专题03 圆锥曲线中的焦点三角形与焦点弦三角形9大重点题型（专项训练）

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专题03 圆锥曲线中的焦点三角形与焦点弦三角形9大重点题型（解析版） 高二数学选择性必修一题型建模 专项突破【重要公式】椭圆焦点三角形主要结论在ΔPF1F2 中,记 ∠F1PF2=θ, 椭圆定义可知: (1). PF1+PF2=2a,F1F2=2c.(2) . 焦点三角形的周长为 L=2a+2c.(3) PF1∥PF2=2b21+cosθ.(4). 焦点三角形的而积为: S=12PF1∥PF2sinθ=b2tanθ2.双曲线焦点三角形主要结论如图, F1、F2 是双曲线的焦点, 设 P为双曲线上任意一点, 记 ∠F1PF2=θ, 则 △PF1F2的面积S=b2tanθ2椭圆、双曲线焦点三角形离心率记∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,∠F1PF2=θ则椭圆的离心率为:e=2c2a=F1F2PF1+PF2=sinθsinα+sinβ.双曲线的离心率为:e=2c2a=F1F2PF1+PF2=sinθsinα−sinβ椭圆焦点弦三角形周长F1,F2 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点，过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点，则 △ABF2 的周长为 4a.(2) F1,F2 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点，过 F2 的直线交椭圆于 A,B 两点，则 △ABF1 的周长为 4a.双曲线焦点弦三角形周长如图1， F1,F2 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点，过 F1 的直线交双曲线同支于 A,B 两点，且 AB=m ，则 △ABF2 的周长为 4a+2m.椭圆焦点弦三角形面积公式F1、F2 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点，过 F2 倾斜角为 θ 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，则焦点弦三角形 △F1AB 的面积:S△P1AB=2cpsinθ1−e2cos2θ，其中，p=b2a（2） F1、F2 为椭圆的左、右焦点，过 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，且 AB=m ，则焦点弦三角形 △F1AB 的面积:S△F1AB=b2a−mm双曲线焦点弦三角形面积公式（1）设直线 l 过焦点 F2 且交双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 于 A、B 两点，直线 l 倾斜角为 θ ，双曲线的半通径为 p=b2a ，则双曲线同支焦点弦三角形的面积S△P1AB=2cpsinθ1−e2cos2θ（2） F1、F2 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点，过 F2 的直线 l 与双曲线 C 右支交于 A、B 两点，且 AB=m ，则焦点弦三角形 △F1AB 的面积:S△F1AB=b2a+mm（3） F1、F2 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点，过 F2 的直线 l 与双曲线 C 右支、左支分别交于 A、B 两点，且 AB=m ，则焦点弦三角形 △F1AB 的面积:S△F1AB=bm−2am抛物线焦点弦三角形面积公式设直线 l 过焦点 F 且与抛物线 y2=2pxp>0 交于 A、B 两点，直线 l 倾斜角为 θ ，则焦点弦三角形 △OAB 的面积为S△OAB=p22sinθ题型一、椭圆的焦点三角形周长问题1．（24-25高二上·广西·期末）椭圆的两个焦点为，椭圆上有一点，则的周长为（    ）A．B．12C．D．20【答案】B【分析】根据椭圆的定义直接求解即可.【详解】由题意，所以，故的周长为.故选：B2．（24-25高二上·广东·期中）椭圆的两个焦点分别为，，长轴长为10，点P在椭圆C上，则的周长为（    ）A．16B．18C．D．20【答案】B【分析】根据椭圆的定义和标准方程求解即可得答案.【详解】  因为长轴长为10，即，所以长半轴长，则由题可知,短半轴长，半焦距，故的周长为.故选：B.3．（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知点、是椭圆:的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，则的周长为（    ）A．4B．9C．D．12【答案】D【分析】根据椭圆的定义求解.【详解】根据椭圆方程可得，则，由椭圆的定义得，，，所以的周长为.