第57讲 斜率与垂直弦问题 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第57讲 斜率与垂直弦问题 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】，共14页。
三、典题精练 PAGEREF _Tc237103891 \h 5
考点一：斜率和与斜率差问题 PAGEREF _Tc237103892 \h 5
考点二：斜率积与斜率比问题 PAGEREF _Tc237103893 \h 7
考点三：圆锥曲线内接直角三角形问题 PAGEREF _Tc237103894 \h 8
考点四：圆锥曲线互相垂直弦的中点问题 PAGEREF _Tc237103895 \h 10
考点五：垂直弦的范围与最值问题 PAGEREF _Tc237103896 \h 12
一、考情分析
近三年高考全国一卷未直接或间接考查本讲的核心知识.通过处理斜率的和、差、积、比以及垂直弦等问题，能有效强化“设而不求”与韦达定理的结合应用，培养将垂直、共线等几何条件代数化的模型思维；同时，本讲涉及的定点、定值探究及面积最值求解方法，也为解决圆锥曲线综合问题提供了必要的代数变形经验与算理基础。
二、知识清单
1. 圆锥曲线中的斜率关系与定点问题
（1） 动点在圆锥曲线上，斜率和为零的定点问题
① 已知 P(x0,y0) 是椭圆 x2a2+y2b2=1 上的定点，直线 l（不过 P 点）与椭圆交于 A，B 两点，且 kPA+kPB=0，则直线 l 恒过定点，且其斜率为定值 b2x0a2y0.
② 已知 P(x0,y0) 是双曲线 x2a2−y2b2=1 上的定点，直线 l（不过 P 点）与双曲线交于 A，B 两点，且 kPA+kPB=0，则直线 l 恒过定点，且其斜率为定值 −b2x0a2y0.
③ 已知 P(x0,y0) 是抛物线 y2=2px 上的定点，直线 l（不过 P 点）与抛物线交于 M，N 两点，若 kPM+kPN=0，则直线 l 恒过定点，且其斜率为定值 −py0.
（2） 动点在圆锥曲线上，斜率和或积为定值的定点问题
已知 P(x0,y0) 为椭圆 x2a2+y2b2=1(a>0,b>0) 上一定点，过点 P 作斜率为 k1，k2 的两条直线分别与椭圆交于 M，N 两点.
① 若 k1+k2=λ(λ≠0)，则直线 MN 恒过定点 (x0−2y0λ,−y0−2b2x0λa2).
② 若 k1⋅k2=λ(λ≠−b2a2)，则直线 MN 恒过定点 (λa2+b2λa2−b2x0,λa2+b2λa2−b2y0).
（3） 动点不在圆锥曲线上，斜率和或积为定值的定点问题
设 P(x0,y0) 是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过 P 作两条直线 AB，CD 交椭圆 x2a2+y2b2=1(a>0,b>0) 于 A、B、C、D，直线 AB，CD 的斜率分别为 k1，k2，弦 AB，CD 的中点记为 M，N.
① 若 k1+k2=λ(λ≠0)，则直线 MN 恒过定点 (x0−y0λ,−b2x0λa2).
② 若 k1⋅k2=λ(λ≠−b2a2)，则直线 MN 恒过定点 (λa2x0λa2−b2,b2y0λa2−b2).
（4） 抛物线中斜率和为定值的定点问题
过抛物线 y2=2px(p>0) 上任一点 P(x0,y0) 引两条弦 PA，PB，直线 PA，PB 斜率存在，分别记为 k1，k2，若 k1+k2=λ(λ≠0)，则直线 AB 恒过定点 (x0−2y0λ,2pλ−y0).
2. 圆锥曲线中的垂直弦与定点问题
（1） 椭圆中的垂直弦中点定点问题
① 过椭圆 x2a2+y2b2=1 的右焦点 F(c,0) 作两条互相垂直的弦 AB，CD.若弦 AB，CD 的中点分别为 M，N，那么直线 MN 恒过定点 (a2ca2+b2,0).
