专题02 直线与圆中的求解方程综合15大重点题型（专项训练）

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专题02 直线与圆中的求解方程综合15大重点题型（解析版） 高二数学选择性必修一 题型建模 专项突破 题型一、中线方程 1．（24-25高二上·安徽·期中）已知的三个顶点分别为，则边上的中线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点坐标公式可得边的中点坐标为，可得边上的中线的斜率，由点斜式可得边上的中线所在直线的方程. 【详解】因为， 设边的中点为，则，即， 又，所以， 故边上的中线所在直线的方程为，即． 故选：D. 2．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知中有，，且，则边上的中线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求得的中点坐标，再求出与垂直的直线的斜率，由直线方程的点斜式得答案． 【详解】由，可知边上的中线所在的直线即为边的垂直平分线， 由，，可得边的中点为，又， 所以边上的中线所在直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线方程为，即. 故选：D. 3．（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据中点坐标以及中点坐标公式即可根据点斜式方程求解. 【详解】的中点坐标为, 则,故边上的中线所在直线方程为， 即， 故答案为： 题型二、高线方程 4．（24-25高二上·广东茂名·期中）已知，，三点，则的边上的高线所在直线的斜率是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】边上的高线垂直于边，通过边的斜率即可求出高线的斜率. 【详解】∵，∴. 故选：B. 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知三边所在直线方程分别为，则边上的高所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，边上的高必过点B，联立、得出交点B，设边上的高所在直线的斜率为，根据互相垂直直线斜率乘积为解出斜率，求出直线所在方程. 【详解】设边上的高所在直线的斜率为，则有， 联立、方程，得交点， 中边上的高过点，斜率为，所在直线的方程为， 即． 故选：A. 6．（24-25高二上·四川绵阳·期中）在△ABC中，已知，边的中线所在的直线方程为：，边的高线所在的直线方程为：，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由和的方程求出点，设，分别利用的中点在直线上与，建立方程组，求得点，最后利用点斜式求出直线方程即可. 【详解】由解得：，即, 设点，则的中点在直线上，故得① ，又,则得：，即②， 联立① 和② ，解得：，即， 所以直线的斜率为， 于是直线的方程为：，即. 故选：D. 7．（2023高三·全国·专题练习）在中，已知，边上的高线所在的直线方程为，边上的高线所在的直线方程为.则边所在的直线方程为 . 【答案】 【分析】由边上和边上的高线所在的直线方程，可得边和边所在直线的斜率，再由点坐标，可求边和边所在直线的方程，通过联立方程组，求出两点的坐标，可求边所在的直线方程 【详解】边上的高线所在的直线方程为，得， 边上的高线所在的直线方程为，得 已知，则AC边所在的直线方程为，即， 则AB边所在的直线方程为，即. 由，得． 由，得． 则BC边所在的直线方程为，即. 故答案为：. 8．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）已知的三个顶点分别为、、. (1)求直线的一般式方程； (2)求边上的高线所在直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写出直线的两点式方程，然后化为一般方程即可； （2）求出直线的斜率，可得出边上的高线所在直线的斜率，可得出边上的高线所在直线的点斜式方程，化为斜截式方程即可. 【详解】（1）解：因为点、， 所以，直线的方程为，整理得， 即直线的一般式方程为. （2）解：因为点、，则， 所以，边上的高线所在直线的斜率为， 又，所以，边上的高线所在直线的方程为，即， 即边上的高线所在直线的斜截式方程为. 题型三、中垂线方程 9．已知点，点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 首先求出线段的中点与，从而得到，再由点斜式求出直线方程. 【详解】因为点，点， 所以线段的中点为，且， 所以，则线段的垂直平分线的方程为， 即. 故选：A 10．）已知直线与圆交于A，B两点，则线段的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据互相垂直两直线斜率之间的关系、圆的几何性质进行求解即可. 【详解】由，圆心坐标为， 由，所以直线的斜率为， 因此直线的垂直垂直平分线的斜率为， 所以直线的垂直垂直平分线方程为：， 故选：A 11．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知三角形的三个顶点、、，则边所在直线方程是 ，边上的垂直平分线所在直线的方程是 . 【答案】 【分析】根据两点斜率公式求直线斜率，进而根据点斜式即可写出直线的方程. 【详解】由题知：,所以方程为，即， 中点,, 所以边上的垂直平分线所在直线的方程为，即， 故答案为：，. 12．（24-25高二上·广东广州·期中）已知两点，，直线为线段AB的垂直平分线，则直线的方程为 ；直线与坐标轴所围成的三角形的面积为 【答案】 【分析】求出AB的中点坐标和直线AB的斜率，从而得到直线的斜率为，利用点斜式写出直线的方程，化为一般式，再求出直线与两坐标轴的交点，得到三角形面积. 【详解】AB的中点坐标为， ，故直线的斜率为， 故直线的方程为，即； 中，令得，令得， 故与两坐标轴的交点坐标分别为和， 故线与坐标轴所围成的三角形的面积为. 故答案为：； 题型四、角平分线方程 13．在中，若，，，则的角平分线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质，结合直线的两点式方程进行求解即可. 【详解】如图所示： 的角平分线所在直线与横轴的交点为， 由角平分线的性质可知：， 所以的角平分线所在直线的方程是， 故选：B    14．已知，，若的角平分线所在直线方程是，则直线方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是点关于直线的对称点、直线关于直线的对称直线，可通过设B的对称点，再根据对称性质进行求解． 【详解】分析试题：由题意可知直线和直线关于直线对称．设点关于直线的对称点为，则有，即．因为在直线上，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即． 故A正确． 【点睛】解决直线的对称性问题对考生来说相对较抽象，可结合草图来加强理解． 15．（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，则角平分线所在直线斜率为 ． 