故选：D.4．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知、是椭圆的两个焦点，过的直线交于、两点，若的周长为，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据椭圆的定义求出的值，由此可求得的值.【详解】因为，则椭圆的焦点在轴上，过的直线交于、两点，若的周长为，则，所以，.故选：C.5．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长，焦距为，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（   ）A．4B．8C．16D．32【答案】D【分析】长轴长为，则，根据椭圆的定义知焦点弦的周长为，即可求解.【详解】因为椭圆方程为，长轴长为，则，的周长为.故选：D题型二、椭圆的焦点三角形面积问题6．（24-25高二上·福建泉州·期中）设点P为椭圆1上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】解法一：利用椭圆焦点三角形的二级结论直接计算即可.解法二：设，根据椭圆定义结合余弦定理可得，进而可得面积.【详解】解法一：根据椭圆焦点三角形的面积公式.解法二：由椭圆方程可知：，设，则，在中，由余弦定理可得，即，可得，所以的面积为.故选：C.7．（24-25高二上·安徽黄山·期中）点是椭圆上一点，点分别是椭圆的左、右焦点，且，则的面积为（    ）A．B．C．D．【答案】B【详解】由题可知，记，，，中，由余弦定理得，又，，.故选：B.8．（23-24高二上·吉林延边·期中）点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ）A．2B．C．D．【答案】B【分析】根据椭圆方程求出，由椭圆的定义可求出，然后利用等面积法可求出P点的纵坐标.【详解】由，得，所以，所以，设的内切圆半径为，因为所以，得.故选：B9．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，当的面积为1时，等于（    ）A．0B．1C．2D．【答案】A【分析】根据题意可得，设，根据面积和方程可得，，结合数量积的坐标运算求解.【详解】由题意可得：，则，设，由题意可得：，解得，代入方程可得，则，又因为，则.故选：A.10．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，则四边形的面积的最大值为（   ）A．20B．24C．18D．28【答案】B【分析】根据已知求出的值，根据对称性可得，当为短轴顶点，即可得到面积的最大值.【详解】由已知可得，，，所以，根据椭圆的对称性可得，点关于原点对称，设，.且，当最大时，面积最大，则此时为短轴顶点，.故选：B.题型三、双曲线的焦点三角形面积问题11．设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ）A．24B．C．D．30【答案】A【分析】先利用题给条件及双曲线定义求得的三边长，进而求得的面积【详解】由，可得又是是双曲线上的一点，则，则，，又则，则则的面积等于故选：A12．（23-24高二上·河南南阳·期末）若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的面积值为（    ）A．4B．8C．12D．16【答案】A【分析】利用椭圆，双曲线的定义求出，进而可求出，，利用余弦定理求出，进而可得，最后利用面积公式计算即可.【详解】不妨设为左焦点，为右焦点，为两曲线在第一象限的交点，则由已知得，则，，，则，所以.故选：A.13．（24-25高二上·山东·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于4，则（   ）A．B．2C．D．4【答案】B【分析】先由的面积得，再由勾股定理结合双曲线的定义以及即可求解.【详解】由题得，所以，因为，所以，则，所以即，又，所以即.故选：B.14．已知是双曲线的左、右焦点，双曲线上一点P满足，则△的面积是 ．【答案】2【分析】假设在左支上，由双曲线定义及已知条件可得，再用余弦定理求，进而求其正弦值，利用三角形面积公式求△的面积.【详解】不妨假设在左支上，则，又，所以，而，则，所以，故，综上，△的面积是.故答案为：2.15．（24-25高二上·浙江台州·期中）设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于 .【答案】24【分析】利用双曲线定义易得，结合得为直角三角形，即可求面积.【详解】由题设，令且，则，即，所以，而，则，所以为直角三角形，且，故其面积为.故答案为：题型四、椭圆、双曲线的焦点三角形离心率问题16．（24-25高二上·山西太原·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，，若椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围为（   ）A．