专题02 空间向量基底的六大应用（专项训练）

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专题02 空间向量基底的六大应用（原卷版） 高二数学选择性必修一题型建模 专项突破题型一、空间向量基底的概论及辨析1．下列关于空间向量的说法正确的是（   ）A．任意两个空间向量不一定共面B．模相等的两个向量是相等向量C．平行于同一个平面的向量叫做共面向量D．空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底2．已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ）A．、、B．、、C．、、D．、、3．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ．4．(多选题) 若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ）A．B．C．D．题型二、用空间基底表示向量5．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（    ）A．B．C．D．6．图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（    ）  A．1B．2C．D．7．如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，若，，，则下列说法正确的是（    ）A．若点为的重心，则B．若，则四点不共面C．若三棱锥各条棱长均等于，则相对棱之间的距离均等于D．若与平面交于点，且，则为定值8．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则 .题型三、利用基底法的求线段模长（常考题）9．如图，在平行六面体中，，，则（    ）A．1B．C．9D．310．如图在一个的二面角的棱上有两点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若，，，则的长为（    ）.A．2B．3C．D．411．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.（1）求证；（2）求BM的长.12．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，，设，，．(1)用，，表示，并求；(2)求．题型四、利用基底法求两直线夹角或余弦值13．如图，在直三棱柱中，，，.(1)用表示；(2)求直线与直线所成角的余弦值.14．（多选题）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ）A．长为B．异面直线与所成角的余弦值为C．D．15．已知在三棱柱中，，记，.(1)求证：四边形为矩形；(2)若，求异面直线与所成角的余弦值.16．如图，在三棱锥中，，，记二面角的平面角为．(1)若，，求三棱锥的体积；(2)若M为BC的中点，求直线AD与EM所成角的取值范围．题型五、利用基底法证平行或垂直17．如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点．(1)若为的中点，用向量法证明：；(2)若，问是否存在点使得，并说明理由．18．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且．(1)用向量表示向量；(2)求证：共面；(3)当为何值时，．19．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是.(1)求证：；(2)求异面直线与所成角的余弦值.20．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.  (1)求证：共面；(2)当为何值时，；(3)若，且，求的长.题型六、利用基底法求线面夹角或二面角21．正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等．它有4个面，6条棱，4个顶点．正四面体ABCD中，E，F分别是棱AD、BC中点．求：（1）AF与CE所成角的余弦值；（2）CE与底面BCD所成角的正弦值．22．如图所示，在棱长为2的正四面体中，为等边三角形的中心，分别满足.  (1)用表示，并求出；(2)求直线与平面所成角的正弦值.23．如图，平行六面体中，，，，(1)求对角线的长度；(2)求二面角的余弦值.综合攻坚 能力跃升一、单选题1．（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ）A．B．C．D．2．（2024·河南信阳·模拟预测）已知三棱柱满足，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A．B．C．D．二、多选题3．（22-23高二上·浙江·期中）在四面体中，分别是棱的中点，则下列结论正确的是（    ）A．B．若，则四边形为矩形C．若，则D．若，则4．（24-25高二上·河北石家庄·期末）三棱锥，PA，PB，PC两两垂直，G为的重心，E，F，H分别为棱PA，AB，AC的中点，，，，下列叙述正确的是（    ）A．B．在面PAB上的投影向量为C．异面直线PH与EF所成的角为D．点G到平面PAB的距离为5．如图，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则（    ）  A．B．C．D．三、填空题6．（2024·河南开封·三模）在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，当点B与点D之间的距离为3时 ．四、解答题7．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）如图，在平行六面体中，，．设，，．(1)用基底表示向量，，；(2)证明：平面．8．（24-25高二上·江西宜春·期中）在平行六面体中，，，.  (1)求的长；(2)求到直线的距离；(3)动点在线段上运动，求的最小值.9．（22-23高二上·福建厦门·阶段练习）在平行六面体中，，，(1)求证：直线平面．(2)求到平面的距离.10．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，在平行六面体中，，．(1)若空间有一点P满足：，求点P到直线BD的距离；(2)求平面与平面所成夹角的余弦值．