专题03 空间向量与坐标法在立体几何中的应用（专项训练）

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专题03 空间向量与坐标法在立体几何中的应用（解析版） 高二数学选择性必修一题型建模 专项突破题型一、向量夹角为锐角或钝角用坐标法求参数范围（易错题型）1．已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 ．【答案】【详解】由，得，解得，由，得，因为与的夹角为锐角，故，故的取值范围为.故答案为：.2．已知向量，，且，夹角为钝角，则m的取值范围为 ；【答案】且【详解】由向量与夹角为钝角，得，且与不共线，则，解得且，所以m的取值范围为且.故答案为：且3．（多选题）在空间直角坐标系中，为坐标原点．若、、，下列说法正确的是（   ）A．存在实数，使B．存在实数，使C．若为锐角，则D．若为一组基底，则【答案】BD【详解】对于A选项，，，所以，，因此，不存在实数，使得，A错；对于B选项，若存在实数，使，即，解得，B对；对于C选项，由题意可得，若为锐角，则，解得，且、不共线，若、共线，则，解得，所以，当、不共线时，，因此，若为锐角，则且，C错；对于D选项，若、、共面，则存在、，使得，则，解得，因此，若为一组基底，则，D对.故选：BD.4．（多选题）下面四个结论正确的是（    ）A．若为平面外任意一点，，则四点共面B．若平面的法向量分别为，，且，则C．若向量，且，则为钝角D．若为平面法向量，为直线的方向向量，且，则与所成角为【答案】ABC【分析】由四点共面的向量表示判断A；由两平面法向量的位置关系判断两平面的位置关系，可判断B；根据两向量的数量积的符号判断两向量夹角的范围，可判断C；根据线面角的概念判断D.【详解】对A：因为，，所以四点共面，故A正确；对B：因为，所以，所以，所以B正确；对C：因为，所以，且与不共线，所以为钝角，故C正确；对D：因为，所以与所成角为，故D错误.故选：ABC题型二、用坐标法解四点共面问题5．在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ．【答案】-1【详解】依题意，得，，．若四点共面，则，即，所以，所以．故答案为：-16．在空间直角坐标系中，，，，点H在平面内，则当取最小时，点H的坐标是 ．【答案】【详解】不妨设点H的坐标是，则，因为，，，所以，由题意若要取最小，则只需平面，只需，即，不妨令，所以解得，且注意到点H在平面内，所以由四点共面的充要条件有，即，解得，所以，所以此时点H的坐标是.综上所述：当取最小时，点H的坐标是.故答案为：.7．（2025·福建龙岩·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点．(1)设，且，，，四点共面，求实数的值；(2)若平面和平面所成角的余弦值为，求三棱锥的体积．【答案】(1)(2)【详解】（1）方法一：坐标法（利用共面向量基本定理）在平面内作，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，，，，，，，，又，分别为，的中点，，，，，，共面，存在实数，，使得，即，，解得；方法二：坐标法（利用法向量）在平面内作，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，，，，，，，，，又，分别为，的中点，，，设平面的法向量为，，，令得，，又，，共面，，解得；方法三：几何法：延长交于，连接，，分别为，的中点，，平面，平面，平面，又平面平面，，，又，四边形是平行四边形，，，过作交于，，又，；（2）方法一：由（1）得，又，，设平面的法向量为，，解得，令得，，设平面和平面所成的角为，，整理得，，，即；方法一：利用向量法求三棱锥的高，平面的法向量为，，设点到平面的距离为，，平面，又平面，，又，，、平面，平面，又，分别为，的中点，，，平面，又平面，，又，，，则，所以；方法二：几何法：，分别为，的中点，，平面，平面，平面，，，平面， ，.8．（2025·四川绵阳·三模）如图1，等腰梯形中，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图的多面体，且.  (1)证明：四点共面；(2)求的长；(3)在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）由平面平面可得平面，建立空间直角坐标系，设，由，结合空间向量可得，进而得到，即可求证；（2）由（1）得，即可求解；（3）利用空间向量求解即可.【详解】（1）因为平面平面，平面平面，且，平面，所以平面，又，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，易得，则，由，则，解得（舍去）或，则，则，则，即，所以四点共面.（2）由（1）知，.（3）由（1）知，，，，，设，则，则，设平面的一个法向量为，则，取，得，设平面的一个法向量为，则，取，得，由平面平面，则，解得，则，则，又，设平面的一个法向量为，则，取，得，易得平面的一个法向量为，则，则平面与平面夹角的余弦值为.