B．C．D．【答案】B【分析】设，，由余弦定理结合椭圆的定义可得出，求出的取值范围，可得出关于、所满足的不等式，求出的取值范围，再由可求得的取值范围.【详解】设，，由椭圆的定义可得，由余弦定理可得，可得，则，设点，则，则，所以，则，因为，则，则，所以，所以，故.故选：B.17．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（   ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据角平分线的对称性质和椭圆的性质得，再结合题设得，进而求出，再结合椭圆的定义以及余弦定理即可求解.【详解】由题意可知，，且，，所以，   因为，所以，所以即，又，所以，所以由余弦定理得， 整理得，所以即.故选：B.【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是抓住角平分线的对称性之和椭圆的几何性质求出，关键2是利用和的关系求出，再在中结合余弦定理即可求解.18．（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知，为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（   ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据题意，由椭圆的对称性可得，结合椭圆的定义和勾股定理求得答案.【详解】如图，由得，，所以是直角三角形，  又由椭圆是中心对称图形，可知四边形是平行四边形，即，又，，则，，又因为，是直角三角形，所以，即，即，所以．故选：B．19．（22-23高二上·浙江台州·期中）已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】设椭圆的左焦点为，连接、、，推导出四边形为矩形，设，在中，利用勾股定理可解得，然后在中，利用勾股定理可求得椭圆的离心率的值.【详解】解：如图，设椭圆的左焦点为，连接、、，由题意可知，、关于原点对称，且为的中点，所以四边形为平行四边形，又因为，所以四边形为矩形.因为，设，，则，，所以，，在中，，即，解得，或（舍去），所以，，，在中，由勾股定理可得，即，整理可得，解得.故选：C.20．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点为为在第一象限的两个动点，且，若，则的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】结合椭圆定义在中由余弦定理求得，同理在中利用余弦定理可得，再由可得关系，进而得离心率.【详解】连接，设，则，在中，由余弦定理可得，即，解得，即.由可知，在在中利用余弦定理可得，同理可解得，又因为，即，所以．故选：A.21．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设椭圆的两焦点分别为，以为圆心，为半径的圆与交于，两点，若为直角三角形，则的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】分析可知，则，结合椭圆定义求离心率即可.【详解】如图所示，因为为直角三角形，则，可得，则，所以的离心率.故选：B22．（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A是，在第一象限内的交点，若，则下列选项正确的是（   ）A．双曲线的渐近线为B．椭圆的离心率为C．椭圆的方程为D．的面积为【答案】D【分析】根据双曲线的渐近线方程即可求解A，根据双曲线的定义以及椭圆定义可得椭圆方程为，即可求解BC，根据余弦定理可得，即可求解正弦，根据面积公式即可求解D.【详解】对于A, 双曲线的渐近线为,故A错误，对于B，由于，则，根据双曲线的定义可得，故，设椭圆方程，则，故，又，故，则椭圆方程为，C错误，离心率为，B错误，对于D，,故，故的面积为,故D正确，故选：D23．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】设与轴交点为，连接，由双曲线的定义和对称性，结合已知条件得，有且，可求离心率的取值范围.【详解】设与轴交点为，连接，由对称性可知，又因为，所以，所以，又因为，所以，在中，，所以，所以，由，且三角形内角和为，所以，所以，即，则，综上：.故选：.24．（23-24高三上·河北保定·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N是上的两点，满足，且，则的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意，利用双曲线焦点三角形的性质，推出，再由勾股定理求出的关系即可得出离心率.【详解】如图，延长与交于点， 因为，则，根据对称性可知.