【答案】/ 【分析】在坐标系中描点连线判断出为等腰三角形，得出角平分线所在直线的斜率即为中线的斜率，即可求解． 【详解】如下图：在平面直角坐标系中，描出，   ，， 所以为等腰三角形，则的角平分线也为中线， 边的中点为，所以角平分线所在直线斜率为：， 故答案为：． 16．已知的顶点，，一条角平分线所在直线为，则点A坐标为 . 【答案】 【分析】点A在直线上，求点关于直线的对称点，由角平分线的性质，点在直线AB上，可求直线AB的方程，与直线联立方程组，可求点A坐标. 【详解】如图所示，可知点A在直线上，    令点为点关于直线的对称点. 由于直线CD与直线垂直，且线段CD的中点在直线上， 于是就有，解得，因此点D的坐标为. 根据对称性可知点在直线AB上，又点B的坐标为， 于是直线AB的方程为，即. 由，解得，得点A的坐标为. 故答案为： 17．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知直线：，：，直线与交于点 (1)求过点且与垂直的直线的方程； (2)点是直线上异于的一点，若为的角平分线，求点所在的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，再写出点斜式方程即可； （2）取点，求出其关于直线的对称点坐标，再利用点斜式方程即可. 【详解】（1）令，则，解得， 则，因为直线的斜率，则， 则直线的方程为，即. （2）取点，设其关于直线的对称点， 则，解得. 则点所在的直线的方程，即.    18．（24-25高二上·福建·期中）已知直线过点，且的一个法向量是. (1)求直线的方程； (2)若直线与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求的角平分线所在的直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据直线的点法式方程可得出直线的方程； （2）求出点的坐标，可得出直线的斜率，分析可知，，可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （3）设直线的倾斜角为，分析可知，，则的角平分线所在的直线的倾斜角为，利用两角和的正切公式可求出角平分线所在直线的斜率，再利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】（1）因为直线的一个法向量是， 又过点所以可得直线的方程为， 化简得，所以所求直线的方程为. （2）因为直线与轴交于点，由（1）知的方程为，所以， 因为，所以， 将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为， 则，所以. 由点可知直线方程为，即. （3）设直线的倾斜角为，因为， 所以，，则， 所以，的角平分线所在直线的倾斜角为， 则的角平分线所在直线的斜率为 ， 因此，的角平分线所在直线的方程为，即. 题型五、直径端点对应的圆的方程 19．（23-24高二上·北京朝阳·期末）以为直径端点的圆的方程是 . 【答案】 【分析】利用直径端点求出圆心和半径，再用标准方程求解即可. 【详解】是直径端点， 由两点间距离公式得直径长为，故半径为， 且设圆心为，由中点坐标公式得圆心， 故圆的方程为. 故答案为： 20．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出半径，即可得到圆的方程． 【详解】由题意可知是，的中点为是， 则圆的半径为， 故圆的方程为. 故选：D． 21．以，为直径两端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由中点坐标公式求出圆心坐标，两点间距离公式求出圆的直径，得解. 【详解】，， 的中点坐标为， 以为直径的圆的圆心为，又， 圆的半径为1， 以为直径的圆的方程为即. 故选：A. 题型六、外接圆方程 22．（24-25高二上·天津滨海新·期中）已知点外接圆的方程是 【答案】 【分析】设圆的一般方程，将三个圆上的点的坐标代入圆方程得到方程组，求得方程组的解，即可得到圆的一般方程. 【详解】设所求圆的方程为． 由已知，点的坐标满足上述方程，分别代入方程， 可得关于的三元一次方程组， 解方程组得， 于是得到所求圆的一般方程为． 故答案为：. 23．（24-25高二上·海南·阶段练习）的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出的外接圆方程，将，，代入即可求解. 【详解】设的外接圆方程为， 所以，解得， 所以外接圆的方程为. 故选：. 24．已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形周长取最小值时，四边形的外接圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用切线长定理求出四边形周长最小时点M的坐标即可求解作答. 【详解】圆的圆心，半径，点C到直线l的距离， 依题意，，四边形周长， 当且仅当时取“=”，此时直线，由得点， 四边形的外接圆圆心为线段中点，半径，方程为. 故选：D 25．过点作圆的两条切线，切点分别,为坐标原点，则的外接圆方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，，四边形的四个顶点在同一圆上，此圆的直径是，外接圆就是四边形的外接圆. 【详解】由题意知，，， 四边形有一组对角都等于， 四边形的四个顶点在同一圆上， 此圆的直径是，的中点为， ，四边形的外接圆方程为， 外接圆的方程为. 故选：A 【点睛】本题考查了圆的标准方程，需熟记圆的标准方程的形式，属于基础题. 26．（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆方程为，代入三点坐标求出系数即可. 【详解】设的外接圆方程为， 因为，，， 所以，解得， 所以的外接圆方程为. 故选：D. 题型七、内切圆方程 27．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知三点，点P为内切圆上一点，则点P到直线的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点距离公式判断得，进而利用三角形等面积法求得内切圆的半径，再利用直线与圆相切的性质数形结合求得内切圆的圆心，从而利用点线距离公式即可得解. 【详解】因为， 所以，， 则，故， 所以， 设内切圆的圆心为，半径为， 则，解得， 又由可知轴，故，则， 由可知轴，故，则， 所以内切圆的圆心为， 则圆心到直线的距离为， 所以点P到直线的最小距离为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用两点距离公式发现是直角三角形，进而求得内切圆的半径，从而得解. 28．（2024高三·全国·专题练习）在中，，，，P是内切圆上的动点，求点P到的三个顶点的距离的平方和的最大值和最小值． 【答案】最大值为，最小值 【分析】建系，根据几何知识可求内切圆方程，设，建立函数关系，用配方法化归为一次函数区间上的最值问题． 【详解】由题意可知：，内切圆半径， 如图建系，则，，， 则内切圆圆心为，其内切圆方程为， 设是圆上的动点，可知， 则 ． 原题意即求S在上的最值，且在上单调递减， 由单调性得，． 29．已知三角形三边所在直线的方程分别为、和，求这个三角形的内切圆圆心和半径． 