② 过椭圆 x2a2+y2b2=1 的长轴上任意一点 S(s,0) (−a0) 上的两点，若直线 AB 经过焦点 F(p2,0)，且 O 为坐标原点，则直线 OA 与 OB 的斜率乘积为定值，即 kOA⋅kOB=−4.
三、典题精练
考点一：斜率和与斜率差问题
考法1：运用设而不求与韦达定理求解圆锥曲线斜率和问题
1.（2026·河南湘豫名校·联考）已知抛物线 y2=x 上有点 A1(12,−1)，A2(22,−2)，⋯，Ak(k2,−k)，其中 k∈N∗.又点 M(1,0)，N(2,0)，若 AkM,AkN 分别交抛物线于另一点 Mk,Nk，且直线 MkNk 的斜率为 tk，则 1t1t2+1t2t3+⋯+1tktk+1=＿＿＿＿＿＿.
2.（2025·广东上进·联考）已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的左焦点 F1(−2,0)，其一条渐近线方程为 y=3x.
（1） 求 C 的标准方程；
（2） 过 C 的右焦点 F2 作 x 轴的垂线与 C 在第一象限内交于点 P，过点 P 作斜率为 k1,k2 的直线分别交 C 于 M,N 两点，则当 k1+k2=0 时，判断直线 MN 的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
3.（2026·浙江绍兴·二模）设 A，B 两点的坐标分别为 (−5,0)，(5,0)，直线 AC，BC 相交于点 C（C 位于第一象限），且它们的斜率之积是 1，记 C 的轨迹为曲线 E.
（1） 求 E 的方程；
（2） 若 D 是 E 上的点，DA⋅DB=2258.
（i） 求 D 的坐标；
（ii） 记直线 CB，CD，BD 的斜率分别为 k1，k2，k3，证明：k1k2+k2k3−k1k3 为定值.
【考点一 方法总结】
1. 设而不求法：处理圆锥曲线中斜率和、差问题时，通常设出直线方程（如 y=kx+m 或 x=my+t），与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理得到两交点坐标的和与积.
2. 斜率公式代入化简：将交点坐标代入斜率公式，利用韦达定理的结果进行整体代换，化简得到斜率和或差的表达式.
3. 注意特殊情况：在设直线方程时，需注意直线斜率不存在的情况，必要时需单独讨论.
考法2：运用设而不求与韦达定理求解圆锥曲线斜率差问题
4.（2026·湖南常德·一模）已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 过点 (1,22)，且离心率为 22，F1，F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点，点 P 是椭圆 C 上在第一象限内的一个动点.
（1） 求椭圆 C 的标准方程；
（2） 直线 PF1，PF2 分别交椭圆 C 于点 A，B，直线 OP，AB 的斜率分别为 k1，k2，求 1k1−1k2 的最小值.
5.（2026·山东泰安·二模）已知椭圆 E 过点 P(−4,2),Q(26,−2)，中心在原点，对称轴为坐标轴.
（1） 求椭圆 E 的标准方程；
（2） 过点 M(0,2) 的直线 l 的斜率为 k(k≠0)，l 与椭圆 E 交于 A,B 两点，其中 B,A 两点分别位于 y 轴左、右两侧，直线 PA,PB,l 分别与直线 y=−4 交于 C,D,N 三点.
（i） 设直线 PC 的斜率为 k1，直线 BC 的斜率为 k2，求 1k1−1k2；
（ii） 当直线 PC 平分 ∠MPN 的内角 ∠MPN (或其外角) 时，求 k 的值.
6.已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的离心率 e=32，a+b=3.
（1） 求椭圆 C 的方程；
（2） 如图，A，B，D 是椭圆 C 的顶点，P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点，直线 DP 交 x 轴于点 N，直线 AD 交 BP 于点 M，设 MN 的斜率为 m，BP 的斜率为 n，证明：2m−n 为定值.