设，则，可得，即，所以，则，即，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.故选：A.25．（24-25高二上·江苏徐州·期中）双曲线的左、右焦点分别为，，点P是其右支上一点．若，，，则双曲线C的离心率为（   ）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用向量法得：，然后结合双曲线定义：和余弦定理即可求解.【详解】由双曲线的几何性质，可知点是线段的中点，则，即，所以，解得，所以，故，由，解得，所以，故C项正确.故选：C.题型五、椭圆的焦点弦三角形周长问题26．已知P是椭圆上一点，点分别是椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于另一点A，则的周长为（    ）A．10B．16C．20D．40【答案】D【解析】由题意可得，，再由椭圆的定义知，的周长为，即可得到答案.【详解】由题意，，又由椭圆定义知，，，即的周长：.故选：D.【点睛】本题考查了椭圆的定义的应用，属于基础题.27．已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为6，点，直线与交于A，B两点，且为AB中点，则的周长为 ．【答案】【分析】设A，B两点坐标分别为，利用点差法可得，结合，即可求得a的值，再结合的周长为4a，即得答案.【详解】由题意知，设A，B两点坐标分别为，两式相减得，由题意为AB中点，则，代入整理得．即由题意知，因此，所以，由焦距为6，解得．由椭圆定义知的周长为．故答案为：28．（24-25高二下·上海·期末）直线与椭圆交于，两点，为椭圆左焦点.则周长最大值是 .【答案】8【分析】设椭圆右焦点为，连接，.根据三角形三边关系可得，当且仅当，，三点共线时等号成立.故周长.根据椭圆的定义及椭圆的标准方程，即可求解周长最大值为.【详解】  如图所示，设椭圆右焦点为，直线交轴于点，连接，.则根据三角形三边关系可得，当且仅当，，三点共线时等号成立，即点与点重合.∴周长.根据椭圆的定义及椭圆的标准方程可知：，∴，即周长最大值为.故答案为：.题型六、椭圆的焦点弦三角形面积问题29．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是20，则（   ）A．5B．C．D．10【答案】D【分析】求出，由三角形的面积得到面积为10，设，则，将代入中得，求出，得到.【详解】由题意得，故，故，因为的面积为20，所以面积为10，设，则，解得，将代入中得，故，则.故选：D30．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）．A．B．C．D．【答案】C【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可.【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，因为直线与椭圆相交于点，则，解得，设到的距离到距离，易知，则，，，解得或（舍去），故选：C.31．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，直线与交于两点，则的面积与面积的比值为（    ）A．3B．2C．D．【答案】B【分析】将所求面积比转化为的比，再利用点线距离公式即可得解.【详解】根据题意可得，，又直线可化为，设到直线为的距离分别为，则.故选：B.32．（24-25高二上·福建福州·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过倾斜角为的直线交椭圆于、两点，的周长为，则下列说法正确的是 （     ）A．B．当时，C．的最大值为D．面积最大值为【答案】ABD【分析】利用椭圆的定义可求出的值，可判断A选项；利用弦长公式求出的最小值，结合椭圆的定义可判断C选项；利用弦长公式可判断B选项；利用三角形的面积公式结合函数单调性可判断D选项.【详解】对于A选项，的周长为，则，故A项正确；对于BCD选项，若直线与轴重合时，，当直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、，联立可得，，由韦达定理可得，，所以，，当且仅当时，即当轴时，等号成立，故，所以，，故C项错误；当时，，此时，，故B项正确；由题意可知，直线不与轴重合，由上可知，点到直线的距离为，所以，，令，则，令，其中，由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，故面积的最大值为，故D项正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．33．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）椭圆的左､右焦点分别为，点在上，直线过左焦点，且与椭圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则的面积等于 .