题型三、用坐标法解空间向量的夹角和模的问题9．如图，在棱长为的正方体中，为的中点.，分别在棱，上，，.(1)求线段的长.(2)求异面直线与所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【详解】（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，即线段的长为.（2），，，，所以，，所以.所以异面直线与所成角的余弦值为．10．如图，正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，E为棱的中点，点F，G分别在棱，BC上（含端点），若，则线段FG长度的最小值为 ．【答案】【详解】设为下底面中心，构建如下图示的空间直角坐标系，结合题设知，，且，，所以，，故，所以，可得，而，则，又，故时，.故答案为：11．（2018·上海宝山·二模）设向量，，其中，则下列判断错误的是A．向量与轴正方向的夹角为定值（与、之值无关）B．的最大值为C．与夹角的最大值为D．的最大值为l【答案】B【详解】解：由向量，，其中，知：在A中，设z轴正方向的方向向量，向量与z轴正方向的夹角的余弦值：，∴向量与z轴正方向的夹角为定值45°（与c，d之值无关），故A正确；在B中，，且仅当a＝c，b＝d时取等号，因此的最大值为1，故B错误；在C中，由B可得：，，∴与的夹角的最大值为，故C正确；在D中，，∴ad−bc的最大值为1．故D正确．故选：B．12．空间直角坐标系中，任意直线由直线上一点及直线的一个方向向量唯一确定，其标准式方程可表示为.若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，整理成一般式方程为.若直线与平面相交，则可以通过联立直线和平面的方程求出交点坐标.若两个平面相交，则交线的方向向量可由两个平面的法向量确定.已知直线的方向式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为(1)求直线与平面所成角的余弦值；(2)求与所成角的正弦值；(3)已知三棱柱的顶点，平面的方程为，直线的方程为，平面的方程为.求点坐标及直线与直线所成角的余弦值.【答案】(1)(2)(3)，【详解】（1）设直线与平面所成角为，因为直线的方向式方程为，平面的一般式方程为，所以直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为.所以.所以.（2）设平面和所成角为，因为平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，所以平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，所以，所以.（3）联立解得即.又，所以.由平面的方程知，其法向量为.直线是平面与平面的交线，所以设直线的一个方向向量为，平面的法向量为.，，得取直线的一个方向向量为.则，即直线与直线所成角的余弦值为.题型四、寻找合适的方向建立空间直角坐标系13．（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）取的中点，连接，如图所示，因为，是的中点，所以，且，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，由，得，因为，所以，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又在三棱柱中，，所以四边形是菱形，所以，又，平面，所以平面．（2）以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，所以，则，设平面的法向量为，所以令，解得，故，由（1）知，平面，所以平面的一个法向量为，记平面与平面的夹角为，所以，即平面与平面夹角的余弦值为．14．如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，，，分别为，的中点．(1)求证：直线∥平面；(2)若，求侧面与底面所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）解法1：取的中点，连接，，因为为的中点，所以且，因为底面为矩形，为的中点，所以且，故且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；解法2：取的中点，连接，，因为为的中点，所以，又为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，同理平面，因为平面，平面，直线直线，所以平面平面，又平面，所以平面．（2）解法1：取的中点，的中点，连接，，因为为正三角形，所以，因为侧面底面，交线为，平面，所以底面，又，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，又，故，，，故，，，，，设平面的法向量为，则即解得，令，则，所以，又底面的法向量为，设侧面与底面所成角大小为，所以，所以侧面与底面所成角余弦值为．