高二数学（人教A版）选择性必修一导学案专题微课对称问题及应用（Word版附解析）

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专题微课　对称问题及应用直线是解析几何中最基本的一种曲线.直线中的对称问题是研究其他曲线对称性的基础,是解析几何中重要的基础内容.对称点、对称直线的求法及对称问题的简单应用,在解题过程中所体现的思想与方法是学生必须掌握的.中学教材对此部分内容没有系统编排,本课时对其进行了适当的归纳总结.题型(一)　几类常见的对称问题[例1]　已知直线l:y=3x+3,求:(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标;(2)直线y=x-2关于l的对称直线的方程;(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程.听课记录:　　|思|维|建|模|1.中心对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于点对称,主要求解方法若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得x=2a−x1,y=2b−y1.(2)直线关于点的对称,主要求解方法①在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程;②求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.2.轴对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于直线的对称若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则可得Ax1+x22+By1+y22+C=0,y2−y1x2−x1·−AB=−1(其中B≠0,x1≠x2).(2)直线关于直线的对称一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.　　[针对训练]1.点(1,2)关于直线x-2y-2=0的对称点坐标是 (　　)A.(-1,-4) B.(3,-2)C.(0,4) D.(-1,6)2.直线l:4x+3y-2=0关于点A(1,1)对称的直线方程为 (　　)A.4x+3y-4=0 B.4x+3y-12=0C.4x-3y-4=0 D.4x-3y-12=03.若直线y=ax+2与y=3x-6关于直线y=x对称,则实数a=　　　.题型(二)　光的反射问题 [例2]　已知光线从点A(-2,4)射出,经直线l:2x-y-7=0反射,反射光线过点B(5,8).求:(1)反射光线所在直线的方程;(2)光线从点A到点B经过的路程.听课记录:　　|思|维|建|模|利用对称解决光线反射问题的方法根据平面几何知识和光学知识,入射光线、反射光线所在的直线关于法线对称,即入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解光线反射问题.如图所示,点A,B分别为入射光线、反射光线上的点,点A,B关于l的对称点分别为A',B',则点A'在反射光线所在的直线上,点B'在入射光线所在的直线上,于是可利用两点式求得入射光线或反射光线所在的直线方程.　　[针对训练]4.如图,已知点A(2,0),B(0,2),从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是 (　　)A.3　　　　B.10　　　　C.33　　　　D.25题型(三)　利用对称解决距离的最值问题 [例3]　已知平面上两点A(4,1)和B(0,4),在直线l:3x-y-1=0上求一点M,(1)使||MA|-|MB||最大;(2)使|MA|+|MB|最小.听课记录:　　|思|维|建|模|利用对称性求距离的最值问题由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差的绝对值小于第三边)可知,要解决在直线l上求一点,使这点到两定点A,B的距离之差最大的问题,若这两点A,B位于直线l的同侧,则只需求出直线AB的方程,再求它与已知直线的交点,即得所求的点的坐标;若A,B两点位于直线l的异侧,则先求A,B两点中某一点,如A关于直线l的对称点A',得直线A'B的方程,再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P,使P到平面上两点A,B的距离之和最小的问题可用类似方法求解.　　[针对训练]5.已知点R在直线x-y+1=0上,M(1,3),N(3,-1),则||RM|-|RN||的最大值为 (　　)A.5　　　　B.7　　　　C.10　　　　D.256.已知实数x,y满足x+y+1=0,则(x−1)2+(y−1)2+(x−2)2+y2的最小值为 (　　)A.5　　　　B.22　　　　C.10　　　　D.25课下请完成课时检测(二十二)专题微课　对称问题及应用[题型(一)][例1]　解：(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(y′＋5,2)＝3×\f(x′＋4,2)＋3，,\f(y′－5,x′－4)×3＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x′＝－2，,y′＝7.))所以点P′的坐标为(－2,7)．(2)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝3x＋3，,y＝x－2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,2)，,y＝－\f(9,2)，))则点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2)))在所求直线上．在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)，设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(y0,2)＝3×\f(x0＋2,2)＋3，,\f(y0,x0－2)×3＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(17,5)，,y0＝\f(9,5).))