【答案】【分析】根据点可得椭圆方程，即可得的方程为，联立直线与椭圆方程得韦达定理，利用弦长公式以及点到直线的距离公式，结合面积公式即可求解.【详解】已知点在椭圆上，可得，所以，又因为直线的斜率，所以的方程为.设，联立方程组消去得，可得，所以，点到直线的距离，所以.故答案为:.题型七、双曲线的焦点弦三角形周长问题34．（2025·广东深圳·一模）已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为 ．【答案】12【分析】由，，可得为，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出，再由双曲线的定义即可求解周长.【详解】因为，，所以直线为，设，由，得，则，所以，因为，，所以，所以故答案为：1235．（2024·黑龙江·二模）已知双曲线的离心率为，其左､右焦点分别为，过作的一条渐近线的垂线并交于两点，若，则的周长为 .【答案】【分析】由离心率得出，可得双曲线方程为，然后由求得，再根据双曲线的定义求得三角形周长．【详解】由题意，即，化简和是，，因此双曲线方程为，右焦点为，渐近线方程为，不妨设直线方程为，设，由得，，，，所以，解得，从而，由双曲线的定义可得，所以，从而的周长为，故答案为：．【点睛】关键点点睛：在双曲线中弦过焦点，则焦点的周长是（其中）．题型八、双曲线的焦点弦三角形面积问题36．已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（    ）A．18B．10C．9D．6【答案】C【分析】由已知可得四边形为矩形，从而可得，，由双曲线的性质可求得，从而可得，利用勾股定理及双曲线的定义可求得，由三角形面积公式即可得解．【详解】直线与双曲线交于，两点，若，则四边形为矩形，所以，，  由双曲线可得，，则，所以，所以，又，所以，解得，所以．故选：C．37．（23-24高二上·北京通州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与C交于，两点，若面积是面积的2倍，则m等于（    ）A．6B．C．D．【答案】D【分析】利用面积关系，得到线段比例关系，设出直线与轴交点后求参数即可.【详解】易得，故，设，，直线与轴交点，面积为，面积为，由题意得面积是面积的2倍，则，化简得，结合，故，解得，即，故，解得.故选：D.38．（24-25高二上·广西河池·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，，是双曲线上关于原点对称的两点，并且，则的面积等于（   ）A．B．C．D．【答案】B【分析】连接，，，，由条件证明四边形为矩形，利用勾股定理和双曲线定义联立求出的值，代入三角形面积公式即得.【详解】由双曲线的对称性以及，是双曲线上关于原点对称的两点可知，，，三点共线，连接，，，，，则四边形为矩形，所以，，  由双曲线可得，，则，所以，所以，又，所以，解得，所以.故选：B.39．（23-24高三上·河北唐山·期末）已知双曲线：的左、右焦点为，，，P为双曲线右支上一点，，的内切圆圆心为M，与的面积的差为1，则双曲线的离心率（    ）A．2B．3C．D．【答案】A【分析】根据的关系可得，再根据通径可得，，结合内切圆的性质以及面积关系可得，即可得离心率.【详解】因为，即，可得，又因为，可知，，可得，设的内切圆的半径为，由题意可得：，即，由的面积可知：，即，整理得，即，解得，即，所以双曲线的离心率.故选：A.【点睛】方法点睛：双曲线离心率（离心率范围）的求法：求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．题型九、抛物线的焦点弦三角形面积问题40．（23-24高二上·江苏·期中）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若面积是面积的两倍，则＝（    ）A．4B．C．5D．【答案】B【分析】当直线l的斜率为0时，不合要求，设过F的直线l的方程为，与抛物线联立后得到两根之和，两根之积，根据面积之比得到，从而求出，，进而由抛物线焦点弦公式进行计算.【详解】由题意得，当直线l的斜率为0时，此时与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去；设过F的直线l的方程为，与抛物线联立得，，设，，则，因为面积是面积的两倍，所以，则，解得，则，则，解得，故，  则.故选：B41．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线过点且与交于两点，且，与的面积之比为，其中为坐标原点，则 .【答案】1【分析】过焦点的直线方程与抛物线联立，再根据根与系数关系，利用三角形的面积比和弦长求解.【详解】由对称性，不妨设,分别在第一、四象限，则,,设直线方程,联立,整理得，,,,由与的面积之比为，可得，则,,则，得，,解得，.  故答案为：1.