解法2：取的中点，的中点，连接，，，由题意易得，，因为是的中点，所以，又，所以是二面角的平面角，因为为正三角形，所以，又因为侧面底面，交线为，平面，所以底面，，又，所以，，，所以由余弦定理得，所以侧面与底面所成角余弦值为．15．如图，在圆锥中，为底面圆的内接四边形，对角线过圆心，圆锥母线长为，，.(1)若，平面与平面的交线为，证明：；(2)若，求平面与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明，平面，平面，平面，平面平面，平面，.（2）由题意知，，，，，，，方法一：向量法为矩形，因此可建立如图所示空间直角坐标系，过点平行于竖直向上为轴，，，，，，，，，，设平面的法向量为，平面的法向量为.则，所以，令，，，所以，令，可得，，平面与平面所成角的正弦值为.方法二：几何法：过点分别向、引垂线，垂足分别为、，连接，由（1）知，所以，，为平面与平面所成角的平面角，，，根据余弦定理得：，平面与平面所成角的正弦值为.16．如图，在四棱锥中，，，，平面.(1)求证：平面平面；(2)若E是的中点，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为平面，平面，所以因为，，，所以，，，所以，所以，又，平面，所以平面因为平面，所以平面平面.（2）因为平面，，所以以为原点，以，，分别为x，y，z轴正方向建立如图空间直角坐标系，则，，，，，则，，设平面的法向量为，则，取，得平面的一个法向量，易知平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，平面与平面夹角的余弦值为.题型五、用坐标法解决平行或垂直问题17．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．  (1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求．【答案】(1)证明见解析；(2)1【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，  则，，，又不在同一条直线上，.（2）设，则，设平面的法向量，则，令 ，得，，设平面的法向量，则，令 ，得，，，化简可得，，解得或，或，.18．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题：  (1)求证：；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）在直三棱柱中，有，，，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，  则，，，，，，，，即．（2）由（1）得，，，，，设平面的法向量为，则即令，即，设平面的法向量为，则即令，即，．平面与平面夹角的余弦值为．19．如图，在棱长为1的正方体 中，E是棱 的中点，F为的中点.  (1)求证: 平面(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）以为原点，所在直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系．依题意，得，则，设平面的法向量，则，令，则，所以平面的一个法向量为，因为，所以，所以，又平面，所以平面.  （2）由（1）可得，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，由（1）可得平面的一个法向量为，设平面与平面所成的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.20．如图，在长方体中，，，为棱的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）如图，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.则，，，，，，，，，.因为，，所以，.因为，平面，，所以平面.（2）由（1）得是平面的一个法向量，.设直线与平面所成的角为，则，故，则直线与平面所成角的正弦值为.题型六、利用线段中点或向量相等准确标出点坐标21．如图，在三棱柱中，D为边上（异于A，C两点）的动点，平面与边交于点E.(1)请判断四边形的形状，并说明理由；(2)已知侧面底面，，，，求直线与平面所成角的大小.【答案】(1)平行四边形，理由见解析(2)【详解】（1）在三棱柱中，，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以,又平面平面，平面平面，平面平面，所以.所以四边形为平行四边形.（2）取的中点O，连接，.在中，因为，所以，因为侧面底面，底面侧面，底面，所以平面，又侧面，所以.在中，由，，可知，在Rt中，因为，，所以，所以，所以，从而，，两两垂直.以O为原点，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，.    