7.设 M、N 为抛物线 C:y2=2px(p>0) 上的两点，M 与 N 的中点的纵坐标为 4，直线 MN 的斜率为 12.
（1） 求抛物线 C 的方程；
（2） 已知点 P(1,2)，A、B 为抛物线 C(除原点外) 上的不同两点，直线 PA、PB 的斜率分别为 k1，k2，且满足 1k1−1k2=2，记抛物线 C 在 A、B 处的切线交于点 S(xs,ys)，线段 AB 的中点为 E(xE,yE)，若 ys=λyE，求 λ 的值.
8.如图，已知点 F 是抛物线 C：x2=2py(p>0) 的焦点，点 M 在抛物线上，且 FM=(−2,0).
（1） 若直线 l:x−y+2=0 与抛物线 C 交于 A,B 两点，求 |AB| 的值；
（2） 若点 P,Q 在抛物线 C 上，且抛物线 C 在点 P,Q 处的切线交于点 S，记直线 MP,MQ 的斜率分别为 k1,k2，且满足 k2−k1=2，求证：△PQS 的面积为定值.
9.在平面直角坐标系 xOy 中，已知定点 A(1,0)，点 M 在 x 轴上运动，点 N 在 y 轴上运动，点 P 为坐标平面内的动点，且满足 PM⋅NA=0,OM=2ON+PO.
（1） 求动点 P 的轨迹 C 的方程；
（2） 点 Q 为圆 (x+2)2+y2=1 上一点，由 Q 向 C 引切线，切点分别为 S、T，记 k1,k2 分别为切线 QS，QT 的斜率，当 Q 运动时，求 1k1−1k2 的取值范围.
考点二：斜率积与斜率比问题
考法3：运用设而不求与韦达定理求解圆锥曲线斜率积问题
10.（2026·湖南永州·二模）已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的焦距为 2，且离心率为 22.
（1） 求椭圆 C 的标准方程；
（2） 已知 P(−2,0)，直线 l 过点 Q(1,0)（直线 l 不与 x 轴重合），交椭圆于 A，B 两点.直线 PA 交椭圆于另一点 C，直线 PB 交椭圆于另一点 D，连接 CD 交 x 轴于 T.
（i） 求 kABkCD 的值；
（ii） 求点 T 到直线 l 距离的取值范围.
11.（2026·浙江宁波十校·二模）已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的焦距为 2，且离心率为 22.
（1） 求椭圆 C 的标准方程；
（2） 已知 P(−2,0)，直线 l 过点 Q(1,0)（直线 l 不与 x 轴重合），交椭圆于 A，B 两点.直线 PA 交椭圆于另一点 C，直线 PB 交椭圆于另一点 D，连接 CD 交 x 轴于 T.
（i） 求 kABkCD 的值；
（ii） 求点 T 到直线 l 距离的取值范围.
12.已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1,(a>0,b>0) 的实轴长为 4，左右两个顶点分别为 A1,A2，经过点 B(4,0) 的直线 l 交双曲线的右支于 M,N 两点，且 M 在 x 轴上方，当 l⟂x 轴时，MN=26.
（1） 求双曲线方程.
（2） 求证：直线 MA1,NA2 的斜率之比为定值.
13.如图，A、B、M、N 为抛物线 y2=2x 上四个不同的点，直线 AB 与直线 MN 相交于点 (1,0)，直线 AN 过点 (2,0)
（1） 记 A，B 的纵坐标分别为 yA,yB，求 yA⋅yB；
（2） 记直线 AN，BM 的斜率分别为 k1,k2，是否存在实数 λ，使得 k2=λk1？若存在，求出 λ 的值，若不存在说明理由.
14.过原点 O 的直线交椭圆 E：x29+y2b2=1(b>0) 于 A，B 两点，R(2,0)，△ABR 面积的最大值为 25.