【答案】圆心；半径为. 【分析】由三角形所在位置设出其内切圆圆心坐标，利用三角形内切圆性质列方程，求解作答. 【详解】依题意，由得直线与的交点， 由得直线与的交点， 由得直线与的交点， 显然，且，即是等腰直角三角形，则直线平分， 设的内切圆圆心为，，则，解得， 即，半径， 所以这个三角形的内切圆圆心和半径分别为圆心，. 30．已知，，为的三个顶点，圆Q为的内切圆，点P在圆Q上运动. (1)求圆Q的标准方程； (2)求以，，为直径的圆的面积之和的最大值、最小值； (3)若，，求的最大值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）先判断出为直角三角形，利用面积关系求出内切圆的半径，结合图形求出圆心坐标，然后可得圆Q的标准方程； （2）设，利用两点间的距离公式和圆的面积公式将圆的面积之和表示为的函数，根据可求出结果； （3）根据对称性，只研究P点在x轴上方，即的情况，此时先求出的最大值，然后根据同角公式可出的最大值. 【详解】（1）因为，，，所以为直角三角形，如图： 设的内切圆的半径为， 由得， 由图可知，圆心为，所以圆. （2）设，， ， ， ， ， 因为，所以， 所以以，，为直径的圆的面积之和的最大值、最小值分别为，. （3）设，则， 根据对称性，只研究P点在x轴上方，即的情况， 当垂直x轴时，，， 当垂直x轴时，，， 当和都不垂直轴时，，， ， 因为为点与的斜率， 如图： 由图可知，当直线与圆相切时，取得最小值， 设直线：，即， 则，结合，得， 所以，， 因为，所以， 由于，所以当取最大值时，取最大值，取最大值， 所以. 题型八、切线方程与切点弦方程 31．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求的值, 然后求圆心坐标，接着求圆心与点连线的斜率，最后求圆在点处的切线方程. 【详解】因为圆经过点， 将点代入圆的方程可得：.即，所以， 则圆的方程为. 对于圆，其圆心坐标为，所以此圆的圆心.： 根据斜率公式，这里，，则. 因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为和，则. 已知，所以切线的斜率. 又因为切线过点，根据点斜式方程（这里）， 可得切线方程为.整理得. 故选：A. 32．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知圆C：，过点作圆C的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式求出切线的斜率，再求直线方程即可，特别要注意直线斜率是否存在. 【详解】因为，所以圆心，半径， ①当切线斜率不存在时，无法与圆相切，舍； ②当切线斜率存在时，不妨设，则，解得. 所以切线方程为. 故选：D. 33．（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆E的方程可得圆心E的坐标，将P点的坐标代入圆的方程，可得P点在圆上，求出直线PE的斜率，得到过P点的切线的斜率，再求出过P点的切线方程. 【详解】由圆的方程，可得圆心坐标为， 将的坐标代入圆的方程，得，则点在圆上， 又，所以过点与圆相切的直线的斜率为1， 所以过点的切线方程为，即. 故选：D. 34．（24-25高二上·安徽·期末）已知圆点P是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当取得最小值时，直线的方程为 . 【答案】 【分析】由题意可得最小时，直线，求得直线的方程，联立方程组求得，进而求得以为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减可求得直线的方程. 【详解】取最小值四边形面积最小直线， 此时直线方程为，与直线联立求出点， 以为直径的圆的方程为，又圆， 两圆方程左右两边相减可得直线的方程为. 故答案为：. 35．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求得其中一个切点的坐标，并求出的斜率即可求解. 【详解】由题意，圆的半径为圆的标准方程为． 当斜率不存在时，过点的直线为，与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，， 直线AB的方程为，即． 故选：A. 36．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知，直线，为上的动点.过点作的切线，切点为，当四边形面积最小时，直线的方程为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何性质可得当最小时四边形面积最小，求出四边形外接圆的方程后可求直线的方程. 【详解】由题意可知，. 故四边形的面积. 由圆得①， 圆心，半径，即.    要使四边形面积最小，即最小， 又，即求的最小值. 当直线与垂直时，最小. 直线的斜率，则方程为即. 联立得，即 . 中点，则四边形外接圆为②， 直线方程为①-②，即. 故选：C. 题型九、中点弦方程 37．（24-25高二上·重庆·阶段练习）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂径定理可知，，结合直线的位置关系，即可求解. 【详解】圆 的圆心为，而点， 所以 由题意可知，， 则，所以 所以弦所在的直线的方程为， 即. 故选：A. 38．（24-25高二上·河北唐山·期中）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的方程确定圆心坐标，再由垂直关系及斜率两点式求弦斜率，最后应用点斜式写出直线方程. 【详解】由题设，圆心为，则， 故弦所在直线方程，即为. 故选：D 39．若圆的弦被点平分，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若圆心，根据题设知求出直线的斜率，应用点斜式写出直线方程即可. 【详解】由题设，直线过，若圆心，则，即， 由，则，故直线方程为， 所以直线的一般方程为. 故选：A 40．已知圆. (1)若直线与圆相交于两点，弦的中点为，求直线的方程； (2)若斜率为1的直线被圆截得的弦为，以为直径的圆经过圆的圆心，求直线的方程. 【答案】(1)（或 (2)或 【分析】(1)由条件可得，由此可求直线的斜率，由点斜式求直线的方程；(2)由条件可求到直线的距离，利用待定系数法求直线的方程. 【详解】（1）圆，得圆心，半径， 直线的斜率：， 设直线的斜率为，有，解得. 所求直线的方程为：.（或 （2）直线m被圆C截得的弦EF为直径的圆经过圆心C， ∴ 圆心C到直线的距离为. 设直线方䄇为，则 解得或 直线的方程为：或 41．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知圆内有一点，过作直线与圆交于，两点. (1)若弦被点平分，求直线的方程. (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当弦被点平分时，根据圆的性质可知与直线垂直，通过求出的斜率，进而得到直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程. （2）已知弦长，先根据圆的半径和半弦长以及圆心到直线的距离的关系求出圆心到直线的距离，然后分直线斜率存在和不存在两种情况进行讨论，分别求出直线的方程. 