专题04 圆锥曲线中的动点轨迹问题（含轨迹方程、曲线轨迹和立体几何轨迹）7大重点题型（专项训练）

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专题04 圆锥曲线中的动点轨迹问题（含轨迹方程、曲线轨迹和立体几何轨迹）7大重点题型（原卷版） 高二数学选择性必修一 题型建模 专项突破 求轨迹方程的5种常用方法1 直接法: 直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法。2 定义法: 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。3 相关点法: 用动点 M 的坐标 x，y 表示相关点 P 的坐标 x0、y0 ，然后代入点 P的坐标 x0、y0 所满足的曲线方程，整理化简便得到动点 Q 轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。（用未知表示已知，带入已知求未知)4 参数法: 当动点坐标 x、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找 x、y 与某一变数 t 的关系，再消去参变数 t ，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。5 交轨法: 将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 题型一、直接法求轨迹方程 1．（24-25高二上·福建福州·期末）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之和是2，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东·期中）已知在中，点，点，若，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知A，B两点的坐标分别是，直线AM、BM相交于点M，且直线AM的斜率是直线BM的斜率的2倍，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东·期中）已知的顶点，，顶点满足，记顶点的轨迹为. (1)求曲线的方程. (2)过点的直线（斜率不为0）与曲线交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，试判断直线OP，OQ的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由. 8．（24-25高二上·浙江台州·期末）动点到直线与直线的距离之积为，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若点为曲线与抛物线的一个公共点，点. ①求的取值范围；②当，且时，求直线斜率的取值范围. 9．（24-25高三上·云南昆明·期中）平面内，动点与定点的距离与到定直线：的距离之比为常数. (1)求动点的轨迹方程； (2)过点作不垂直于轴的直线，与动点的轨迹交于两点，点在直线上，记直线的斜率分别为，证明：成等差数列. 10．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知直线与相交于点，且. (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线与交于两点，以线段为直径的圆经过坐标原点. （ⅰ）证明：直线与圆相切； （ⅱ）求面积的最小值. 11．（24-25高二上·上海·期中）动点到直线与直线的距离之积等于，且.记点的轨迹方程为. (1)求的方程； (2)已知点，直线交于点，，上是否存在点满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 12．（24-25高二上·辽宁·期末）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于，两个动点（点可以重合），记点的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知，，过点的直线与交于两点，直线与的另一个交点分别为，若直线的斜率为2，求直线的斜率． 题型二、定义法求轨迹方程 13．（24-25高二上·四川成都·期末）设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·河北张家口·期中）已知动圆过点，并且在圆内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆和圆，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，该动圆圆心P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·河南驻马店·期中）已知动点满足，则动点P轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 18．（24-25高二上·四川成都·期中）设向量，（x，），满足．则点的轨迹的方程是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高二上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，他指出：到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线为（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 21．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知P为圆上的一个动点,，若线段的垂直平分线交于M，记M的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)过作斜率为1的直线l交曲线E于A，B两点，求的面积； (3)已知 ，若直线l与曲线E相交于，且，求证：直线l恒过定点. 22．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知动点P到定点的距离与它到定直线的距离之比为常数．其中，，且，记点P的轨迹为曲线C． (1)求C的方程，并说明轨迹的形状； (2)当时，记C的左、右顶点分别为，过点的直线与C的左支交于D，E两点，直线与交于点Q，求证：点Q在定直线上； (3)当时，设，若C上两动点M，N均在x轴上方，，且与相交于点R，求证：的周长为定值． 23．（24-25高二上·山西运城·期末）已知点是抛物线上的动点，过向轴作垂线段，垂足为，记垂线段的中点为． (1)求点的轨迹方程； (2)不过坐标原点的直线与点的轨迹相交于两点，且以线段为直径的圆过点，求的面积． 题型三、相关点法求轨迹方程 24．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知曲线：（），从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 26．（24-25高二上·四川内江·期末）设O为坐标原点，长为4的线段的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，若点P满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知曲线，从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足为，且，则点N的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）当点在圆上运动时，它与定点相连，则线段PQ的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高二上·福建莆田·期末）在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，M是线段上的点，且，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（ ） A．+=1(y) B．+=1(y) C．