【点睛】本题解题关键是设出直线PQ，联立抛物线方程，将与面积比转化为P，Q的纵坐标关系，结合PQ的长度可得解.42．（2023·四川成都·模拟预测）为：的焦点，点在曲线上，且在第一象限，若，且直线斜率为，则的面积（    ）A．1B．C．2D．【答案】B【分析】根据题意求出点坐标，即可求的面积.【详解】  如图，设点，，所以，由题意，所以，得，或（舍去），所以，，故选：B43．（23-24高三下·江苏常州·开学考试）抛物线的焦点为，对称轴为，过且与的夹角为的直线交于两点，的中点为，线段的中垂线MD交于点.若的面积等于，则等于（    ）A．4B．C．2D．【答案】A【分析】不妨设抛物线方程为：，写出直线方程，根据条件求出，然后再利用抛物线的焦点弦弦长公式得到结论.【详解】不妨设抛物线方程为，则就是轴，点坐标为.如图：因为直线过焦点，且倾斜角为，所以直线的方程为：，代入抛物线方程，消去，得：，整理得：.设，，则.所以：.所以.所以直线的方程为：.令得，即点坐标为：所以.所以：.故选：A44．（2024·河南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若的面积是的面积的两倍，则（    ）A．2B．C．D．【答案】C【分析】有的面积是的面积的两倍可得，设出直线方程联立曲线，得到相应韦达定理即可计算出、，即可得解.【详解】令为点到直线的距离，则，,由，故， 由抛物线定义可知，，，则有，即，设直线方程为，联立抛物线方程，有，，故，，则，则有，故，有，故或（负值舍去），则，故.故选：C.45．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于在第一象限）两点，为坐标原点，若，则的面积是（    ）A．B．6C．D．12【答案】C【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，利用转化为，再结合韦达定理与抛物线定义求解即可.【详解】设直线，，，其中.联立整理得0，其中恒成立，则①．因为，即，所以，即代入①式得，解得，所以，且，因为，则，所以，所以由抛物线定义得，解得，则的面积．故选：C.46．（24-25高二下·湖南·阶段练习）设为坐标原点，直线与抛物线交于、两点，与的准线交于点．若，为的焦点，则与的面积之比为（   ）A．B．C．D．【答案】C【分析】分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为、，可知，利用抛物线的定义结合三角形相似可求出的值.【详解】如图，分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为、，由抛物线的定义可得，，抛物线的焦点，直线+2过定点，，，，．故选：C.47．（2025·北京顺义·一模）已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于不同的两点A，B，为坐标原点，直线与交于点M，若，则的面积等于（    ）A．B．C．D．2【答案】A【分析】根据以及抛物线定义可得直线的斜率，则可求，以及坐标，即可得点到直线的距离，最后利用面积公式即可.【详解】如图，过点作，直线与轴分别交与点，设，则，因，则，得，则，则，故直线的斜率为，直线的方程为，与联立得，解得，则直线：，，得故点到直线的距离为，故的面积为.故选：A48．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知抛物线，过动点作两条相互垂直的直线，分别与抛物线相切于点，则面积的最小值是（    ）A．6B．9C．12D．18【答案】B【分析】设直线与抛物线联立方程，建立等式化简计算可得，，同理可得，，有，设直线与抛物线联立方程，建立等式计算可得，而在直线,上，建立等式计算可得，根据三角形面积公式计算即可.【详解】设，因为点作两条相互垂直的直线，分别与抛物线相切于点，所以直线,斜率均存在，故设直线，则，所以，因为，代入化简得，得，所以直线，整理得，设直线，同理可得，所以，即，设直线，，所以，，得，因为抛物线的焦点为，所以设直线恒过抛物线焦点，而在直线,上，所以，即是方程是方程的两实数根，所以，解得，即所以，设到直线的距离为，则，所以，当时，面积的最小为.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键根据切线方程与抛物线建立等式计算可得，直线与抛物线建立等式可得直线经过抛物线的焦点；在直线,上，得是方程方程的两相异实数根，利用根与系数的关系建立等式求得，最后根据三角形面积公式计算可得.综合攻坚 能力跃升一、单选题1．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（   ）A．B．2C．D．4【答案】C【分析】利用三角形面积公式、完全平方公式、关系式及双曲线定义即可求解.【详解】因为，所以，即，由双曲线定义可得，所以，即，又，所以，所以，解得.  故选：.2．