所以，.设平面的法向量为，则    令，得.又，设直线与平面所成角为，且，则，所以直线与平面所成角的大小为.22．如图，在所有棱长都为2的三棱柱中，点E是棱的中点，．(1)求证：平面平面；(2)若，点P满足，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）取的中点O，连接，，．因为E为中点，O为中点，所以．在三棱柱中，，则四边形是菱形，得，则，又，，，平面，所以平面．又因为平面，所以．因为是等边三角形，O为中点，所以．又因为，，平面，所以平面．又因为面，所以平面平面．（2）连接．因为，，所以是等边三角形，所以．又平面平面，平面平面，平面，所以平面．由平面，得，又，如图，以O为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则，，，，．设，又，即，得，所以，则，易知平面的一个法向量，所以，设直线与平面所成角为θ，则．23．（2021·浙江杭州·模拟预测）已知三棱锥中，，且，长度为1的线段的端点在上，端点在侧面内运动，若的中点为，的重心为，则的最小值是 .【答案】【详解】因，则平面PBC，在平面PBC内过点P作Pz⊥PC，则Pz⊥平面PAC以点P为原点，射线PA，PC，Pz分别为x，y，z轴非负轴建立空间直角坐标系，如图：因，则有，设，，则的中点，连BG并延长交AC于点D，因G(m，n，p)是的重心，则D是BC中点，且，而,，，则，即，因，即，则，即，所以点T的轨迹是以P为球心，为半径的球面在三棱锥内的部分(含边界)，而，点G在上述轨迹外，且线段GP与上述轨迹必相交，所以故答案为：【点睛】结论点睛：在空间，球面外一点M与球面上点的距离最小值为点M到球心距离减去球半径；球面外一点M与球面上点的距离最大值为点M到球心距离加上球半径.24．如图，已知平行六面体的底面是菱形，，，.(1)证明：；(2)若，，点在平面内，且平面，求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接，，是菱形，，，，与全等，，为的中点，，，平面，平面，又平面，；（2）是菱形，，，，，，，，，由（1）知，，又，平面，平面，以为原点，以，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，，，平面，（），易知平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.综合攻坚 能力跃升1．（2023·河南·模拟预测）已知在空间直角坐标系中，，，，点在平面内，则的最小值为 ．【答案】【详解】依题意，，设平面的法向量为，则，令，得，依题意，，则，则，当且仅当时取等号，由，解得，所以当时，取得最小值.故答案为：2．(多选题)（24-25高二下·福建漳州·期末）如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（   ）A．直线与所成的角为B．直线与平面所成角的余弦值为C．点到平面的距离为D．二面角的大小为【答案】ABC【详解】以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，对于A：，，，直线与所成角的范围为，故直线与所成角为，A正确；对于B：，显然是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，所以，直线与平面所成角范围为，则，B正确；对于C：，设平面的一个法向量，则，即，，解得，故点到平面的距离，C正确；对于D：显然是平面的一个法向量，设平面的一个法向量，则，即，，解得，设二面角的大小为，，因此二面角的大小为，D错误.故选：ABC.3．（17-18高二下·上海·期末）已知点，若的夹角为锐角，则的取值范围为 ．【答案】【详解】，，的夹角为锐角，，且不能同向共线．解得，．则的取值范围为．故答案为:．4．（多选题）关于空间向量，以下说法正确的是（   ）A．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则B．若空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面C．若空间向量，满足，则与夹角为钝角D．若空间向量，，则在上的投影向量为【答案】AB【分析】由线面位置关系的向量法判断A，由共面定理的推论判断B，由向量数量积的定义判断C，求出投影向量判断D．【详解】选项A，因为，所以，A正确；选项B，，而，∴共面，B正确；选项C，时，也有，C错误；选项D，在上的投影向量，D错．故选：AB．5．（2025高二下·浙江·学业考试）在三棱柱中，已知，E是的中点，D是的中点，与相交于点F，，，则与所成的角的大小为（    ）A．B．C．D．【答案】B【详解】由题意建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，，所以，由于在平面内，所以的纵坐标为0，且直线方程满足，满足，联立，解得，所以，因为，所以与所成的角的余弦值为，所以与所成的角的大小为.