【详解】（1）圆的方程为，圆心，已知. 根据两点间斜率公式，可得. 弦被点平分时，，设直线斜率为，则，所以. 已知直线过点，斜率为，根据点斜式方程， 可得直线的方程为，即. （2）设圆心到直线的距离：圆的半径，已知. 根据圆的弦长计算公式，可得，所以. 当直线的斜率不存在时：直线的方程为. 此时圆心到直线的距离为，满足圆心到直线的距离， 所以是直线的一个方程. 当直线的斜率存在时：设直线的方程为，即. 圆心到直线的距离. 即，两边平方得.展开得，移项，解得. 所以直线的方程为. 综上所得，线的方程为或. 题型十、直线中的轨迹方程 42．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知点为动点，且的面积为1，则动点的轨迹方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由题意求得，进而可求点到直线的距离，根据动点的轨迹是与平行的直线，设直线方程为，计算即可得出结果. 【详解】由可知，直线的方程为 的面积为点到直线的距离， 动点的轨迹是与平行的直线，设直线方程为， 则或 动点的轨迹方程为或. 故选：D 43．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，用点的坐标表示出点的坐标，再代入直线的方程化简即得. 【详解】设点，由，得点，又点在直线上， 因此，整理得， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 44．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知两点坐标分别.直线相交于点，且它们的斜率之和是3，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题先设K点的坐标，根据斜率之和为3列出方程，化简即可得出结果. 【详解】设，则直线的斜率为，直线的斜率为， 依据题意可知，，化简得：， 因为直线、的斜率存在，所以， 所以， 故选：A. 45．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知A，B两点的坐标分别是，直线AM、BM相交于点M，且直线AM的斜率是直线BM的斜率的2倍，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线AM的斜率是直线BM的斜率的2倍，利用经过两点的直线斜率公式列出方程化简即可. 【详解】直线AM、BM相交于点M，不妨设， 因为当时，两直线重合，不合题意，所以， 则， 因为直线AM的斜率是直线BM的斜率的2倍， 所以， 整理得. 故选：C. 46．已知､，的面积为，则动点的轨迹方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】由题意可得动点到的距离为，设然后结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为､，所以，因为的面积为， 所以动点到的距离为，设，则的方程为， 即，由题意可得，即， 所以动点的轨迹方程为:或. 故选:B 题型十一、圆中的轨迹方程（含阿氏圆） 47．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知点在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出中点的坐标，利用中点坐标公式表示出点的坐标，代入圆的方程，化简即可. 【详解】设线段的中点，则，故， 化简得，即线段的中点的轨迹方程为. 故选：A. 48．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知的斜边为，且，，则直角边中点的轨迹方程是（   ） A． B． C．（且） D．（且） 【答案】C 【分析】设，根据是线段的中点，得到，根据计算即可求得的轨迹方程. 【详解】设， 因为，是线段的中点， 由中点坐标公式得，所以， 即，所以， 由，得， 即， 又不能与重合，所以且，解得且， 动点的轨迹方程为（且）. 故选：C 49．（23-24高二上·天津·期中）一动点在圆上移动时，它与定点连线的中点轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出动点坐标并根据中点坐标公式代入可得轨迹方程. 【详解】设动点坐标为，中点坐标为； 易知满足， 可得，因此， 代入可得. 故选：A 50．（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出动点和动点的坐标，找到动点和动点坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可. 【详解】设，，由中点坐标公式得， 所以，故， 因为A在圆上运动， 所以， 化简得，故B正确. 故选：B 51．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（   ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 【答案】B 【分析】设，利用两点间的距离公式整理化简得的轨迹方程，再去掉三点共线时的点坐标即可. 【详解】设，根据题意可知且三点不共线， 可得， 因此， 若三点共线，易知斜率存在，所以； 即，可得； 联立，解得或； 又因为三点不共线，所以且， 因此端点的轨迹方程为（且）. 故选：B 52．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知定点，点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中点关系，即可将代入圆的方程求解. 【详解】设，则，由于在上运动， 故，化简得， 故选：D. 53．（2024·甘肃张掖·一模）已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆的标准方程得出圆心及半径，再设点应用圆外切得出化简得出轨迹方程. 【详解】圆的标准方程为，所以圆的圆心为，半径． 因为圆与圆外切，且半径为3，所以点与点的距离． 设，则，化简得， 故选:C. 54．（24-25高二上·重庆·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，在平面直角坐标系中，已知两点，动点满足，则点的轨迹方程为 ；若圆上不存在满足条件的点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 或或. 【分析】由得到点M的轨迹方程为圆，再由两圆的位置关系求出a的范围. 【详解】设，因为， 所以2. 所以点M在以为圆心，2为半径的圆上， 因为的圆心，半径为1， 由题意圆C与圆D无公共点，满足：或， 即或， 可得或，解得或或. 故答案为：；或或. 55．（24-25高二上·四川凉山·期末）平面内一动点到点与的距离之比为． (1)求动点的轨迹方程； (2)斜率为1的直线与曲线交于、两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设动点，根据结合两点间距离公式运算求解； （2）设直线，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，列式求解即可. 