+=1(y) D．+=1(y) 30．（24-25高二上·辽宁·期中）已知椭圆，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 31．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，点是圆上一动点，点，为线段的中点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高二上·河南安阳·期中）已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程. (2)已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点. 33．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 34．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知平面内一个动点Q到点的距离比它到直线的距离少 (1)求点Q的轨迹方程; (2)已知是点Q的轨迹上不同的四点，点P在x轴下方，直线AC，BD交于点P，且，设的中点分别为点 ①证明：三点共线; ②若点P为半椭圆上的动点，求四边形面积的最大值. 题型四、参数法求轨迹方程 35．（24-25高二上·上海·期末）已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 36．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知定点和直线，动圆和直线相切，且过点作圆的切线，切线长等于动圆的半径． (1)求圆的圆心的轨迹方程． (2)当圆的面积最小时，求圆的方程． 37．（24-25高二上·贵州·期中）在平面直角坐标系中，长度为2的线段的两个端点分别在x轴，y轴上运动，动点P满足． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)若，，求的取值范围． 38．（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）已知双曲线：（，）的实轴长为2，点到双曲线的渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线交双曲线于、两点，设线段的中点为，求点的轨迹方程. 39．（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程； (3)若直线的斜率为2，在椭圆上是否存在定点，使得（分别为直线的斜率）恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在．请说明理由． 题型五、交轨法求轨迹方程 40．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，若点C满足，其中，，且，则点C的轨迹方程为 A． B． C． D． 41．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点． （1）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程； （2）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 42．设点在直线上，过点P作双曲线的两条切线，切点为A、B，定点． (1)过点A作直线的垂线，垂足为N，试求的重心G所在的曲线方程； (2)求证A、M、B三点共线． 43．（23-24高二下·广东·期末）已知椭圆的长轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过作一条斜率存在且不为0的直线交于两点. （i）证明：直线和直线的斜率均存在且互为相反数； （ii）若直线与直线交于点，求的轨迹方程. 题型六、曲线轨迹方程及其应用 多选题 44．（24-25高二上·重庆·期中）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是（   ） A．四叶草曲线有四条对称轴 B．设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为 C．四叶草曲线上的点到原点的最大距离为 D．四叶草曲线的面积小于 45．（24-25高二上·四川成都·期中）1694年瑞士数学家雅各布•伯努利描述了如图的曲线，我们将其称为伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点，距离之积等于（）的点的轨迹称为双纽线，已知点是时的双纽线C上一点，下列说法正确的是（   ） A．双纽线C的方程为 B． C．的最大值为 D．的周长的取值范围为 46．（24-25高二上·山东·阶段练习）笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡尔在1638年提出．如图，叶形线经过点，点在C上，则下列结论正确的是（    ） A．直线与C有3个公共点 B．若点P在第二象限，则 C． D． 47．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分．已知过坐标原点，且上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ）    A． B．点在上 C．在第一象限的点的纵坐标的最大值为 D．当点在上时， 48．（24-25高二上·河北邯郸·期中）已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A． B．曲线关于直线对称 C．曲线围成的封闭图形的面积不大于 D．曲线围成的封闭图形的面积随的增大而增大 49．（24-25高二上·江苏·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于原点对称 B．直线与曲线有3个公共点 C．点的纵坐标的取值范围是 D．的最大值为 50．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的有（   ） A．曲线有4条对称轴 B．曲线围成的图形面积为 C．的最大值为 D．的最小值为 51．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知曲线，则（   ） A．在第一象限为双曲线的一部分 B．关于直线对称 C．与直线无交点 D．过点且与有两个交点的直线有2条 52．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知曲线的方程，则以下结论正确的是（    ） A．无论实数取何值，曲线都关于轴成轴对称 B．无论实数取何值，曲线都是封闭图形 C．当时，曲线恰好经过个整点（即横､纵坐标均为整数的点） D．当时，曲线所围成的区域的面积小于 53．（24-25高二上·浙江·期中）在数学中有“四瓣花”系列曲线，下列结论正确的有（    ） A．曲线恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点） B．曲线夹在直线和直线之间 C．曲线所围成区域面积是所围成区域面积的9倍 D．曲线上任意两点距离都不超过 54．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）我们在学习解析儿何过程中知道椭圆、双曲线的定义分别是平面内到两定点距离之和、距离之差的绝对值等于某个定值，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.若定点，动点满足，其中均为正数，记该卡西尼卵形线为曲线，它的轨迹方程为. (1)求参数的值（用含的式子表示）； (2)若为曲线上一点，求证：，； (3)若，求证：曲线恰经过个整点（横、纵坐标均为整数的点）. 55．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）“曲线”：由半椭圆与半椭圆组成，其中，.如图，设点是相应椭圆的焦点，和分别是“曲线”与轴的交点，为线段的中点. (1)若等边三角形的重心坐标为，求“曲线”的方程； (2)设是“曲线”的半椭圆上任意的一点.