故选：B.6．（2006·北京·高考真题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点E是的中点.(1)求证：；(2)求证：平面；(3)求二面角的大小.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)【详解】（1）证明：由题意可知：平面建立如图所示的平面直角坐标系：以A为坐标原点，以AC方向为轴，AB方向为轴，AP方向为轴建立直角坐标系O-xyz设故，，，，故，故可知（2）证明：设平面的法向量为因为底面为平行四边形，所以，故D点坐标为：，点E是的中点，故点所以于是设，于是可得：故可知：平面的一个法向量为故和平面的一个法向量垂直，而平面，故平面（3）由题意可知平面的一个法向量为由（1）（2）可知，故两法向量的夹角为故二面角的平面角为.7．（2023·河南·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，为等边三角形，分别为棱的中点.(1)棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(2)若，当二面角为时，证明：直线与平面所成角的正弦值小于.【答案】(1)时，平面(2)证明见解析【详解】（1）当点为的中点时，平面，此时如图，取的中点，连接.因为为的中点，所以.又平面平面，所以平面.（2）如图，连接.由条件可知.又，所以.因为为等边三角形，为的中点，所以.故为二面角的平面角，所以.又平面，所以平面.又平面，所以平面平面.在平面内，过点作，交于点，则平面，所以两两垂直.以为坐标原点，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设，则，，所以.设平面的法向量为，则，解得，令，得，则平面的一个法向量为.设直线与平面所成的角为，则故直线与平面所成角的正弦值小于.8．（2025·广东惠州·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，、分别是、的中点，是的中点.(1)判断、、、四点是否共面（结论不要求证明）；(2)证明：平面；(3)求异面直线与所成角的余弦值.【答案】(1)、、、四点不共面(2)证明见解析(3)【详解】（1）、、三个不共线的点确定平面，显然平面，所以、、、四点不共面.（2）方法一：如图，以为原点，，，分别为，，轴，建立如图空间直角坐标系，则，，故又平面的法向量为所以，故.又平面，故平面.方法二：如图，取中点，再取中点，连接、和.由为中点，则，且.在正方体中，为中点，故，且，所以且，则四边形为平行四边形，故，又平面，平面，故平面.方法三：如图，取中点，连接、.在梯形中，为中点，则.因为平面，平面，所以平面.在正方体中，为中点，则，因为平面，平面，所以平面.因为，，平面，所以平面平面，又平面，故平面.（3）由（2）方法一可知，又，，故，所以，故异面直线与所成角的余弦值为.9．（2024·全国·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，是的中点，，点在上，且．  (1)是否存在实数，使四点共面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；(2)若二面角的大小为，求异面直线与所成角的正切值．【答案】(1)存在，(2)【详解】（1）假设存在实数，使四点共面．由正三棱柱的性质可知为正三角形，取的中点，连接，则．又平面平面，平面平面，平面，所以平面．故以为坐标原点，所在直线分别为轴，在平面内，以过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，  则，，，，，，，则，，，．因为，所以．若四点共面，则存在满足，又，所以解得故存在实数，使四点共面．（2）由（1）得，，设平面的法向量为，则即则，令，得，则．易知平面的一个法向量为，则，解得或（舍），则，所以．设异面直线与所成角为，又，则，所以，，故异面直线与所成角的正切值为．10．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，与平面所成角为，是的中点，点且．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求平面与平面的夹角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【详解】（1）连接，交于点，再连接．因为底面是正方形，所以点是的中点．又是的中点，所以．而平面且平面．因此平面．（2）由底面，底面是正方形且与平面所成角为，又，可知是等腰直角三角形，即．现以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设，则，，，，且．．．，．同理．则.又,平面,平面；（3）由（2）的结论平面，可知且，结合图形特点可知是平面与平面的夹角，亦可记为．在等腰直角三角形中，为中点，所以．又，即且．于是，且．又．所以，即与平面的夹角大小为．