【详解】（1）设动点， 因为，则， 整理可得， 所以动点的轨迹方程为. （2）由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆， 设直线，即， 由题意可得：圆心到直线的距离， 则，解得， 所以直线的方程为. 56．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆过原点和点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两点距离公式可得，即可求解， （2）根据向量的坐标运算，利用相关点法即可求解轨迹方程. 【详解】（1）设圆心为，由题意可得， 则，解得，所以，圆的半径为， 故圆的方程为． （2）设点，共中，则，设点， 因为，则， 可得，可得， 因为点在圆上，则，即． 故点的轨迹方程为． 57．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程，并说明其形状； (2)过直线上的动点分别作的两条切线，（、为切点），，交于点. （i）证明：直线过定点，并求该定点坐标； （ii）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，曲线是以为圆心，2为半径的圆 (2)（i）证明见解析，；（ii）存在， 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得轨迹的方程；（2）（i）先判断出点、在以为直径的圆上，然后根据两个圆的位置关系来证得结论成立；（ii）求得的面积的表达式，进而求得的面积最大值以及此时点的坐标. 【详解】（1）设，由题意得，化简整理得①， 故曲线是以为圆心，2为半径的圆； （2）如图： （i）证明：因为，，所以点、在以为直径的圆上， 可求得圆的方程为②， 所以直线为圆与圆的公共弦所在的直线， 由，整理得，即直线的方程为， 故直线恒过定点； （ii）当时，点、重合， 当时，因为，点、在直线上，所以， 综上，点在以为直径的圆上，圆方程为， 因为，又， 所以当时，的面积最大，此时， 又由，，三点共线，得，即，， 所以存在点，使的面积最大，此时点坐标为. 【点睛】方法点睛： 求动点轨迹方程，通常根据已知条件建立动点坐标满足的等式，然后化简得到方程.对于涉及距离比的问题，利用两点间距离公式构建等式是常用方法. 当出现圆的切线和切点时，利用圆的性质（如切线与半径垂直）确定点的位置关系，进而得到相关圆的方程.求两圆公共弦所在直线方程，通过两圆方程相减的方法来实现，这是处理两圆公共弦问题的常见技巧. 求三角形面积最大值问题，先确定三角形面积的表达式，再根据已知条件分析变量的取值范围，从而求出最大值.对于三点共线问题，利用直线斜率相等来建立等式求解参数，是解决此类问题的常用方法. 58．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点． (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； (3)若为圆上异于的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值． 【答案】(1) (2)或． (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，设，，由向量的坐标运算可得的坐标，代入计算，表示出点的坐标，然后代入圆的方程，计算化简，即可得到轨迹方程； （2）根据题意，分直线的斜率存在于不存在讨论，然后结合圆的弦长公式代入计算，即可得到结果； （3）分别由直线的方程得到点的坐标，代入计算，即可证明. 【详解】（1）根据题意，，． 设，，则，， 由于，所以， 得 将其代入，得， 故点的轨迹方程为． （2）根据垂径定理可得． ①当斜率不存在时，直线的方程为：， 直线截点轨迹所得弦长弦长为，符合题意； ②当斜率存在时，设直线， 圆心到直线的距离为，解得． 直线的方程为或． （3）设，则， 直线方程是，令，得， 直线方程是，令得， 所以 ． 即为定值． 题型十二、参数方程（拓展） 59．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）设曲线C的参数方程为(为参数，且)，曲线C上动点P到直线的最短距离为（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】设，由点到直线的距离公式结合三角函数的性质求解即可. 【详解】设，直线 由动点P到直线的距离为： ， 其中，， 因为，所以， ，所以， 所以当时，. 故选：B. 60．设曲线的参数方程为(为参数)，直线的方程为，则曲线上到直线的距离为的点的个数为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析：将参数方程化为普通方程，求出圆心和半径，再求圆心到直线的距离，判断直线和圆的位置关系，观察即可得到点的个数. 解析：曲线的参数方程为(为参数)， 化为普通方程为圆C：. 圆心为，半径为2. 则圆心到直线的距离， 则直线与圆相交， 则通过观察，曲线上到直线的距离为的点的个数为3个. 故选B. 点睛：本题考查参数方程和普通方程的互化，考查直线与圆的位置关系，考查判断和运算能力. 61．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的参数方程为（为参数），若直线的倾斜角为，则直线的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】将直线的参数方程化为一般式方程，再根据倾斜角求出即可. 【详解】由可得 两式相除可得，所以. 因为直线的倾斜角为，所以， 所以，解得， 故直线的一般式方程为. 故答案为:. 62．参数方程表示圆心为 ，半径为 的圆，化为标准方程为 ． 【答案】 1 【分析】方法一：根据参数方程的定义可得圆心和半径，进而可得圆的标准方程；方法二：将参数方程整理得圆的标准方程，进而可得圆心和半径. 【详解】方法一：从参数方程中可以可得：圆心为，半径， 所以圆的标准方程为． 方法二：参数方程变形为平方相加，得到标准方程， 所以圆心坐标为，半径． 故答案为：；1；. 63．若不同的两点和在参数方程（为参数）表示的曲线上，则与的距离的最大值是 ． 【答案】 【分析】将曲线的参数方程化为直角坐标方程可知,曲线为半径为2的圆,所以当为圆的直径时,与的距离的最大值是2. 【详解】由参数方程（为参数）,可得, 所以点和在半径为1的圆上, 所以当为圆的直径时,与的距离的最大值是2. 故答案为 :2 【点睛】本题考查了参数方程化普通方程,圆的标准方程,属于基础题. 64．直线的参数方程为（t为参数），圆的参数方程为（为参数），则直线被圆截得的弦长为 . 【答案】3 【分析】先将直线与圆的参数方程化为普通方程，然后求出圆心到直线的距离，结合弦长与弦心距的关系，即可求出结果. 【详解】由直线的参数方程为（t为参数），消去，可得：直线的普通方程为. 由圆的参数方程为（为参数），消去，可得：圆的普通方程为，所以圆心坐标，半径. 圆心到直线的距离： 根据弦长与弦心距的关系，所以弦长为. 故答案为：3. 