（1） 求椭圆 E 的方程；
（2） 连 AR 交椭圆于另一个交点 C，又 P(92,m)(m≠0)，分别记 PA，PR，PC 的斜率为 k1，k2，k3，求 k2k1+k3 的值.
【考点二 方法总结】
1. 韦达定理的应用：求解斜率积、斜率比问题，核心仍是“设线联立，韦达定理”.将斜率积或比转化为交点坐标的表达式.
2. 结合几何条件：若题目中存在三点共线、面积等几何条件，需将其转化为代数关系，辅助化简斜率表达式.
3. 齐次化处理：在计算斜率比时，常出现分子分母为齐次式的情况，可通过整体代换简化计算.
考点三：圆锥曲线内接直角三角形问题
考法5：运用设而不求探究椭圆内接直角三角形斜边过定点问题
15.已知点 A(−1,0),B(1,0)，动点 P 满足：∠APB=2θ，且 |PA||PB|cs2θ=1.(P 不在线段 AB 上)
（1） 求动点 P 的轨迹 C 的方程；
（2） 过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点 P、Q，试问直线 PQ 是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.
16.已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1(−3,0)，F2(3,0)，短轴长为 2.
（1） 求椭圆 C 的标准方程及离心率；
（2） M，D 分别为椭圆 C 的左、右顶点，过 M 点作两条互相垂直的直线 MA，MB 交椭圆于 A，B 两点，直线 AB 是否过定点？并求出 △DAB 面积的最大值.
17.设 F1,F2 分别是椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左、右焦点，M 是 C 上一点，MF2 与 x 轴垂直.直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N，且直线 MN 的斜率为 24.
（1） 求椭圆 C 的离心率；
（2） 设 D(0,1) 是椭圆 C 的上顶点，过 D 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆 C 于 A，B 两点，证明直线 AB 过定点，并求出定点坐标.
考法6：运用设而不求探究双曲线内接直角三角形斜边过定点问题
18.已知双曲线 C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 经过点 P(2,1)，且双曲线 C 的右顶点到一条渐近线的距离为 63.
（1） 求双曲线 C 的方程；
（2） 过点 P 分别作两条互相垂直的直线 PA，PB 与双曲线 C 交于 A，B 两点 (A，B 两点均与点 P 不重合)，设直线 AB：y=kx+m(k≠0)，试求 k 和 m 之间满足的关系式.
19.在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 与定点 F(2,0) 的距离和它到定直线 l：x=32 的距离之比是常数 233，记 P 的轨迹为曲线 E.
（1） 求曲线 E 的方程；
（2） 设过点 A(3,0) 两条互相垂直的直线分别与曲线 E 交于点 M，N(异于点 A)，求证：直线 MN 过定点.
考法7：运用设而不求探究抛物线内接直角三角形斜边过定点问题
20.已知抛物线 E:x2=2py 的焦点 F 关于直线 l:2x−y−4=0 的对称点 Q 恰在抛物线 E 的准线上.
（1） 求抛物线 E 的方程；
（2） M 是抛物线 E 上横坐标为 −2 的点，过点 M 作互相垂直的两条直线分别交抛物线 E 于 A,B 两点，证明直线 AB 恒经过某一定点，并求出该定点的坐标.
21.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)，O 是坐标原点，F 是 C 的焦点，M 是 C 上一点，|FM|=4，∠OFM=120∘.
（1） 求抛物线 C 的标准方程；
（2） 设点 Q(x0,2) 在 C 上，过 Q 作两条互相垂直的直线 QA,QB，分别交 C 于 A，B 两点 (异于 Q 点).证明：直线 AB 恒过定点.
22.已知抛物线 C：y2=2px(p>0) 的焦点为 F，点 P(2,t) 在抛物线 C 上，且 |PF|=3.
（1） 求抛物线 C 的方程；
（2） 过抛物线 C 上一点 N(m,4) 作两条互相垂直的弦 NA 和 NB，试问直线 AB 是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
23.已知抛物线 C：y2=2px(p>0) 的焦点为 F，斜率为 1 的直线 l 经过 F，且与抛物线 C 交于 A，B 两点，|AB|=8.