（24-25高二上·陕西汉中·期中）已知过椭圆中心的直线交椭圆于两点，是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为（   ）A．7B．8C．9D．10【答案】D【分析】根据椭圆的定义求出，再由，即可求解.【详解】由椭圆的对称性可知，两点关于原点对称，设椭圆的另一个交点为，则四边形为平行四边形，由椭圆的定义可知：，又，所以，又直线过原点，所以，所以的周长的最小值为：.故选：D  3．（24-25高二上·河南·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一个动点，若的面积的最大值为，则（   ）A．B．3C．9D．7【答案】D【分析】根据的面积为，即可求解.【详解】根据题意可知椭圆半焦距，设点,，，那么，所以的面积，所以，所以，化简得，即或9．又因为，解得，因此．故选：D．4．（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线与交于两点，若（为坐标原点，表示面积），则的离心率为（   ）A．B．C．D．【答案】D【分析】先设直线方程再联立方程组，结合韦达定理及面积关系列式求出离心率即可.【详解】设椭圆的半焦距为，则直线的方程为，设，由得，因为点在的内部，所以，又，所以，将代入，可得，再将代入，可得，又，所以，故的离心率．故选：D.二、多选题5．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），，则（    ）A．B．C．最小值为4D．当直线的倾斜角为时，与面积之比为3【答案】BCD【分析】由抛物线的几何性质，即可判断A；利用方程联立，由焦半径和焦点弦长公式，结合韦达定理，即可判断BC，直线方程与抛物线方程联立，求点的坐标，即可判断D.【详解】由题意可知，，所以，故A错误；当直线的斜率存在时，设直线，，联立，得，其中，，，当直线的斜率不存在时，，此时，故B正确；直线的斜率存在时，，当直线的斜率不存在时，，所以最小值为4，故C正确；设直线，联立，得，得或，由题意可知，，,所以,故D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题的关键是灵活应用焦半径和焦点弦长公式，利用韦达定理，变形公式.三、填空题6．（22-23高二·全国·课后作业）椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且，则的面积是 【答案】【分析】根据焦点三角形的性质，结合余弦定理即可得，由面积公式即可求解.【详解】由题意可得，又，所以在中，,即，所以，故，故,故答案为： 7．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知是椭圆上的一点，且以点及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，则 .【答案】【分析】由椭圆得标准方程，可得焦点坐标，利用焦点三角形得面积与椭圆方程，可得点的坐标，可得答案.【详解】由椭圆，则，，所以，，设，由的面积为，则，解得，不妨设在第一象限，当时，，解得，.故答案为：.【点睛】8．（23-24高二上·江西·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，的延长线交椭圆C于点Q，且，的面积为，记与的面积分别为，，则 ．【答案】/【分析】用椭圆的定义和焦点三角形中余弦定理得到的结论为突破口，结合三角形的面积公式解决问题.【详解】不妨设，，焦距，如图：由的面积为，得，由余弦定理，得，则，所以，即，所以，所以，易得，，所以，所以，，所以，所以，所以，，所以．故答案为：9．（23-24高二上·安徽·期末）已知抛物线，过该抛物线焦点的直线与该抛物线相交于两点（其中点在第一象限），当直线的倾斜角为时，，为坐标原点，则面积的最小值为 ．【答案】【分析】结合题意求出,设直线，结合韦达定理表示出面积，结合基本不等式即可求解.【详解】如图所示，分别过向准线作垂线，垂足分别为、，过作的垂线，垂足为，当直线的倾斜角为时，结合题意易得，所以，即，设，，满足，，设直线，代入抛物线方程，可得，，所以，当时，三角形面积取最小值，此时最小值为．故答案为：．10．（22-23高三下·海南海口·阶段练习）已知双曲线，，分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线上的第一象限内的点，点为△的内心，点在轴上的投影的横坐标为 ，△的面积的取值范围为 .【答案】 3 【分析】先由双曲线的定义得到点在上垂足为右顶点，设出渐近线的倾斜角为，则，，则，求出，从而求出，求出△的面积的取值范围.【详解】由题意得：，故，设点，且在上垂足为H，根据双曲线定义及切线长定理得：，又，解得：，所以点H坐标为，即横坐标为3；渐近线的倾斜角为，则，记，则，所以，即，又，解得：(负值舍)，所以，则，所以.故答案为：3，【点睛】方法点睛：双曲线焦点三角形的内切圆圆心位于顶点的正上方或正下方，这个二级结论在双曲线有关于内切圆的题目时，经常用到，需要掌握.