【点睛】圆的弦长计算常用三种方法： （1）几何法，即根据弦心距（圆心到直线的距离），圆的半径和弦长的一半满足勾股定理，可以通过弦心距和圆的半径求得弦长. （2）代数法，设交点坐标为，联立直线与圆的方程，整理得一元二次方程，结合韦达定理计算弦长 或 （3）参数方程法，设交点坐标的参数为，将直线的参数方程代入到圆的普通方程，整理成关于的一元二次方程，结合韦达定理计算弦长. 65．（24-25高二上·广东深圳·期中）设直线经过点是它的一个方向向量，是直线上任意一点，则向量与共线，根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数，使，即，所以，我们把上式称为直线的参数方程．若直线的参数方程为（为参数），则其倾斜角为 ． 【答案】 【分析】根据题意先得到直线的一个方向向量，然后根据斜率与倾斜角的关系可求解出结果. 【详解】由题意，因为直线的参数方程为（为参数），所以直线的一个方向向量为， 设直线的倾斜角为，所以，所以， 故答案为：. 题型十三、直线系方程（拓展） 66．（23-24高二上·江苏·课前预习）相交直线系 若直线、直线的交点，则过的直线（除外）的方程可设为 . 【答案】. 【详解】略 67．直线l经过原点，且经过直线与直线的交点，求直线l的方程． 【答案】 【分析】经过直线与直线的交点的直线可设为： ，把代入求出，即可得到直线方程. 【详解】经过直线与直线的交点的直线可设为： 把代入，得：，解得：， 所以，所求的直线方程为：. 68．若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】先设经过交点的直线系，应用斜率求出参数即可得直线方程. 【详解】设直线l的方程为（其中为常数），即 ①． 又直线l的斜率为，则，解得． 将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程． 故答案为：. 69．设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】由题可求交点，结合条件即可求出；或设直线系方程，结合已知即求. 【详解】方法一：由，得， 所以两条直线的交点坐标为（14，10）, 由题意可得直线的斜率为1或-1， 所以直线的方程为或， 即或. 方法二：设直线的方程为，整理得， 由题意，得，解得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 题型十四、圆系方程（拓展） 70．（24-25高二上·全国·课后作业）若圆与圆相交，我们把经过圆和圆交点的圆称为圆、圆的圆系方程，其方程可设为．根据以上信息，解决如下问题：已知圆与交于两点，则以为直径的圆的一般方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可设经过点，的圆的方程，化简整理可得圆心为，圆和圆方程相减，求出直线的方程，再把圆心代入直线的方程求出的值即可． 【详解】由题意可设经过点的圆的方程为， 整理得，则圆心为． 圆①，圆②， 由①-②得，，即直线的方程为． 因为为直径，圆心在直线上，所以，解得， 故以为直径的圆的方程为． 故答案为：． 71．（2024高三·全国·专题练习）已知圆系方程（，m为参数），这些圆的公切线方程为 . 【答案】 【分析】先求圆心的轨迹,再设切线方程计算即可求出公切线. 【详解】圆心坐标为，所以圆心在直线上， 设圆的切线为，即， 所以两直线间的距离为圆的半径，，所以直线方程为. 故答案为: . 72．求经过点以及圆与交点的圆的方程 . 【答案】. 【分析】方法一，按照圆系方程设为，再代入点，即可求解；方法二，首先求两圆的交点，再根据交点特征，设出圆的方程，代入交点以及点后，即可求解. 【详解】方法一：将化为一般式，所求圆经过两圆的交点，则可设所求圆的方程为，整理得：； 此圆经过,代入上述方程得，解得, 所以该圆的方程为，即. 方法二：圆与的交点为，因为圆心在轴上 设所求圆的方程为，则，解得，所求圆的方程为，化为一般式为. 故答案为：. 73．（2024高二·全国·专题练习）已知圆，圆，则过圆与圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 . 【答案】 【分析】联立方程组，求得两圆的交点坐标，设所求圆的圆心为，列出方程求得的值，得出圆心坐标和半径，即可求解. 【详解】设圆与圆的交点分别为，联立方程组，解得或，则， 设所求圆的圆心为，因为圆心在直线上，可得， 则，解得， 所以圆心为，半径， 所以，所求圆的方程为. 故答案为：. 74．已知圆O：与圆相交于M，N两点，点P的坐标为．若圆经过M，N，P三点，则的方程为 ． 【答案】 【分析】联立方程求M，N两点的坐标，法一：根据几何性质可得圆心C2在x轴上，设结合圆的定义运算求解；法二：设圆，代入点，列方程求解. 【详解】联立方程，解得或， 故M，N两点的坐标为． 法一：可得关于轴对称，即线段的中垂线为轴，故所求的圆的圆心C2在x轴上， 设，点P的坐标为， ∵，即，求得m＝5， 故要求的圆的圆心，半径为， 故要求的圆的方程为． 法二：设圆，且点P的坐标为， 代入点，可得，解得， 故要求的圆的方程为，即． 故答案为：. 75．圆：和圆：交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是 . 【答案】 【分析】由两圆的方程得两圆心坐标，两圆心所在直线的方程即为所求直线方程， 【详解】圆方程为，圆方程为， 则圆心分别为，，两圆相交于两点，则线段AB的垂直平分线即为直线， ，则直线的方程为，即， 故答案为： （24-25高二上·四川成都·阶段练习）（多选）已知圆和圆相交于A、B两点，下列说法正确的是（   ） A．两圆有两条公切线 B．直线AB的方程为 C．线段AB的长为 D．所有过点A、B的圆系的方程可以记为 【答案】AC 【分析】由圆与圆的位置关系判断A； 求出公共弦所在直线方程判断B；利用圆的弦长公式求出弦长判断C；判断方程是否过A、B两点，再判断方程是否表示过A、B的所有圆判断D. 【详解】圆的圆心，半径，圆圆心，半径， 对于A，，圆与圆相交，有两条公切线，A正确； 对于B，圆与圆的方程相减得直线AB的方程：，B错误； 对于C，圆心O到直线AB的距离，则，C正确： 对于D，当时，恒成立， 即该方程恒过A、B两点，方程化为， 而恒成立， 因此方程表示圆， 但此圆系不包括圆M，D错误. 故选：AC 题型十五、曲线系方程（拓展） 77．（24-25高二上·重庆·期中）已知二次曲线表示圆的充要条件为，且.关于二次曲线，有以下结论：若，，，为平面内三条直线，且，，，则过，，三点的二次曲线系方程为（，为参数）.若，，，为平面内四条直线，且，，，，则过四点的二次曲线系方程为（为参数）. (1)若三角形三边所在直线方程分别为：，，.求该三角形的外接圆方程. (2)记（1）中所求的外接圆为，直线与交于，两点（在第一象限），直线与交于，两点（在第二象限），直线交轴于点，直线交轴于点，直线与直线交于点. （i）求证：； （ii）求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由题意，根据三条直线方程设出二次曲线系方程，通过方程表示圆的充要条件待定系数可得； （2）由四条直线方程设出二次曲线系方程，再由已知圆的一般方程，对比两方程寻找系数的等量关系，由关系可证得，由关系式（即）可得交点在定直线上上，进而求解最值. 【详解】（1）则由题意，可设所求三角形的外接圆方程为：（，为参数）， 即 ，（） 若方程表示圆，则，解得. 将代入（）式化简得， 验证：由，可知该方程表示圆. 