（1） 求抛物线 C 的方程；
（2） 过抛物线 C 上一点 P(a,−2) 作两条互相垂直的直线与抛物线 C 相交于 MN 两点 (异于点 P)，证明：直线 MN 恒过定点，并求出该定点坐标.
【考点三 方法总结】
1. 垂直条件的转化：圆锥曲线内接直角三角形，其直角顶点处的两条边互相垂直，可转化为两条直线的方向向量数量积为 0，即 x1x2+y1y2=0 或 k1k2=−1.
2. 探究定点问题：将垂直条件结合韦达定理，求出直线方程中的参数关系（如 m 与 k 的关系），代入直线方程，提取公因式，令含参项为 0，即可求出定点坐标.
3. 检验特殊情况：求出定点后，需检验直线斜率不存在或为 0 等特殊情况是否也经过该定点.
考点四：圆锥曲线互相垂直弦的中点问题
考法8：运用设而不求探究椭圆互相垂直弦中点连线过定点问题
24.已知 P 为圆 M:x2+y2=4 上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足，若点 Q 满足 DQ=32DP.
（1） 求点 Q 的轨迹方程；
（2） 设点 Q 的轨迹为曲线 C，过点 N(−1,0) 作曲线 C 的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为 E、F，过点 N 作直线 EF 的垂线，垂足为点 H，是否存在定点 G，使得 |GH| 为定值？若存在，求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由.
25.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 Γ:x22+y2=1，过右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB，CD，设 AB，CD 中点分别为 M，N.
（1） 写出椭圆右焦点 F 的坐标及该椭圆的离心率；
（2） 证明：直线 MN 必过定点，并求出此定点坐标；
（3） 若弦 AB，CD 的斜率均存在，求 △FMN 面积的最大值.
26.设 F1,F2 分别是圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左、右焦点，M 是 C 上一点，MF2 与 x 轴垂直.直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N，且直线 MN 的斜率为 24.
（1） 求椭圆 C 的离心率.
（2） 设 D(0,1) 是椭圆 C 的上顶点，过 D 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆 C 于 A、B 两点，过点 D 作线段 AB 的垂线，垂足为 Q，判断在 y 轴上是否存在定点 R，使得 |RQ| 的长度为定值？并证明你的结论.
考法9：运用设而不求探究双曲线互相垂直弦中点连线过定点问题
27.双曲线 Γ:x24−y23=1 的左右顶点分别为 A1，A2，动直线 l 垂直 Γ 的实轴，且交 Γ 于不同的两点 M,N，直线 A1N 与直线 A2M 的交点为 P.
（1） 求点 P 的轨迹 C 的方程；
（2） 过点 H(1,0) 作 C 的两条互相垂直的弦 DE，FG，证明：过两弦 DE，FG 中点的直线恒过定点.
28.已知双曲线 C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的右焦点 F，半焦距 c=2，点 F 到直线 x=a2c 的距离为 12，过点 F 作双曲线 C 的两条互相垂直的弦 AB，CD，设 AB，CD 的中点分别为 M，N.
（1） 求双曲线 C 的标准方程；
（2） 证明：直线 MN 必过定点，并求出此定点的坐标.
考法10：运用设而不求探究抛物线互相垂直弦中点连线过定点问题
29.已知抛物线 W:x2=2py(p>0) 的焦点 F 也是椭圆 x23+y24=1 的一个焦点，如图，过点 F 任作两条互相垂直的直线 l1，l2，分别交抛物线 W 于 A，C，B，D 四点，E，G 分别为 AC，BD 的中点.
（1） 求 p 的值；
（2） 求证：直线 EG 过定点，并求出该定点的坐标；
（3） 设直线 EG 交抛物线 W 于 M，N 两点，试求 |MN| 的最小值.
