。这样的直线有几条?请把这些直线画出来。
过点 D 作直线截△ABC,使截得的三角形与原三角形相似。请把满足条件的直线都画出来。
13. 在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,AB=10,AC=8,DE=15,DF=12。判断Rt△ABC与Rt△DEF是否相似,并说明理由。
14. 在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′=40°,AB=3,AC=4,A′B′=4.5,A′C′=6。判断△ABC与△A′B′C′是否相似,并说明理由。
15. 在△ABC中,∠A=40°,∠B=60°;在△A′B′C′中,∠A′=40°,∠B′=60°。△ABC与△A′B′C′相似吗?请说明理由。
★★★ 拓展延伸
16. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC,垂足为D。(1)求证:△ABC∽△ADB;
(2)求证:△ABC∽△BDC;
(3)若AD=4,BD=6,求DC的长。
17. 如图,在正方形网格中,△ABC和△DEF都是格点三角形(顶点在格点上)。求证:△ABC∽△DEF。
18. 在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=50°,AB=5,AC=7,DE=15,DF=20。(1)△ABC与△DEF相似吗?请说明理由;
(2)若想使△ABC∽△DEF,在∠A=∠D保持不变的前提下,可以怎样调整一个条件?请给出一种方案,并说明依据。
判定方式
所需条件
优先使用情形
两角分别相等
两组角对应相等
图形中有平行线、公共角、直角时
两边成比例且夹角相等
两边的比相等+夹角相等
已知两边长度或比例时
三边成比例
三组对应边比都相等
已知三边长度时
斜边和一条直角边成比例
直角三角形专用
直角三角形中,条件最简