故该三角形的外接圆方程为. （2）如图，在平面直角坐标系中， 设直线与轴的交点，直线与轴的交点， 由题意知直线均不与轴垂直， 则直线方程可设为，直线方程可设为， 由题意可知，且. 不妨记直线分别为， 且， 其中，，，. 故由题意，过四点的二次曲线系方程可设为 （为参数）， 即 ①， 若时，方程表示两条直线，不表示圆， 故. 由四点不共线，且都在圆②上， 所以方程①②表示同一圆， 则有③，且④. （i）由③式及，可得， 即；故（i）得证； （ii）由③式可得，令，则， 代入④式可得， 联立直线方程，解得， 即交点在定直线上，故. 如图2，由对称性可知，当时，交点在轴上， 即，此时. 故的最小值为. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键有两点，一是理解二次曲线系方程的设法，能够根据题目提供的条件由直线方程设出二次曲线方程；二是二次曲线系方程的应用，本题主要是三角形外接圆与四边形外接圆的应用，第（1）问通过方程表示圆的充要条件待定系数，第（2）问通过同一圆的两种不同方程表达形式寻求等量关系从而解决问题. 综合攻坚 能力跃升 一、单选题 1．（24-25高二上·河南开封·期末）中，，，C点在y轴上，若AB边上的中线CD也是AB边上的高，则直线CD的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式得，根据两直线垂直斜率之积等于可得，然后利用点斜式即可得 【详解】由题意，得D是AB的中点，则，且， 又，则， 则直线CD的方程为，即 故选：B 2．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）过点的直线与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】就直线的斜率是否存在分类讨论，当斜率存在时，利用圆心到直线的距离为半径可求直线方程，故可得正确的选项. 【详解】若直线的斜率不存在，则直线的方程为：， 圆心，半径为，圆心到直线的距离为，符合要求； 若直线的斜率存在，设直线的方程为即， 故圆心到直线的距离为，故， 故此时直线的方程为， 故选：D. 3．（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件设出圆心坐标及半径，再结合圆上两点的坐标得到方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：， 解得：，所以圆的方程为：. 故选：D 4．（24-25高二上·天津·期末）以直线：恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先需要求出直线恒过的定点，然后根据圆的标准方程（其中为圆心坐标，为半径）来确定圆的方程. 【详解】将直线的方程变形为 令，解得，. 所以直线恒过定点，即圆心坐标为. 已知半径，所以圆的标准方程. 展开可得，即. 故选：D. 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】如图，设，直线过和.      ①当直线为时，直线、直线与轴围成的三角形是，不是等腰三角形，所以直线的斜率存在． ②当直线的斜率为负时，设关于轴的对称点为，当直线过两点时，是等腰三角形， 又，所以为等边三角形，满足题意，因为，所以此时直线的方程为． ③当直线的斜率为正时，设直线与轴负半轴相交于点，则，由直线AB的斜率为，倾斜角为，可得， 所以直线，也即直线的斜率为，对应方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：A. 二、填空题 6．（24-25高二上·天津和平·期末）圆与圆交于两点，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据两圆相交，即可作差求解. 【详解】由于的圆心和半径分别为, 圆的圆心和半径分别为， 故两圆的圆心距为，且， 故两圆相交，因此直线的方程为， 即， 故答案为： 7．（24-25高二上·天津河北·期中）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ：公共弦长为 . 【答案】 【分析】由两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，再由弦长公式计算可得公共弦长为. 【详解】易知两圆相交，将两圆方程相减可得，即； 所以两圆公共弦所在直线的方程为； 易知圆的圆心为，半径为； 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为：； 8．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）已知圆过三点，则圆的标准方程为 .过圆上的一点的圆的切线方程为 （填一般式方程）. 【答案】 【分析】将点的坐标代入到圆的标准方程中即可求得方程，根据过圆上一点的圆的切线方程可求得结果. 【详解】设圆的标准方程为， 将三点代入可得， ，解得， 所以圆的标准方程为； 过圆上一点的圆的切线方程为： ，化简得：， 故答案为：；. 9．（25-26高二上·全国·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，则折痕所在直线的方程是 . 【答案】 【分析】设，，则折痕所在直线是线段AB的垂直平分线，故先求出AB中点坐标，又因为折痕与直线AB垂直，进而求出折痕所在直线的斜率，然后用点斜式求出折痕所在直线方程. 【详解】设，，则线段AB的中点坐标为， 又，所以折痕所在直线的斜率为1， 故折痕所在直线的方程为，即. 故答案为：. 10．（23-24高二上·云南昆明·期中）已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为 【答案】 【分析】先利用圆切线的性质推得、、、四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】圆：可化为， ，， ，是圆的两条切线，则，， 、、、四点共圆，且，， ， ， 当最小，即时，取得最小值， 此时方程为， 联立，解得，，即， 以为直径的圆的方程为， 即， 圆：，两圆相交， 两圆方程相减即为的方程. 故答案为：.    【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将转化为，从而确定最小时的坐标，从而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解. 三、解答题 11．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知三个顶点的坐标分别是. (1)求AB边上的高所在的直线方程 (2)求外接圆的方程 【答案】(1); (2). 【分析】（1）根据垂直求得边上高的斜率，再利用点斜式方程即可写出边上高所在的直线方程； （2）先判断出是直角三角形，故外接圆是以斜边为直径的圆，求出线段的中点与长度，即可写出外接圆方程. 【详解】（1）由题直线的斜率为,故边上高的斜率为，又边上的高过点，由点斜式方程得：，即； （2）三个顶点的坐标分别是， 直线的斜率，直线的斜率， 则，即. 由可得外接圆是以线段为直径的圆， 线段的中点为，半径， 所以外接圆的方程是. 12．