30.已知抛物线 G：x2=2py(p>0) 焦点为 F，R 为 G 上的动点，K(1,2) 位于 G 的上方区域，且 |RK|+|RF| 的最小值为 3.
（1） 求 G 的方程；
（2） 过点 P(0,2) 作两条互相垂直的直线 l1 和 l2，l1 交 G 于 A，B 两点，l2 交 G 于 C，D 两点，且 M，N 分别为线段 AB 和 CD 的中点.直线 MN 是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
31.已知一个边长为 83 的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线 C:x2=2py(p>0) 上.
（1） 求抛物线 C 的方程；
（2） 过点 T(0,p) 作两条互相垂直的直线 l1 和 l2，l1 交抛物线 C 于 A、B 两点，l2 交抛物线 C 于 D，E 两点，若线段 AB 的中点为 M，线段 DE 的中点为 N，证明：直线 MN 过定点.
【考点四 方法总结】
1. 设互相垂直的直线：处理互相垂直的弦的中点问题时，常设两条互相垂直的直线方程，如 y=kx+m 与 y=−1kx+m.
2. 中点坐标的表示：分别将两条直线与圆锥曲线联立，利用韦达定理求出各自的中点坐标.
3. 探究中点连线的定点：利用两中点坐标求出中点连线的斜率和方程，化简后找出恒过的定点.计算过程中注意对称性，可通过替换斜率 k 为 −1k 快速得到另一中点坐标.
考点五：垂直弦的范围与最值问题
考法11：结合目标函数求解圆锥曲线内接直角三角形的范围与最值问题
32.设椭圆 y2a2+x2b2=1(a>b>0) 的两焦点为 F1，F2，P 为椭圆上任意一点，点 P 到原点最大距离为 2，若 M(3,1) 到椭圆右顶点距离为 5.
（1） 求椭圆的方程.
（2） 设椭圆的上、下顶点分别为 A、B，过 A 作两条互相垂直的直线交椭圆于 C、D，问直线 CD 是否经过定点？如果是，请求出定点坐标，并求出 △BCD 面积的最大值.如果不是，请说明理由.
33.已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的离心率为 32，左、右顶点分别为 A，B，上顶点为 D，坐标原点 O 到直线 AD 的距离为 255.
（1） 求椭圆的方程；
（2） 过 A 点作两条互相垂直的直线 AP，AQ 与椭圆交于 P，Q 两点，求 △BPQ 面积的最大值.
考法12：结合目标函数求解圆锥曲线互相垂直弦中点相关几何量的最值问题
34.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 G 的准线方程为 y=−2.
（1） 求抛物线 G 的标准方程；
（2） 过抛物线的焦点 F 作互相垂直的两条直线 l1 和 l2，l1 与抛物线交于 P，Q 两点，l2 与抛物线交于 C，D 两点，M，N 分别是线段 PQ，CD 的中点，求 △FMN 面积的最小值.
35.已知抛物线 T:y2=2px(p>0)，点 F 为其焦点，直线 l:x=4 与抛物线交于 M,N 两点，O 为坐标原点，S△OMN=86.
（1） 求抛物线 T 的方程；
（2） 过 x 轴上一动点 E(a,0)(a>0) 作互相垂直的两条直线，与抛物线 T 分别相交于点 A,B 和 C,D，点 H,K 分别为 AB,CD 的中点，求 |HK| 的最小值.
【考点五 方法总结】
1. 构建目标函数：处理垂直弦相关的范围与最值问题，首先需将目标几何量（如面积、弦长）表示为关于某个参数（通常为直线斜率 k 或其相关量）的函数.
2. 弦长公式的应用：利用弦长公式 |AB|=1+k2|x1−x2| 或 |AB|=1+1k2|y1−y2| 准确表达弦长.
3. 求最值的方法：得到目标函数后，常利用基本不等式、对勾函数的单调性、换元法或导数来求解最值.注意自变量的取值范围及等号成立的条件.