点M′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,5)，\f(9,5)))也在所求直线上．由两点式得直线方程为eq \f(y＋\f(9,2),\f(9,5)＋\f(9,2))＝eq \f(x＋\f(5,2),－\f(17,5)＋\f(5,2))，化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线的方程．(3)在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)，则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E′(6,1)，F′(7，4)．因为点E′，F′在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为eq \f(y－1,4－1)＝eq \f(x－6,7－6)，即3x－y－17＝0.[针对训练]1．选B　设点P(1,2)关于直线x－2y－2＝0的对称点坐标为Q(a，b)，可得eq \f(1＋a,2)－2×eq \f(2＋b,2)－2＝0①，斜率eq \f(2－b,1－a)×eq \f(1,2)＝－1②.由①②解得a＝3，b＝－2.则点P(1,2)关于直线x－2y－2＝0的对称点坐标为(3，－2)．2．选B　设直线l：4x＋3y－2＝0关于点A(1,1)对称的直线上任意一点P(x，y)，则P(x，y)关于A(1,1)对称点为(2－x,2－y)，又因为(2－x,2－y)在4x＋3y－2＝0上，所以4(2－x)＋3(2－y)－2＝0，即4x＋3y－12＝0.3．解析：直线y＝3x－6过点(0，－6)，点(0，－6)关于直线y＝x对称点为(－6,0)，依题意可知点(－6，0)在直线y＝ax＋2上，所以－6a＋2＝0，解得a＝eq \f(1,3).答案：eq \f(1,3)[题型(二)][例2]　解：(1)设点A关于l的对称点为A′(x0，y0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2·\f(x0－2,2)－\f(y0＋4,2)－7＝0，,\f(y0－4,x0＋2)＝－\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝10，,y0＝－2，))即A′(10，－2)．∴反射光线所在直线方程为eq \f(y＋2,10)＝eq \f(x－10,－5)，即2x＋y－18＝0.(2)设反射点为P，光线从点A到点B经过的路程为|AP|＋|PB|＝|A′P|＋|PB|＝|A′B|＝eq \r(52＋102)＝5eq \r(5).[针对训练]4.选B　依题意，直线AB的方程为x＋y＝2，设P关于直线AB的对称点为Q(a，b)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(b,a－1)＝1，,\f(a＋1,2)＋\f(b,2)＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，))即Q(2,1)．又P关于y轴的对称点为T(－1，0)，|QT|＝eq \r(－1－22＋0－12)＝eq \r(10)，光线所经过的路程即△PMN的周长，而△PMN的周长为|MP|＋|MN|＋|NP|＝|MQ|＋|MN|＋|NT|＝|QT|＝eq \r(10)，所以光线所经过的路程是eq \r(10).故选B.[题型(三)][例3]　解：(1)若C(m，n)为B关于直线l的对称点，则BC中点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，\f(n＋4,2)))在直线l上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3×\f(m,2)－\f(n＋4,2)－1＝0，,\f(n－4,m)＝－\f(1,3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝3，))即C(3,3)，由|MB|＝|MC|，则||MA|－|MB||＝||MA|－|MC||≤|AC|，要使||MA|－|MB||最大，只需A，C，M共线，||MA|－|MB||max＝|AC|＝eq \r(5).(2)如图，要使|MA|＋|MB|最小，只需A，B，M共线，所以(|MA|＋|MB|)min＝|AB|＝5.[针对训练]5．选C　设点M(1,3)关于直线x－y＋1＝0的对称点为M′(x0，y0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(y0－3,x0－1)＝－1，,\f(1＋x0,2)－\f(3＋y0,2)＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝2，,y0＝2，))∴M′(2,2)，又N(3，－1)，∴||RM|－|RN||＝||RM′|－|RN||≤|M′N|＝eq \r(10).6．选D　eq \r(x－12＋y－12)＋eq \r(x－22＋y2)表示直线x＋y＋1＝0上一动点P(x，y)到定点A(1,1)，B(2，0)的距离之和，如图所示，设点A(1,1)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为A′(x0，y0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(y0－1,x0－1)＝1，,\f(x0＋1,2)＋\f(y0＋1,2)＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝－2，,y0＝－2，))所以对称点为A′(－2，－2)，则|A′B|＝eq \r(－2－22＋－2－02)＝2eq \r(5)，由图知eq \r(x－12＋y－12)＋eq \r(x－22＋y2)的最小值为2eq \r(5)，故选D.