（23-24高二上·重庆南岸·阶段练习）已知圆过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，点，记为线段的中点，求的轨迹方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求的垂直平分线方程为，与的交点即圆心，圆心到点的距离即为半径，即可得圆的标准方程. （2）由为线段的中点得到坐标与坐标的关系，代入圆方程可得轨迹方程. 【详解】（1），的中点坐标为，直线的斜率为， 故线段的垂直平分线方程为，即， 联立得，即圆的圆心为，半径为， 故圆的方程为 （2）设，，因为线段的中点， 所以，则， 因点在圆上运动，所以， 则， 即的轨迹方程为. 13．（23-24高二上·湖北·期末）已知点P为圆C：上的动点，点A的坐标为，若 (1)当时，求B的轨迹方程； (2)讨论B的轨迹与C的位置关系． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据相关点法，即可结合向量的坐标运算求解， （2）根据两圆的半径与圆心距之间的关系即可求解. 【详解】（1）设，，，， 由，可得，，， 又因为，可得B的轨迹方程为： （2）由，可得，，， 代入，可得B的轨迹方程为：， 所以B的轨迹是以为圆心设为，为半径的圆， 所以当时，，两圆外离； 当时，，两圆外切； 当时，，两圆相交． 14．（20-21高二上·四川自贡·阶段练习）已知圆C：，直线l：. (1)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程； (2)若定点分弦AB为，求此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，根据已知列式化简，即可得解； （2）联立方程组应用韦达定理结合向量关系求出直线方程. 【详解】（1）∵直线l：过定点，斜率一定存在， 而在圆C：内， ∴直线l与圆C总有两个不同的交点； 圆C：的圆心为， 所以M与P不重合时，连接CM，CP，则， ∴. 设，则， 化简得：； （2）设，， 由，得， ∴，化简得，① 又由，消去y得. ∴，② 由①②解得，代入（*）解得. ∴直线l的方程为或. 15．（25-26高二上·全国·单元测试）已知，，． (1)若点在轴上，且满足，求直线的方程； (2)若点在轴上，且，求直线的倾斜角． 【答案】(1)； (2)90°. 【分析】（1）利用垂直关系及斜率的两点式列方程求得，再由直线的两点式求直线方程； （2）设，根据已知有，应用斜率的两点式列方程求得，即可得倾斜角. 【详解】（1）设，而，， 所以，故，得，即． 所以直线的方程为，即； （2）设，因为，所以， 而，即得，所以，即． 结合，故轴，故直线的倾斜角为90°. 16．（24-25高二上·山西长治·阶段练习）已知圆经过点，，且圆恒被直线平分. (1)求圆的一般方程： (2)设，是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程，并说明表示何曲线? 【答案】(1) (2)，的轨迹是一个圆 【分析】（1）根据条件，直接求出圆心和半径，即可求解； （2）画出图形，运用相关点法求解即可. 【详解】（1）直线恒过点. 因为圆恒被直线平分，所以恒过圆心， 所以圆心坐标为，又圆经过点， 所以圆的半径，所以圆的方程为，即. （2）设，因为为线段的中点，所以， 因为点是圆上的动点，所以， 即， 所以的轨迹是一个圆.    17．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (3)设为上的一个动点，求中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将方程转化成即可求解； （2）分截距为和不为两类情况讨论即可； （3）设，，通过代入法即可求解； 【详解】（1）由，得， 令，得， 因此点的坐标为. （2）由（1）知点的坐标. 若截距为，即直线经过原点， 设直线方程为，则， 此时直线的方程为， 若截距不为，不妨设直线方程为，代入，得， 此时直线方程为， 则过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或． （3）设，，则， 得到，所以， 又点在上，所以， 整理得， 故的轨迹方程为. 18．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆是圆上的一个动点，点是线段的中点，为坐标原点. (1)求动点的轨迹方程； (2)当时，求直线的方程及的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相关点法即可求得动点的轨迹方程； （2）先利用圆的性质求得直线的斜率，进而求得直线的方程，再利用垂径定理求得的长，进而求得的面积. 【详解】（1）可化为， 设， 是线段的中点，即 又因为在圆上， ，即 整理得. 的轨迹方程是. （2）由（1）知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 由于，故点在线段的垂直平分线上， 又点在圆上，故点在线段的垂直平分线上， 从而. ，直线的斜率为. 直线的方程为，即. 则到的距离为， . 又到直线的距离为. . 19．（24-25高二上·河南洛阳·期末）已知圆C：. (1)若直线l过点）且与圆C相切，求直线l的方程； (2)若直线l过点与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】(1)或. (2)或. 【分析】（1）先判断点在圆C外，当切线斜率存在时，利用圆心到直线距离为半径列式求解斜率即可，当直线斜率不存在时，与圆相切，即可求解. （2）设直线l的方程为，求出圆心到直线l的距离，结合弦长公式利用基本不等式求解面积的最大值，求出，列式求解，即可求出直线方程. 【详解】（1）因为，所以点在圆C外， 当切线斜率存在时，可设直线方程为：，即. 因为直线与圆相切，所以点到直线的距离为2，即，解的， 此时直线方程为， 当直线斜率不存在时，即，此时满足直线与圆相切. 综上可知直线l的方程为或. （2）因为直线与圆相交，所以斜率k存在，且. 设直线l的方程为，即， 所以圆心到直线l的距离， 故可得， 当且仅当时等号成立， 此时，解的或. 所以直线的方程为：或. 20．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知圆，直线l过点. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程; (2)设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线斜率是否存在两种情况讨论可求切线的方程； （2）设点，可得，利用点B在圆C上运动，可求点M的轨迹方程. 【详解】（1）已知圆C的圆心是，半径是2， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意; 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心O到直线l的距离为=2，解得，故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. （2）设点，则由点M是线段AB的中点得，所以①， 因为点B在圆C上运动，所以②，将①代入②得， 化简得点M的轨迹方程是.