求证：当取得最小值时，在点或处； (3)作垂直于轴的直线与“曲线”交于两点，求线段中点的轨迹方程. 题型七、立体几何中的轨迹问题 多选题 56．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知正四棱锥的棱长均为3，，分别为棱，靠近，的三等分点，动点满足，则下列结论中正确的是（   ） A．正四棱锥的体积为 B．动点的轨迹是半径为的球面 C．点在动点的轨迹外部 D．动点的轨迹被平面截得的是半径为的圆 57．（24-25高二上·广东佛山·期末）如图，为的直径，为上异于、的动点，平面，为的中点，且，，则（   ） A．的长等于点到直线的距离 B．为二面角的平面角 C．当时，与平面所成角为 D．过作平面平面，则平面与交点的轨迹为椭圆 58．（24-25高二上·重庆·期中）在正方体中，点为平面内的一动点，是点到平面的距离，是点到直线的距离，且（为常数），则点的轨迹可能是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 59．（24-25高二上·山东临沂·阶段练习）点P是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的（   ） A．当P在平面上运动时，四棱锥的体积变大． B．当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若F是的中点，当P在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D．使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为 60．（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知为正方体，点P为棱上的动点，点Q为平面上的任意一点，Q到直线和到平面ABCD的距离相等，则下列表述正确的是（    ） A．存在点P使得直线与平面所成的角为 B．存在直线PQ与平面所成的角大于二面角 C．点Q所在的曲线可能为双曲线 D．点Q所在的曲线可能为抛物线 61．（24-25高二上·河南南阳·期末）如图，在棱长为4的正方体中，O为和的交点，点在线段上，，E，F分别为棱和的中点，则下列选项正确的是（   ） A．若点P是线段上一动点，则直线平面 B．若点Q是平面内一点，且满足，则点Q的轨迹是抛物线 C．若点M为平面内一点，且满足，则OM的最小值为 D．过线段BD且垂直于平面的截面图形为等腰梯形 62．（24-25高二上·广东广州·期末）如图，棱长均为的平行六面体中，，点为平面上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．在上的投影向量为 C．以为球心，半径为的球，与侧面的交线长为 D．若直线与直线所成的角为，则点的轨迹为双曲线 63．（24-25高二上·山东日照·期末）如图，已知正方体的棱长为是的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是（   ） A．若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线 B．若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为 C．若直线与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆 D．若直线与直线所成的角为，则的轨迹为双曲线 64．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知正方体的棱长为4，点在面（包含边界）内运动，且；点在面（包含边界）内运动，且到直线的距离与其到平面的距离相等.若平面，则下列说法正确的有（   ） A． B．直线不可能与平面垂直 C．的轨迹为抛物线的一部分 D．线段长度的取值范围为 65．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，正方体的边长为，是的中点，点为正方形内一动点（含边界）,则下列说法正确的是 （    ）   A．四棱锥的体积为定值 B．当时，点的轨迹长度为 C．当直线与平面所成的角为时，则点的轨迹长度为 D．若直线平面，则点的轨迹长度为 综合攻坚 能力跃升 一、多选题 1．（24-25高二上·河北石家庄·期末）平面内到两定点距离之积为常数此常数不为的点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系xOy中，，，动点P满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C，如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．曲线C与x轴交点的坐标为， B．周长的最小值为8 C．若直线与曲线C只有一个交点，则k的取值范围是 D．面积的最大值为2 2．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．曲线关于对称 B．曲线刚好经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C．若点在曲线上，则 D．曲线与直线有且只有一个交点 3．（24-25高二上·四川巴中·期末）在平面直角坐标系中，已知两定点，动点满足直线与直线的斜率之积为，记的轨迹为，则下列描述正确的是（    ） A．当时，曲线是以原点为圆心，半径为1的圆 B．当时，点所在曲线的焦点在轴上 C．当时，过点的直线与曲线至少有一个公共点 D．当时，直线与曲线有两个不同公共点，则 4．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）直三棱柱中，侧面为正方形，，E、F分别为AC、的中点，D为棱上的动点.设，，且，则（   ） A．过点，E，D的平面截该三棱柱所得的截面为梯形 B．无论点D如何运动，都有 C．当时，点B到平面DFE的距离为 D．已知H是平面DEF上的一动点，若，则点H的轨迹为抛物线 5．（24-25高二上·四川成都·期末）已知一条线段的端点分别是，关于的方程，则（    ） A．当时，方程所表示的曲线是以为直径的圆 B．当时，方程所表示的曲线是双曲线 C．存在，使得方程所表示的曲线是椭圆 D．任意，方程所表示的曲线围成的封闭区域面积大于 二、解答题 6．（24-25高二上·江西抚州·期末）已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且点的横坐标为3. (1)求抛物线的方程； (2)过点作一直线交抛物线于两点，求弦的中点轨迹方程. 7．（25-26高二上·全国·期中）已知定点，点为圆上的动点，为的中点． (1)求的轨迹方程； (2)若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程． 8．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线. (1)判断曲线为何种圆锥曲线. (2)若曲线为双曲线，试问应满足什么条件？ (3)设曲线为曲线，斜率为且的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点. （i）若，求； （ii）若点关于轴的对称点为点，试证明直线过定点. 9．（24-25高二上·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，为双曲线：（，）的右焦点，以为圆心，1为半径的圆与双曲线的渐近线相切. (1)求的方程； (2)记的左、右顶点为，，弦轴，记直线与直线交点为，其轨迹为曲线. （ⅰ）求的方程； （ⅱ）直线，是曲线的任意两条切线，且，试探究在轴上是否存在定点，满足点到，的距离之积恒为1？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 10．（24-25高二上·广东广州·期末）已知平面上两点，，定义它们之间的“距离”为．若动点与两个定点，的“距离”之和为6，则称动点的轨迹为． (1)求轨迹的方程； (2)求轨迹的面积； (3)若直线与轨迹的外接椭圆交于两点，动点满足，其中的坐标为，记直线的斜率为，证明：为定值．